线性代数行列式的性质与计算课件

1、 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT (Transpose)或D .即如果2.1 行列式的性质a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D =，a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann DT =则.第2节 行列式的性质与计算显然，( DT )T=D .下页行列式的转置性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann =k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D =DT.推论1 如果行列式的

2、某一行(列)的元素全为零，则D0.性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.推论 如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0. 推论2 如果D中有两行(列)对应元素成比例，则D=0.下页 性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.即a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nain+binanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann = 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11a

3、i1+kaj1an1a12ai2+kaj2an2a1nain+kajnann=.+a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .下页行列式的计算要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算.下页为表述方便，引入下列记号 (行用r，列用c) ：以数k0乘以行列式的第i行，用kri表示；以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.交换行列式的第i行与第j行，用表示；（换法变换）（倍法变换）（消法变换）思考：这三种变换的结果分别是什么？例1. 计算行列式解：= -85.下页例2. 计算行列式解:下页例3. 计算行列式解： 将各行都加到第一行，从第一行提取 x+(n-1)

4、a 得下页解：例4. 计算行列式下页一、余子式与代数余子式 定义5 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 例如，求4阶行列式中a32的代数余子式a11a21a41 a13a23a43 a14a24a44 M32 A32 (-1)3+2M32= -M32令Aij(1)ijMij，Aij称为元素aij的代数余子式.2.2 行列式按行(列)展开下页 一、余子式与代数余子式 定义5 在n行列式D=|ai

5、j|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.令Aij(1)ijMij，Aij称为元素aij的代数余子式.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 再如，求4阶行列式中a13的代数余子式a21a31a41 a22a32a42 a24a34a44 M13 A13 (-1)1+3M13= M13下页2.2 行列式按行(列)展开 定理4 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即 定理5 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的

6、元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即Dai1Ai1 ai2Ai2 ainAin (i=1, 2, , n)，Da1jA1j a2jA2j anj Anj (j=1, 2, , n).ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 (i j)，a1iA1ja2iA2j ani Anj 0 (i j).二、展开定理下页 例1分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D = 解：按第一行展开13311-2311-213a11A11a12A12a13A13 D=1(-1)1+1+0(-1)1+2(-1)1+3+(-2)=1(-8)+0+(-2)5=-18.三、利用展开定理

7、计算行列式下页按第二列展开1-2311-2-2111-23 =0+1(-3)+3(-1)5=-3-15=-18 . 例1分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D = 解：按第一行展开a11A11a12A12a1nA1n D=1(-8)+0+(-2)5=-18.(-1)3+2+3(-1)2+2+1(-1)1+2=0a12A12a22A22a32A32 D下页解：将某行(列)化为一个非零元后展开例2计算行列式 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D =(-1)(-1)3+2 7 1 4 7 -2 -5 1 1 2 6 0 2 9 0 -1 1 1 2=

8、1(-1)2+2 692-1=-6-18=-24. 7 0 1 4 7 0 -2 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D =下页例3. 计算行列式解：下页, ( D2=5 )解：例4. 计算行列式下页证明：从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得例5. 证明范得蒙（Vandermonde）行列式下页下页下页由此推得 ， 即 下页例如 n = 4 时D4 =下页范得蒙（Vandermonde）行列式下页注意：j=1,2,n有且仅有一个解第3节 克莱姆法则定理6 含有n个未知量n个方程的线性方程组当其系数行列式时 其中

9、，Dj是把系数行列式D的第j列换为方程组的常数列 b1,b2,bn所得到的n阶行列式（j=1,2,n）. 下页例1. 解线性方程组 下页解: 方程组的系数行列式 故方程组有唯一解. 适用条件 未知数的个数 = 方程的个数； 系数行列式D0.解: 方程组的系数行列式 故方程组有唯一解. 而故方程组的解为 下页推论（定理6之逆否命题） 含有n个未知量n个方程的线性方程组 如果无解或非唯一解, 则系数行列式D=0. 例2. 解线性方程组 下页显然，此方程组无解. 其系数行列式为定理7 （齐次线性方程组） 含有n个未知量n个方程的线性方程组当其系数行列式时 方程组只有零解, 而没有非零解. 下页 推论

10、 若齐次线性方程有非零解，则必有系数行列式 .例3. 取何值时，下列方程组只有零解? 解：因为所以，当D0，即 5， 2 且 8 时，方程组只有零解.下页由对角线记忆法得l+2 0l+2 3 6 l+5 -3l-4 -3= (l+2) 1 0 1 3 6 l+5 -3l-4 -3=(l+2)2(l-4) 作业： 21页 4 (3)(4) 22页 5(4) 6 (2)(4) 23页 9,10(1) 结束 a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann =k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nai

11、n+binanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann =+a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .a11ai1+kaj1an1a12ai2+kaj2an2a1nain+kajnanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11kaj1an1a12kaj2an2a1nkajnanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 例2. 计算行列式解：下页第2章 向量与矩阵2 矩阵的概念与运算下页1 向量的概念与运算3 逆矩阵4 分块矩阵5 矩阵的初等变换与初等矩阵6 矩阵的秩7

12、 向量组的线性相关性8 向量组的正交化第1节 向量的概念与运算 定义1 n个数a1，a2， ，an组成的有序数组 (a1, a2, , an)，称为n维向量，记为a，其中a i (i=1,2,n)叫做向量的第i个分量. a=(a1, a2, , an)，a1a2an. a=写成列的形式，称为列向量，记为n维向量写成行的形式，称为行向量，记为下页1.1 向量的概念下页 (-a1, -a2, , -an)T，为向量a的负向量，记作 - a .称向量 (0, 0, , 0)T为零向量，记作O .称向量如果向量a=(a1, a2, , an)T与向量b=(b1, b2, , bn)T都是n维向量，且对

13、应的分量都相等，则称它们相等，记作ab.a1a2an a=本教材约定向量的形式为列向量，即或记做 a =(a1, a2, , an)T向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数): (1)a +b =b +a (2)a +(b +g )=(a +b ) +g (3)a +O =a (4)a +(-a) =O(5)(k+l)a=ka +la(6)k(a +b)=ka + kb(7)(kl)a= k(la)(8)1a=a 1.2 向量的运算定义2 设 ,则（1） （2） （k为常数）下页向量的加法向量的数乘下页向量的减法设a、b都是n维向量，利用负向量可定义向量的减法为: a

14、 - b ,即对应分量相减.= a + (- b )例1设解：解：a+2g+(-a)=b+(-a) ；两边加a 的负向量a+(-a) +2g =b+(-a) ；交换律O+2g =b-a ；性质4a+(-a) +2g =b-a ；约定（减法）2g =b-a ；性质3*2g = *(b-a) ；数乘运算1g = *(b-a) ；恒等变换g = *(b-a) ；性质8下页例2设说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.(计算结果，略.)定义3 设a=(a1, a2, , an )T与b=(b1, b2, , bn )T是两个n维向量，则实数称为向量a和b的内积，记为(a ,

15、b )，或aT b.向量的内积 例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T , 则a与b 的内积为(a , b ) =(-1)2+10+0(-1)+23=4 .下页内积的性质 设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数. (1) ( a,b ) =(b,a ) ； (2) (ka,b ) = k ( a,b ) ； (3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，当且仅当a=o时，有( a,a ) =0 .下页向量的长度定义4 对于向量a=(a1, a2, , an )T，其长度(或模)为 例如，向量a=(-1,

16、 2, 0, 2)T的长度为向量长度的性质（了解）下页 长度为1的向量称为单位向量. 向量的单位化（标准化）下页 例4n维单位向量组e1，e2，en，是两两正交的：(ei ,ej ) =0 (ij) . 例3零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交.定义5 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角 定义为： 若(a ,b )=0，则称向量a与b互相正交(垂直), .下页 定义6 如果m个非零向量组 a1，a2，am两两正交，即 (ai ,aj )=0(ij)，则称该向量组为正交向量组. 如果正交向量组a1，a2，am的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组.下页 显然,例

17、4中n维单位向量组e1，e2，en为标准正交向量组.标准正交向量组 在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：a11x1 + a12x2 + + a1nxn =b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm (a11 a12 a1n b1) (a21 a22 a2n b2)(am1 am2 amn bm)这些有序数组可以构成一个表a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2am1 am2 amn bm这个表就称为矩阵.2.1 矩阵的概念下页第2节 矩阵的概念与运算其中

18、aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素. 一般情况下，我们用大写字母 A，B，C 等表示矩阵.mn矩阵A简记为 A(aij)mn 或记作 Amn .a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn定义1 由 mn 个数 aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵，记作下页 如果矩阵A与B的行数相等，列数也相等，则称A与B是 同型矩阵或同阶矩阵。 零矩阵 所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.行矩阵与列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如

19、a=(a1 a 2 an)， b1b2bm b =.负矩阵-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn称矩阵为A的负矩阵,记作 A.下页b11b21 bn10b22bn2 00bnnB=.A=.a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann 如下形式的 n 阶矩阵称为上三角形矩阵.三角形矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为下三角形矩阵.方阵 若矩阵 A 的行数与列数都等于 n，则称 A 为 n 阶矩阵，或称为 n 阶方阵.下页注意：区别方阵与行列式数表数值a110 00a220 00annA= .对角矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为对角矩阵.

20、 对角矩阵可简单地记为A=diag(a11, a22, , ann) . 单位矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 En 或 E.10 0010 001E = . 定义2 矩阵相等：设A(aij)，B(bij)为同阶矩阵，如果aijbij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)，则称矩阵A与矩阵B 相等，记作AB .下页2.2 矩阵的运算 定义1 设A与B为两个mn矩阵ABa11+b11 a12+b12 a1n+b1n a21+b21 a22+b22 a2n+b2n am1+bm1 am2+bm2 amn+bmn=.a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2

21、 amnA=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB=， A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与B的和，记为AB.即C=A+B .下页2.2.1矩阵的加法 例1设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，则3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A+B=1 3 2 02 1 5 70 6 4 8+3+1 5+3 7+2 2+02+2 0+1 4+5 3+70+0 1+6 2+4 3+8=4 8 9 24 1 9 100 7 6 11.=矩阵的加法：设A(aij)mn与B(bij)mn，则A

22、+B= (aij+bij)mn。下页 设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律： （1）交换律： A+B=B+A;（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C); （3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵; 矩阵的减法可定义为: 显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C； 若A+C=B+C，则A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵. 下页a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA=， 定义2 设A(aij)为mn矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的数量乘积，记为kA.即ka11 ka12

23、 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnkA=.2.2.2 数与矩阵的数法下页矩阵的数乘： 设A(aij)mn ，则kA=(kaij)mn . 例2设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，则3A3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 = 333 35 37 3232 30 34 3330 31 32 33 = 9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = .下页(5) k(AB)kAkB；(6) (kl)AkAlA ；(7) (kl)Ak(lA)；(8) 1A=A . 设A，B，C，O都是mn矩阵，k，l为常数，则矩阵数乘的性质性质(1)-

24、(8)，称为矩阵线性运算的8条性质，须熟记.下页 例3设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，求3A-2B . 解：3A-2B 3 5 7 22 0 4 30 1 2 3= 31 3 2 02 1 5 70 6 4 8-22 6 4 04 2 10 140 12 8 16-9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = .7 9 17 62 -2 2 -50 -9 -2 -7=9-2 15-6 21-4 6-06-4 0-2 12-10 9-140-0 3-12 6-8 9-16 = 下页 例4已知3 5 7 22 0 4

25、30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，且A+2X=B，求X . 解：A+2X+(-A)=B+(-A) ；两边加A 的负矩阵A+(-A) +2X =B+(-A) ；交换律O+2X =B-A ；性质4A+(-A) +2X =B-A ；约定（减法）2X =B-A ；性质3*2X = *(B-A) ；数乘运算1X = *(B-A) ；恒等变换X = *(B-A) ；性质8下页从而得 X = *(B-A) 例4已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，且A+2X=B，求X . 说明：实际运算时，一般给出

26、主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.解：下页 定义3 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：构成的mn矩阵C 称为矩阵 A 与矩阵 B 的积，记为CAB . 则由元素 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsA=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnB=，c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnAB=.即2.2.3 矩阵的乘法 下页 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j

27、1, 2, , n) . a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn= ai1b1jai2b2j aisbsj .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj 注： A的列数等于B的行数，AB才有意义; C的行数等于A的行数，列数等于B的列数. 因此， cij 可表示为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.矩阵的乘法cij下页下页 ai1b1jai2b2j aisbsj .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj

28、 注： A的列数等于B的行数，AB才有意义; C的行数等于A的行数，列数等于B的列数. 因此， cij 可表示为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.cij反例设B = . 1 -2 -32 -1 0A= ，0 10 -11 21 51 -2 -32 -1 0则 AB= 0 10 -11 21 5= 无意义.B = ，求AB及BA . A= ， 例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78（1）先行后列法B = ，求AB及BA . A= ， 例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -

29、23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78-30-3（1）先行后列法B = ，求AB及BA . A= ， 例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法下页B = ，求AB及BA . A= ， 例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=5-38（2）先列后行法B = ，求AB及BA . A= ， 例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=5-3

30、8-70-7（2）先列后行法B = ，求AB及BA . A= ， 例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B = ，求AB及BA . A= ， 例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 02 31 -23 11 -2 -32 -1 0BA=4-983 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法下页 例6设A= ，4-2-21B= ，求AB及BA . 4 2-6-3AB=4-2-214 2-6-3 解：-32

31、 -16168=BA=4-2-214 2-6-30 000=B = ，求AB及BA . A= ， 例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.下页 例6设A= ，4-2-21B= ，求AB及BA . 4 2-6-3AB= 解：-32 -16168，BA=0 000B = ，求AB及BA . A= ， 例5设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.显然，1)矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA ; 2)两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵， 从而不能从AB=O，

32、推出A=O或B=O .下页1110 例7设A= ，B= ，求AB及BA . 2110 解：11102110AB=3110=21101110BA=3110= 显然AB=BA . 如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换.下页显然AC=BC，但AB .矩阵乘法不满足消去律.下页 例8设例10.1 0 00 0 00 0 1设A =则AA =1 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 1= A .显然AA=A，但AE，A O . 下页例9 对于任意矩阵A,B及相应的单位矩阵E,有EA=A,BE=B. 对于任意矩阵A,B及相应的零矩阵O，

33、有AO=O， OB=O.a11x1+a12x2+ +a1nxn =b1a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2am1x1+am2x2+ +amnxn=bm x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm =例11. 线性方程组的矩阵表示（矩阵方程）简记为： AX=B .x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 其中，A=，X=，B=下页应注意的问题 (1) ABBA ； (3) AB=OA=O或B=O ； / (2) AC=BCA=B； / 矩阵乘法的性质方阵的幂 对于方阵A及自然数k Ak=AA A (k个A相乘)，称为方阵A的k次幂. 方阵的幂有下列性质： (1)ArAs=Ar+s； (2) (Ar)s=Ars . (4) AA=AA=E或A=O . / (1