新人教版高中数学必修第二册第六章平面及其应用：6.4综合拔高练

1、6.4综合拔高练五年高考练考点1利用余弦定理和正弦定理解三角形(2020课标,7,5分,)在ABC中,cos C=23,AC=4,BC=3,则cos B=() A.19B.13C.12D.232.(2019浙江,14,6分,)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.3.(2020新高考,17,10分,)在ac=3,csin A=3,c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=3sin

2、 B,C=6,?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.4.(2020课标,17,12分,)ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.(1)求A;(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.5.(2020天津,16,14分,)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=22,b=5,c=13.(1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(3)求sin2A+4的值.6.(2019课标,17,12分,)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求si

3、n C.考点2余弦定理和正弦定理在实际问题中的应用7.(2019江苏,18,16分,)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d

4、最小时,P,Q两点间的距离.考点3三角形面积公式的应用8.(2019课标,15,5分,)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.9.(2018北京,14,5分,)若ABC的面积为34(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;ca的取值范围是.10.(2020北京,17,13分,)在ABC中,a+b=11,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;(2)sin C和ABC的面积.条件:c=7,cos A=-17;条件:cos A=18,cos B=916.注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分.11.(2019课标

5、,18,12分,)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.三年模拟练应用实践 1.(2020海南海口高二上期末,)设点G是ABC的重心,且2sin BAB+3sin AGA+2sin CGC=0,则cos C=()A.34B.23C.13D.9162.(2020广东中山高二上期末,)如图,为了测量某湿地A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的C,D,E三点.从D点测得ADC=67.5,从C点测得ACD=45,BCE=75,从E点测得BEC=60.若测得DC=23,CE=2(单

6、位:百米),则A,B两点间的距离为()A.6百米B.22百米C.3百米D.23百米3.(2020甘肃顶级名校高二月考,)已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b, c,且(a2+b2-c2)(acos B+bcos A)=abc,若ABC的外接圆半径为233,则ABC的周长的取值范围为()A.(2,4B.(4,6C.(4,6)D.(2,64.(2020河南南阳高二上期末,)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=2,C=3,且sin C+sin(B-A)-2sin 2A=0,则下列结论不一定成立的是()A.b=2aB.ABC的周长为2+23C.ABC的面积为233D.ABC的外

7、接圆半径为2335.(2020吉林长春外国语学校高二上期末,)在ABC中,已知(a+b)(c+a)(b+c)=654,给出下列结论:这个三角形被唯一确定;ABC一定是钝角三角形;sin Asin Bsin C=753;若b+c=8,则ABC的面积是1532.其中正确结论的序号是.6.(2020广东深圳实验学校高一上期末,)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,给出下列说法:若a2+b22;若abc2,则C3;若a3+b3=c3,则C(a+b)c,则C2;若(a2+b2)c22a2b2,则0CAB,AD=27,AB=6,若,求ACD的面积.迁移创新9.()在数学建模课上,老师给大家带来

8、了一则新闻:“2019年8月16日上午,高423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼(以下简称国贸中心)正式封顶,随着最后一方混凝土浇筑到位,标志着东莞最高楼纪录诞生,由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线,比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中,老师提出了问题:国贸中心真有这么高吗?我们能否运用所学知识测量验证一下?一周后,两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.第一小组采用的是“两次测角法”,他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为,正对国贸中心前进了s米后,到达B点,在B点测得国贸中心顶部的仰角为,然后计算出国贸中心的高度(如图1).第二小

9、组采用的是“镜面反射法”,在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼(与国贸中心处于同一水平面,每层约3米)楼顶天台上,进行两个操作步骤:将平面镜置于天台地面上,人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置,测量出人与镜子的距离为a1米;正对国贸中心,将镜子前移a米,重复中的操作,测量出人与镜子的距离为a2米,然后计算出国贸中心的高度(如图2).实际操作中,第一小组测得s=310米,=30,=45,最终算得国贸中心的高度为H1;第二小组测得a1=1.45米,a=12米,a2=1.40米,最终算得国贸中心的高度为H2.假设测量者的“身高h”都为1.60米.(1)请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据:

10、21.4,31.7,结果保留整数);(2)你认为哪个小组的方案更好?请说明理由.答案全解全析五年高考练1.A由cos C=AC2+BC2-AB22ACBC得23=16+9-AB2243,AB=3(负值舍去),cos B=BA2+BC2-AC22BABC=9+9-16233=19,故选A.2.答案1225;7210解析在BDC中,BC=3,sinBCD=45,BDC=45,由正弦定理得BDsinBCD=BCsinBDC,则BD=34522=1225,在ABD中,sinBAD=35,cosBAD=45,ADB=135,cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos

11、45cosBAD+sin 45sinBAD=2245+35=7210.3.解析方案一:选条件.由C=6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由ac=3,解得a=3,b=c=1.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件.由C=6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c,B=C=6,A=23.由csin A=3,所以c=b=23,a=6.因此,选条件时问题中的三角形存在,此

12、时c=23.方案三:选条件.由C=6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由c=3b,与b=c矛盾.因此,选条件时问题中的三角形不存在.4.解析(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=ACAB.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcos A.由得cos A=-12.因为0A,所以A=23.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,从而AC=23sin B,AB=23sin(-A-B)=3cos B-3sin B.故BC+AC+AB=3+

13、3sin B+3cos B=3+23sinB+3.又0B3,所以当B=6时,ABC的周长取得最大值3+23.5.解析(1)在ABC中,由余弦定理及a=22,b=5,c=13,有cos C=a2+b2-c22ab=22.又因为C(0,),所以C=4.(2)在ABC中,由正弦定理及C=4,a=22,c=13,可得sin A=asinCc=21313.(3)由ac及sin A=21313,可得cos A=1-sin2A=31313,进而sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=2cos2A-1=513.所以sin2A+4=sin 2Acos 4+cos 2Asin4=121322

14、+51322=17226.6.解析(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin C,即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-22.由于0C0,所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在PP1

15、B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=QA2-AC2=152-62=321. 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.8.答案63解析由b2=a2+c2-2accos B及已知得62=(2c)2+c2-22cc12,c=23(c=-23舍去).a=2c=43,ABC的面积S=12acsin

16、B=12432332=63.9.答案3;(2,+)解析依题意有12acsin B=34(a2+c2-b2)=342accos B,则tan B=3,0B2,又A0,0A6,则0tan A3,故ca12+323=2.故ca的取值范围为(2,+).10.解析若选条件.(1)a+b=11,b=11-a,已知c=7,cos A=-17,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=(11-a)2+72-2(11-a)7-17,解得a=8.(2)cos A=-17,sin A=1-cos2A=437,asinA=csinC,sin C=csinAa=32.又b=11-a=11-8=3,SABC=

17、12bcsin A=1237437=63.若选条件.(1)cos A=18,sin A=1-cos2A=378,cos B=916,sin B=1-cos2B=5716.由正弦定理asinA=bsinB,得a378=b5716,5a=6b,又a+b=11,a=6.(2)由(1)可得b=11-a=5.sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=378916+185716=74,SABC=12absin C=126574=1574.11.解析(1)由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因为sin A0,所以sinA+C2

18、=sin B.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,所以sinB2=12,因此B=60.(2)由题设及(1)知SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,从而38SABC32.因此,ABC面积的取值范围是38,32.三年模拟练应用实践1.B因为点G是ABC的重心,所以GA+GB+GC=0,由题意及正弦定理得2bAB+3aGA+2cGC=0,所以2b(GB-GA)+3

19、aGA+2cGC=0,即(3a-2b)GA+2bGB+2cGC=0,故2b=2c=3a-2b,即b=c,a=43b.由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=b2+169b2-b224b3b=23.2.C在ADC中,ACD=45,ADC=67.5,则DAC=180-45-67.5=67.5,又DC=23,AC=DC=23.在BCE中,BCE=75,BEC=60,则EBC=180-75-60=45,由正弦定理得ECsinEBC=BCsinBEC,BC=ECsinBECsinEBC=23222=3.在ABC中,AC=23,BC=3,ACB=180-ACD-BCE=60,由余弦定理得AB2=A

20、C2+BC2-2ACBCcosACB=9,AB=3(负值舍去),即A,B两点间的距离为3百米.3.B由(a2+b2-c2)(acos B+bcos A)=abc,得(a2+b2-c2)aa2+c2-b22ac+bb2+c2-a22bc=abc,整理得,a2+b2-c2=ab,所以cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,因为C(0,),所以C=3.由正弦定理得c=2233sin C=43332=2,a=433sin A,b=433sin B,所以a+b+c=2+433(sin A+sin B)=2+433sin23-B+sinB=43332cosB+32sinB+2=4sinB+6

21、+2.因为B0,23,所以B+66,56,所以24sinB+64,所以44sinB+6+26,即40),a=72k,b=52k,c=32k,则abc=753,由正弦定理可知,sin Asin Bsin C=753,故正确;由于三角形ABC的边长不确定,故三角形不确定,故错误;cos A=b2+c2-a22bc=254k2+94k2-494k225232k2=-120,则A=120,故ABC是钝角三角形,故正确;若b+c=8,则52k+32k=4k=8,解得k=2,故b=5,c=3,又A=120,ABC的面积S=12bcsin A=125332=1534,故错误.故正确的是.6.答案解析因为a2

22、+b2c2,所以由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab2,故正确;因为abc2,所以cos C=a2+b2-c22ab2ab-c22ab2ab-ab2ab=12,又0C,所以0C0,b0,c0,所以ac3+bc3=1,所以0ac1,0bc1,所以1=ac3+bc3c2,故C(a+b)c,所以c2aba+b,所以c22aba+b2=4a2b2a2+b2+2ab,因为a2+b22ab,所以c24a2b2a2+b2+2ab4a2b24ab=ab,由知,此时0C3,故错误;因为(a2+b2)c22a2b2,所以c22a2b2a2+b2,因为a2+b22ab,所以c22a2b2a2+b22a2b

23、22ab=ab,由知,此时0C3,故正确.7.解析(1)m=(cos B,sin B-2sin C),n=(2cos C+cos B,sin B),且mn,mn=cos B(2cos C+cos B)+sin B(sin B-2sin C)=0,化简得2cos(B+C)+1=0,即-2cos A+1=0,cos A=12,A(0,),A=3.(2)根据题意,由正弦定理可得ACsinB=ABsinC=3sin3=2,AC=2sin B,AB=2sin C.AB+AC=2sin C+2sin B=2sin B+2sin23-B=2sin B+232cos B+12sin B=23sinB+6.B0,23,B+66,56,sinB+612,1,23sinB+6(3,23,即AB+AC(3,23.8.解析若选择,由正弦定理得sin Bcos Acos C=sin Asin Bsin C-12sin B,因为sin B0,所以cos Acos C-sin Asin C=-12,即cos(A+C)=-12.因为B=-(A+C),所以cos(A+C)=-cos B=-12,即cos B=12,因为0B,所以B=3.若选择,由正弦定理得sin2Bcos C+12sin Csin 2B=3sin Acos B,即sin2Bcos C+sin Csin Bcos B=3sin