新人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步：8.4.1 平面

1、8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面 1.了解平面的表示方法. 2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实. 3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系. 平面概念几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的,平面是向四周无限延展的画法我们常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成横向当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成竖向图示表示方法(1)用希腊字母表示:如平面,平面,平面等;(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点表示:如平面ABCD;(3)用代表平面的平行四边形相对的两个顶点的大写英文字母表示:如平面AC,平面BD 平面的基

2、本性质基本事实文字语言图形语言符号语言作用基本事实1过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线存在唯一的平面使A,B,C确定平面;判定点、线共面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内Al,Bl,且A,Bl判定直线在平面内;判定点在平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P,且P=l,且Pl判定两平面相交;判定点在直线上 基本事实1和基本事实2的推论 文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面Al有且只有一个平面,使A,l推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面ab

3、=P有且只有一个平面,使a,b推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面ab有且只有一个平面,使a,b1.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.()提示：平面是无厚度的,故说法错误. 2.有一个平面的长是50 m,宽是20 m.()提示：平面是无限延展的,不可度量,故说法错误. 3.平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念. ()4.空间中不同的三点可以确定一个平面.()提示：不在同一条直线上的三点确定一个平面. 5.空间两两相交的三条直线确定一个平面.()提示：两两相交的三条直线不交于一点才能确定一个平面. 6.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内.()判断正误，正确的画“” ，错误的

4、画“ ” . 探究共面、共线问题 点、线共面问题的证明 1.点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论. 2.解决此类问题的方法: 纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内; 辅助平面法(平面重合法):先由部分点、线确定平面,再由其余元素确定平面,最后证明平面,重合; 反证法:假设不共面,结合题设推出矛盾. 注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明.点共线、线共点问题 1.点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上的问题,主要证明依据是基本事实3:如果两个不重合的平面有

5、一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.解决三点共线问题的常用方法: 首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上; 选择其中两点,确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上. 3.证明三线共点的步骤: 首先说明两条直线共面且交于一点; 然后说明这个点在另两个平面上,并且这两个平面相交; 得到交线也过此点,从而得到三线共点.已知ABC在平面外,AB=P,AC=R,BC=Q,如图所示.求证:P、Q、R三点共线. 思路点拨思路1:先证明P平面ABC,再证点P在平面ABC与平面的交线上,最后证明P、Q、R三点共线;思路2:先确定平面APR平面=PR,再证明P、Q、R三点共线.证明证法一:AB=P,PAB,P平面.又AB平面ABC,P平面ABC.由基本事实3可知,点P在平面ABC与平面的交线上,同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上.P、Q、R三点共线.证法二:APAR=A,直线AP与直线A