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文档简介

1、1.1.3 导数的几何意义一.曲线的切线y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图,曲线C是函数y=f(x)的图象, P(x0,y0)是曲线C上的任意一点, Q(x0+x, y0+y)为P邻近一点, PQ为C的割线, PM/x轴, QM /y轴, 为PQ的倾斜角.PQoxyy=f(x)割线切线T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时, 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况. 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时, 割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为,那么当x0时, 割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.即: 这个

2、概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数平均变化率的极限. 注意,曲线在某点处的切线: (1) 与该点的位置有关; (2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限, 则在此点有切线, 且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; (3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.例1求抛物线y=x2过点(1，1)的切线的斜率。解：过点(1，1)的切线斜率是f (1)= 因此抛物线过点(1，1)的切线的斜率为2.例2求双曲线y= 过点(2， )的切线方程。解：因为 所以这条双曲线过点(2， )的切线斜率为 ， 由直线方程的点斜式，

3、得切线方程为例3求抛物线y=x2过点( ，6)的切线方程。解：点( ，6)不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点(x0，x02)，因为 又因为此切线过点( ，6)和点(x0，x02), 所以此切线方程的斜率为2x0，所以 即x025x0+6=0，解得x0=2，或x0=3，所以切线方程为y=4x4或 y=6x9. 例4求曲线y=sinx在点( )处的切线方程.解：k= 切线方程是 即 例5y=x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标.解：设点P的坐标(x0，x03)斜率3= 3x02=3，x0=1. P点的坐标是(1，1)或(1，1) .练习题1曲线y=x2在x=0处的（ ） A切线斜率为1 B切线方程为y=2x C没有切线 D切线方程为y=0D2已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为（ ） A4 B16 C8 D2C3函数y=f(x)在x=x0处的导数f (x0)的几何意义是（ ） A在点x=x0处的函数值 B在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值 C曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率 D点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率C4已知曲线y=x3上过点(2，8)的切线方程为12xay16=0，则实数a的值为（ ） A1 B1 C2 D2B5若f (x0)=3，则（ ） A3 B6 C9 D12

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