512向量的内积与二次型

1、第五章 二次型一、向量的内积 1.向量内积的概念2.向量组的标准正交化3.正交矩阵二、二次型及其标准形 下页本章要求 1掌握二次型的矩阵表示 ；本章重点 用正交变换化二次型为标准形 .第五章 二次型2掌握用正交变换化二次型为标准形的方法 ；3了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法 .下页一、向量内积的概念 定义1 设a=(a1, a2, , an )T与b=(b1, b2, , bn )T是Rn中的两个向量，则实数称为向量a和b的内积，记为(a , b ).即内积的定义第一节 向量的内积 例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T , 则a和b 的内积为(a ,

2、 b ) =(-1)2+10+0(-1)+23=4 .下页内积的性质 设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数. (1) ( a,b ) =(b,a ) ； (2) (ka,b ) = k ( a,b ) ； (3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，当且仅当a=0时，有( a,a ) =0 .内积的定义显然, 下页向量的长度定义2 对Rn中的向量a=(a1, a2, , an )T，其长度(或模)为 例如，在R2中，向量a=(-3, 4)T的长度为向量长度的性质（了解） (1)|a |0，当且仅当a=0时，有|a |=0； (2)|

3、ka |=|k|a | (k为实数)； (3) 三角不等式: |a + b | |a| |b| ； (4)对任意向量a，b，有 |(a ,b )| |a | |b | .下页 长度为1的向量称为单位向量. 向量的单位化（标准化）下页 例2Rn中的n维单位向量组e1，e2，en，是两两正交的：(ei ,ej ) =0 (ij) . 例1零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交.正交向量组定义3 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角 定义为： 若(a ,b )=0，则称向量a与b互相正交(垂直), .下页正交向量组 定义4 如果Rn中的m个非零向量组 a1，a2，am两两正交，即 (a

4、i ,aj )=0(ij)，则称该向量组为正交向量组. 如果正交向量组a1，a2，am的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组.定义3 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角 定义为： 若(a ,b )=0，则称向量a与b互相正交(垂直), .下页 证明：设a1，a2，am为正交向量组，且有数k1，k2，km，使 k1a1+k2a2+ +kmam=0 上式两边与向量组中的任意向量ai求内积， aiT(k1a1+k2a2+ +kmam)=0 (1im)，可得 kiaiTai=0，但ai0，有aiTai0。所以ki=0 (1im)，则a1，a2，am线性无关. 定理1 Rn中的正交向量

5、组是线性无关的向量组.下页定理2（施密特正交化方法） 对于Rn中的线性无关向量组a1，a2，am，令 b1=a1， 向量组b1，b2，bm是正交向量组，并且与向量组a1，a2，am可以相互线性表示.二、向量组的标准正交化下页 例3设线性无关向量组为a1=(1, 1, 1, 1)T，a2=(3, 3,-1,-1)T，a3=(-2, 0, 6, 8)T，试将a1，a2，a3正交化、标准化. 解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令 b1=a1=(1, 1, 1, 1)T，=(3, 3, -1, -1)T=(2, 2, -2, -2)T， =(-1, 1, -1, 1)T .(1, 1,

6、 1, 1)T此时 b1， b2， b3，为正交组.下页(2)再将正交化后的向量组标准化，即令此时 1，2，3，即为所求标准正交组.说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化.下页三、正交矩阵 例如，单位矩阵E为正交矩阵. 定义5 如果n阶实矩阵A满足ATA=E或AATE， 则称A为正交矩阵.下页 三、正交矩阵定理3 正交矩阵具有如下性质： 1A为正交矩阵的充要条件是A-1=AT； 2. 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； 3. 两个正交矩阵的乘积是正交矩阵； 4. 正交矩阵是满秩的且|A|=1或-1； 5. A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标 准正交向量组. （证明见下页）定义6

7、 如果n阶实矩阵A满足ATA=E或AATE， 则称A为正交矩阵.下页性质5 设A为n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准正交向量组. 证明：设A=(a1，a2，an)，其中a1，a2，an为A的列向量组，则AT的行向量组为a1T，a2T，anT，ATA第i行第j列元素为aiTaj，由此可知ATA=E等价于即A为正交矩阵的充分必要条件是其列向量组是标准正交向量组. 类似可证，A为正交矩阵的充分必要条件是其行向量组是标准正交向量组.下页一、二次型及其标准形 定义含有n个变量的二次齐次多项式叫做n元二次型，当二次型的系数aij ( i ,j=1,2, ,n)都是实数时，称为

8、实二次型（本教材只讨论实二次型）.二次型的定义特别地，只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形第二节 二次型 下页一、二次型及其标准形 二次型的矩阵形式令下页得一、二次型及其标准形 下页一、二次型及其标准形 下页，其中一、二次型及其标准形 所以二次型可以表示为实对称矩阵称A为二次型系数矩阵, A的秩称为二次型的秩.若二次型f是标准形,即其系数矩阵是对角阵.下页其中,其中则 f 的矩阵形式为(验证在后)一、二次型及其标准形 若二次型f是标准形,即其系数矩阵是对角阵.下页其中则 f 的矩阵形式为验证：例1.写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩(1)(2)(2)二次型系数矩阵为因r(A)=

9、3,故二次型的秩等于3.因r(B)=2,故二次型的秩等于2.解: (1)二次型下页系数矩阵为化二次型为标准形：问题的提出：p11 y1p21 y1pn1 y1p12 y2p22 y2pn2 y2p1n ynp2n ynpnn ynx1x2xn=+-+由变量y1, y2,， yn到x1, x2,， xn线性变换 若|P|0，则上述线性变换称为可逆(满秩)线性变换.或 X=PY.问题：如何找一个满秩线性变换X=PY，使得将其代入二次型后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式(标准形) .一、二次型及其标准形 下页问题的讨论：现将X=PY代入二次型，得 上式右端是关于变量y1, y2,， yn的二次型.如果其为标准形为其中比较上式两端得， 那么，这个P 存在吗？一、二次型及其标准形 下页二、矩阵的合同 定义2 设A,