新人教版高中数学必修第二册第七章复数：本章达标检测

1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.计算:i(1+i)2=()A.-2B.2C.2iD.-2i2.复数-2i1+i =()A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i3.在复平面内,复数z=12+i+i2 018对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知复数z=2-i2+i-2+i2-i,则z的共轭复数的虚部为()A.65B.85C.-85D.-85i5.已知复数z=5a2+i+1+i1-i,aR,若复数z对应的点在复平面内位于第四象限,则实

2、数a的取值范围是()A.a1C.0a1D.a0,则z12-z22B.|z1-z2|=(z1+z2)2-4z1z2C.z12+z22=0z1=z2=0D.z1-z1是纯虚数或零12.已知复数z,下列结论正确的是()A.“z+z=0”是“z为纯虚数”的充分不必要条件B.“z+z=0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件C.“z=z”是“z为实数”的充要条件D.“zzR”是“z为实数”的充分不必要条件三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.设复数z=1+i1-i,则|z|=.14.在复平面内,复数1+i与-1+3i分别对应向量OA和OB,其中O为坐标原点,则|AB|

3、=.15.已知i为虚数单位,若复数z=a2-4+(a-2)i(aR)是纯虚数,则|z+1|=;zz=.(本题第一空2分,第二空3分) 16.定义复数的一种运算z1* z2=|z1|+|z2|2(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且正实数a,b满足a+b=3,则z*z的最小值为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)计算:(1)(2+2i)4(1-3i)5;(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.18.(本小题满分12分)已知复数z=a-1+ai(aR).(1)若z是纯虚数,求a;(2)若|z|=5,求z.19.

4、(本小题满分12分)已知z是复数,z+2i与z2-i均为实数.(1)求复数z;(2)若复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=2,z2的虚部是2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求ABC的面积.21.(本小题满分12分)已知z为虚数,z+9z-2为实数.(1)若z-2为纯虚数,求虚数z;(2)求|z-4|的取值范围.22.(本小题满分12分)已知=-12+32i(i为虚数单位).(1)求(+22)2+(2+2)2;(2)求2+12;(3)类比i(i2=-1),探讨(3=1,

5、为虚数)的性质,求n(nN*)的值.答案全解全析一、单项选择题1.Ai(1+i)2=i2i=-2.2.A复数-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-i(1-i)=-i-1.3.C因为z=12+i+i2 018=2-i(2+i)(2-i)+(i4)504i2=2-i5-1=-35-15i,所以复数z=12+i+i2 018对应的点的坐标为-35,-15 ,所以复数z=12+i+i2 018对应的点位于第三象限.4.B复数z=2-i2+i-2+i2-i=(2-i)2(2+i)(2-i)-(2+i)2(2-i)(2+i)=-8i5,则z的共轭复数的虚部为85.5.Bz=5a(2-i)(

6、2+i)(2-i)+(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2a+(1-a)i,因为复数z对应的点在复平面内位于第四象限,所以2a0,1-a1.6.D由题图得,OC=OA+OB,所以OC对应的复数为1+2i-2+i=-1+3i,所以点C对应的复数为-1+3i.7.A若z1=z2,则m2+m+1=3,m2+m-4=-2,解得m=1或m=-2.所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件.8.B设z=a+bi(a,bR),点B对应的复数为z1,则A(a,b),z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因为点B与点A恰好关于坐标原点对称,所以-b-1=-a,a-1=-b,解得a=

7、1,b=0,于是z=1.二、多项选择题9.BCz=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i,所以|z|=2,故A是假命题 ;z2=2i,故B是真命题;z的共轭复数为1-i,故C是真命题;z的虚部为1,故D是假命题.10.BC对于A,在复平面内,实轴上的点都表示实数,虚轴上的点除原点外都表示虚数,A错误;对于B,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则z1+z2=(a+c)-(b+d)i,z1+z2=(a+c)-(b+d)i,所以z1+z2=z1+z2,B正确;对于C,im+im+1+im+2+im+3=im(1+i+i2+i3)=im(1+i-1-i)=0,C正确;对

8、于D,若|z-i|=|z+i|,则在复平面内,复数z到点(0,1)和(0,-1)的距离相等,所以复数z对应的点的集合是实轴,D错误.故选BC.11.ABC当z1=4+i,z2=2-2i时,z12=15+8i,z22=-8i,满足z12+z220,但z12与-z22都是虚数,不能比较大小,故A中结论错;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,所以|z1-z2|与(z1+z2)2-4z1z2不一定相等,故B中结论错;当z1=2+i,z2=1-2i时,z12=3+4i,z22=-3-4i,满足z1+z2=0,但z1=z2=0不成立,故C中结论错;设z1=a+bi(a,bR),则z1=a-bi

9、,故z1-z1=2bi,当b=0时,z1-z1=0,当b0时,z1-z1是纯虚数,故D中结论正确.12.BC若z+z=0,则z不一定为纯虚数,也可以为0,反之,若z为纯虚数,则z+z=0,“z+z=0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件,A错误,B正确;“z=z”是“z为实数”的充要条件,C正确;若zzR,则z不一定为实数,也可以为虚数,反之,若zR,则zzR,“zzR”是“z为实数”的必要不充分条件,D错误.故选BC.三、填空题13.答案1解析z=(1+i)2(1-i)(1+i)=1+2i+i21-i2=2i2=i,|z|=1.14.答案22解析AB=OB-OA,所以AB对应的复数为(-1+3

10、i)-(1+i)=-2+2i,所以|AB|=22.15.答案17;16解析复数z=a2-4+(a-2)i(aR)是纯虚数,a2-4=0,a-20,解得a=-2,z=-4i,z=4i,|z+1|=|1-4i|=17,zz=16.16.答案322解析z*z=|z|+|z|2=2a2+b22=a2+b2=(a+b)2-2ab.a+b=3,aba+b22=94,当且仅当a=b=32时,等号成立,-ab-94,z*z 9-294=92=322.故z*z的最小值为322.四、解答题17.解析(1)原式=16(1+i)4(1-3i)4(1-3i)=16(2i)2(-2-23i)2(1-3i)=-644(1+

11、3i)2(1-3i)=-16(1+3i)4=-41+3i=-1+3i.(5分)(2)原式=(3+11i)(3-4i)+2i=53+21i+2i=53+23i.(10分)18.解析(1)若z是纯虚数,则a-1=0,a0,(3分)所以a=1.(6分)(2)因为|z|=(a-1)2+a2=5,所以a2-a-2=0,所以a=2或a=-1.(10分)当a=2时,z=1+2i,z=1-2i,当a=-1时,z=-2-i,z=-2+i.(12分)19.解析(1)设z=x+yi(x,yR),则z+2i=x+(y+2)i,(1分)z2-i=x+yi2-i=(2x-y)+(x+2y)i5.(2分)由条件得,y+2=

12、0且x+2y=0,所以x=4,y=-2.(5分)所以复数z=4-2i.(6分)(2)(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.(8分)由条件得12+4a-a20,8(a-2)0,(10分)解得2a6,所以实数a的取值范围是(2,6).(12分)20.解析(1)设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi.(2分)由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,(4分)所以z=1+i或z=-1-i.(6分)(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以SABC=1.(9分)当

13、z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以SABC=1.(12分)21.解析设z=x+yi(x,yR,y0).(1)z-2=x-2+yi,由z-2为纯虚数,得x=2,所以z=2+yi,(2分)所以z+9z-2=2+yi+9yi=2+y-9yi,由z+9z-2为实数,得y-9y=0,解得y=3,(4分)所以z=2+3i或z=2-3i.(5分)(2)因为z+9z-2=x+yi+9x+yi-2=x+9(x-2)(x-2)2+y2+y-9y(x-2)2+y2iR,(7分)所以y-9y(x-2)2+y2=0,因为y0,所以(x-2)2+y2=9,(9分)由(x-2)29得x(-1,5),所以|z-4|=|x+yi-4|=(x-4)2+y2