新编6、向量代数与空间解析几何课件

1、第6章 向量代数与空间解析几何 一、内容提要 （一）主要定义 1.=ax i+ ay j+ az k 的模为 2. a=ax i+ ay j+ az k , b= bx i+ by j+ bz k 数量积(点积)为：a b=a b cos(a b)向量积(叉积)为：a b, 其模为a b =a b sin(a b) 其方向服从右手法则3.混合积：abc= (a b) c方向余弦为（二）主要结论 1.设 a = (ax,ay,az), b = (bx,by,bz), c = (cx,cy,cz), 则a b= axbx+ayby+azbz2.平面方程(1) 一般式 Ax + By + Cz +

2、D = 0.(2) 点法式 A(x - x0) +B (y - y0) +C (z - z0) = 0.(3) 截距式(4) 三点式过M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), (5) 法式方程 cos x+ cos y+ cos z + p = 0式中cos , cos, cos为平面上点 (x, y, z) 处法向量的方向余弦, p 为原点到平面的距离. M3(x3, y3, z3), 的平面方程为3.直线方程一般式 (2) 对称式(3) 参数式(4) 向量式 r=r0+st . 式中 (5) 两点式4.点到平面的距离5.重要的二次曲面(1) 球面 (x x0)2+ (

3、y y0)2+ (z z0)2 =R2(2) 椭球面(3) 锥面(4) 椭圆抛物面(5) 双曲抛物面( p, q异号).(6) 柱面 F ( x, y )=0(7) 单叶双曲面(8) 双叶双曲面6.夹角(1) 两平面的夹角设 1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2 : A2x +B2y +C2z+D2=0,(2) 两直线的夹角(3) 直线与平面的夹角设1: A1x+B1y+C1z+D1=0,（三）结论补充 1.非零向量a, b互相垂直的充要条件是a b=0, 互相平行的充要条件是a b=0. 2.非零向量a, b, c共面的充要条件是(a b) c=0. 3.过两平面A1x+B1y+C1

4、z+D1=0与A2x+B2y+C2z+D2=0交线的平面束方程为: 5.Prj(a+b)=Prja+Prjb, (A1x+B1y+C1z+D1)+ (A2x+B2y+C2z+D2) = 0. 4.设M0是直线L外一点, M是直线L上任一点, 且直线的方向向量为s, 则M0到直线L的距离 8. 空间异面直线L1, L2的方向向量为s1, s2, A, B分别为L1, L2上的两点, 则L1与L2之间的距离为:6. 向量积的运算 (1) a (b c) = (a c) b - (a b) c(2) (a b) c = (a c) b - (c b) a(3) a (b c) + b (c a) +

5、c (a b) = 0 7. 不共线的空间三点A, B, C所决定的平面面积为:二、归类解析 （一）向量代数例6-1 设2a+5b与a-b垂直, 2a+3b与a-5b垂直, 求(a b).例6-2 设A=2a+b, B=ka+b, 其中a =1, b =2, 且a b, 例6-3 从点A(2, -1, 7)沿向量=8i+9j-12k的方向取线段长AB =34, 求点B的坐标.试问: (1) k为何值时, A B;(2) k为何值时, 以A, B为邻边的平行四边形 的面积为6. 例6-4 已知 p, q 和 r 两两垂直, 且p =1, q =2, r =3, 求 s=p+q+r的长度. 例6-

6、5 已知p =2, q =3, (pq)=/3, 求以A=3p-4q和B=p+2q为两邻边的平行四边形的周长.例6-6 证明恒等式(a+b) (b+c) (c+a)=2 (a b) c. 例6-7 用向量代数的方法证明三角形的三条高交于一点.（二）空间平面与直线 1.空间平面例6-8 求通过直线的平面方程., 且平行于直线 例6-9 经过两平面4x-y+3z-1=0和x+5y-z+2=0的交线作一平面, 使之与平面2x-y+5z=0垂直. 例6-10 在由平面2x+y-3z+2=0和平面5x+5y-4z+3=0所决定的平面束内, 求两个相互垂直的平面, 其中的一个经过点(4, -3, 1).例

7、6-12 在过直线L: 的所有平面中, 求一平面, 使原点到的距离最长. 例6-11 一平面通过两直线L1:s=(1, 0, 1),求此平面方程.的公垂线L, 且平行于向量2. 空间直线例6-13 推导两异面直线间的距离公式, 并用此公式求两直线之间的距离.例6-14 设有直线求平行于L1而分别与L2, L3都相交的直线方程.例6-15 在平面x+y+z+1=0内, 作直线通过已知直线, 与平面的交点且垂直于已知直线.例6-16 坐标面在平面3x-y+4z-12=0上截得一个ABC, 从z轴上的一个顶点C作对边AB的垂线, 求它的方程.例6-17 已知入射光线路径为,求该光线经平面x+2y+5

8、z+17=0反射后的反射线方程.3. 点、线、面的其他问题例6-18 求点(1, 2, 3)到直线的距离.例6-19 试证曲线是两条相交直线, 并求其对称式方程.例6-20 一直线过点(2, -1, 3)且与直线相交, 又平行于平面3x-2y+z+5=0, 求此直线., 且垂直于平面例6-21 求过直线x+4y-3z+7=0的平面.例6-22 已知直线求其在平面2x+z+4=0上的投影直线方程.（三）二次曲面与其他问题 例6-23 一条直线通过坐标原点, 且和连接原点与点(1, 1, 1)的直线成45角. 求此直线上点的坐标满足的关系式. 例6-24 求曲线平行于z轴的投影柱面. 例6-25

9、若椭圆抛物面的顶点在原点, z轴是它的轴,且点A(-1, -2, 2)和B(1, 1, 1)在该曲面上, 求此曲面方程.例6-26 求通过直线且切于球面x2+y2+z2=4的平面方程.例6-27 求以A(0,0,1)为顶点, 以椭圆为准线的锥面方程.例6-28 试证在单叶双曲面上可以配置无数条直线.(一)、填空题（3分4=12分）1. 已知a=(2, 1, -1), a/b, a b=3, 则b=2. 已知A(1, 0, 1), B(2, 3, -1), C(-1, 2, 0), 则ABC的面积S=3. 通过曲面, 作一柱面, 使其母线垂直于xoy平面, 则的方程为 4. 点A(-1, 2,

10、0)在平面x+2y-z+3=0的投影为三、同步测试测试6-1(二)、选择题（4分3=12分）1. 非零向量a, b 的数量积a b为 .(A) a Prjba;(D) b Prjab;(B) a Prjba;(C) a Prjab;答案：(C)2. 设有直线则L1与L2的夹角为 .(A) /3; (B) /2; (C) /6; (D) /4.答案：(A)答案：(B)3. 旋转曲面x2-y2-z2=1是 旋转所得.(A) xOy平面上双曲线x2-y2=1绕y轴;(B) xOy平面上双曲线x2-y2=1绕x轴;(C) xOz平面上双曲线x2-z2=1绕z轴;(D) xOz平面上双曲线x2-z2=1

11、绕x轴.(三)、计算题（7分6=42分）1. 求与向量a=2i-j+2k共线且满足方程a x=-18的向量x.2. 在空间直角坐标系中, l1, l2, l3分别为坐标面xOy, yOz, zOx上各坐标轴之间夹角的平分线, 求他们之间的夹角. 3. 一平面经过点M0(2,-1,1), 且垂直两平面3x-y-z+1=0与x-y+2z+1=0的交线, 求此平面方程. 4. 求直线在xOy面的投影直线方程.5. 求通过直线且平行于直线L2:x=y=z的平面方程. 6. 求与直线都垂直相交的直线方程.1: x= 2i+2j-4k2: = /33: 3x+7y+2z=15: 3x-y-2z-4=0(四

12、)、综合题（9分2=18分）1. a, b为非零向量, 且a =1, , (a,b)= /4求极限2. 求z轴绕直线旋转所得的锥面方程.(五)、证明题（8分2=16分）1. 试证: 三平面x=cy+bz, y=az+cx, z=bx+ay经过同一条直线的充要条件是: a2+b2+c2+2abc=1.2. 利用向量代数的方法证明余弦定理. 答案: 1测试6-2(一)、填空题（3分4=12分）1. 已知a =3, b =1, 则a b=2. 已知a=(0, 2, -1), b=(1, 0, 0), 那么a在b上的投影为Prjba=3. 经过两点A(1, 3, 4), B(0, 1, 2)的直线方程

13、是4. 已知平面x+ky-2z=9经过点M(5, -4, -6), 则k=答案：2答案： 2答案： 2(二)、选择题（4分3=12分）1. 设a/b, 且a与b方向相反, a b 0, 则必有 .(A) a+b = a - b ; (B) a+b = a b ;(C) a+b = a - b ; (D) a - b = a - b .2. 设空间中有三直线则必有 .(A) L1/ L2; (B) L1 L2; (C) L2 L3; (D) L2/ L3.3. 以曲线为母线, 以z轴为旋转轴的旋转曲面的方程是 .(A) 2y2+(x2+z2)=a2;(B) x2+2(y2+z2)=a2;(C)

14、2(x2+y2)+z2=a2;(D) 2(x2+z2)+y2=a2.答案：(A)答案：(B)答案：(C)(三)、计算题（7分6=42分）1. 向量a的方向向量平行于向量c=(7, -4, -4)与向量b=(-2, -1, 2)之间的角平分线, 且, 求向量a.2. 设a =1, b =1, (a,b)= /6, 求以向量a+2b和3a+b为邻边的平行四边形的面积.3. 求过点M(3, -1, 2),且平行于两直线的平面方程.4. 求过直线和平面x-4y-8z+12=0相交成/4角的平面方程.5.求点M0(1,2,3)到直线的距离. 6. 在平面: x+y+z+1=0内作直线通过已知直线与已知平

15、面的交点, 且垂直于直线L0, 求该直线的方程.(四)、综合题（9分2=18分）1. 求直线在平面: x-y+2z-1=0上的投影直线L0的方程, 并求L0饶y轴旋转一周所生成的曲面方程.2. 试在平面 x+y+z=1与三坐标面所围成的四面体内求一点, 使它与四面体个侧面的距离相等, 并写出内切于四面体的球面方程. 4(x2+z2)=17y2-2y+1(五)、证明题（8分2=16分）1. 非零向量a, b, c不共线, 试证: a+b+c=0的充要条件是a b= b c = c a.2. 设点M为线段AB外一点, 试证: 点C在AB所在直线的充要条件是存在, , 使+=1, 且 MC=MA+M

16、B例6-1 设2a+5b与a-b垂直, 2a+3b与a-5b垂直, 求(ab).解 依题意有(2a+5b) (a-b)=0, (2a+3b) (a-5b)=0.即 2a 2+3a b-5 b 2=0, 2a 2+7a b-15 b 2=0.解出 a b= - b2 , a = 2b .则例6-2 设A=2a+b, B=ka+b, 其中a =1, b =2, 且a b,试问: (1) k为何值时, A B;(2) k为何值时, 以A, B为邻边的平行四边形 的面积为6.解 (1) AB=(2a+b)(ka+b)= 2k a2+(2+k)ab+ b2=2k+4可知当k=-2时, AB=0, 亦即A

17、 B.(2) AB = (2a+b)(ka+b)= 2-k ab =2-k 2sin(/2)= 2k (aa)+2(ab)+k(ba)+bb= 4 -2k 令4 -2k =6, 得k= -1和k=5.例6-3 从点A(2, -1, 7)沿向量=8i+9j-12k的方向取线段长AB =34, 求点B的坐标.解 设B=B(x, y, z), 则AB=(x-2, y+1, z-7), 依题意有令, 求得=2. 从而x=18, y=17, z=-17.故B点的坐标为(18, 17,-17). 例6-4 已知p, q和r两两垂直, 且p =1, q =2, r =3, 求 s=p+ q+ r的长度.解法

18、一s 2= ss=(p+ q+ r)(p+ q+ r)= pp + qp + rp + pq + qq + rq + qr + rr= pp+ pq + rr = p 2+ q 2+ r2.解法二 记 p0, q0, r0分别表示与p, q, r方向一致的单位向量, 则 s=p0+ 2q0+3 r0 . 故 例6-5 已知p =2, q =3, (p q)=/3, 求以A=3p-4q和B=p+2q为两邻边的平行四边形的周长. 解 A 2=AA=(3p-4q)(3p-4q)=9 p 2-24pq +16 q 2 B 2=BB=(p+2q)(p+2q)故设周长为L, 则=922 -2423cos(

19、/3)+1632 =108.= p 2+4pq +4q 2 =22 + 432 +423cos (/3) = 52.例6-6 证明恒等式(a+b) (b+c) (c+a)=2 (a b)c. 证 (a+b) (b+c) (c+a) = (ab + ac + bb + bc) (c+a)= (ab) c + (ab) a + (ac) c + (ac) a + (bc) c + (bc) a= 2(ab) c 例6-7 用向量代数的方法证明三角形的三条高交于一点.AEFBCHD证 作ABC, 如图所示. ADBC, BEAC, AD与BE交于点H, 连接CH并延长交AB于F. 只要证明CFAB即

20、可.由于ADBC, 从而AH BC, 有AHBC=0同理, BHAC=0, 于是CH AB=(CA+AH) (AH+HB)故CHAB, 从而CFAB. = CA AH+CA HB+AH AH+AH HB = AH (CA+AH+HB) =AH CB=0例6-8 求通过直线的平面方程., 且平行于直线解 设所求平面的法向量为n, 则而M0(1,-2,-3)是平面上的一点, 故所求平面方程为2(x-1)+0(y+2)-(z-3)=0故 2x-z-5=0. 例6-9 经过两平面4x-y+3z-1=0和x+5y-z+2=0的交线作一平面, 使之与平面2x-y+5z=0垂直.解为交线方程, 分别令z=0

21、和x=0, 得到交线上的两点两交点连线的方向向量为平面2x-y+5z=0的法向量为 n1=2i-j+5k.设所求平面的法向量为n, 则所求平面为, 即7x+14y+5=0. 例6-10 在由平面2x+y-3z+2=0和平面5x+5y-4z+3=0所决定的平面束内, 求两个相互垂直的平面, 其中的一个经过点(4, -3, 1).解 由已知两平面决定的平面束方程为2x + y - 3z + 2 + (5x + 5y - 4z + 3)=0经过点(4, -3, 1)的平面应满足条件24+1(-3) - 31+2+ 54+5(-3)- 41+3=0, 即=1. 故过点(4, -3, 1)的所求平面方程

22、为3x+4y-z+1=0.另一平面也在平面束内, 故(2+5)x+(1+5)y-(3+4)z+(2+3)=0 应满足条件 (2+5)3+(1+5)4+(-3-4)(-1)=0, . 所求的另一平面方程为x-2y-5z+3=0. 例6-11 一平面通过两直线L1:求此平面方程.的公垂线L, 且平行于向量s=(1, 0, 1),解 已知两直线的方向向量为s1=(1, 2, 1), s2=(1, 3, 2),令s3=s1s2, 则s3=(1, -1, 1). 设所求平面的法向量为n, 则应有n=s3s, 计算可得n=(1, 2, 1). 下面求公垂线L上的一点. 设此公垂线与L1, L2分别交于A(

23、t+1, 2t-2, t+5)和B(, 3-3, 2-1), 则AB/s3, 从而, 解出t=6, =5. 故点A为(7, 10, 11). 所求平面方程为(x-7)+2(y-10)+(z-11)=0, 整理得 x+2y+z+8=0.例6-12 在过直线, 的所有平面中, 求一平面, 使原点到的距离最长. 解 平面2x+y+z=0过原点, 也过直线L, 它不是所求的平面. 故可设过L的平面束方程为(x+y+z+1)+ (2x+y+z)=0.即 (1+2)x+(1+)y-(1+)z+1=0.原点与它的距离的平方距离最长. 所求平面为x-y-z-3=0. 例6-13 推导两异面直线间的距离公式,

24、并用此公式求两直线之间的距离.解 设直线L1的方向向量为s1, 直线L2的方向向量为s2M1是直线L1上的点, M2是直线L2上的点, 两直线L1, L2间的距离就是M1M2在s1s2上投影的大小, 即s1=(-4, 1, 1), s2=(2, 2, -3), M1M2 =(-5, -1, 6), 例6-14 设有直线求平行于L1而分别与L2, L3都相交的直线方程.解 设过L2的平面方程为 5x-z-6+ (4y-z+3)=0.由所求平面平行于L1, 则必有54+41+2+ (-1-)1=0, 此平面即为15x-76y+16z-75=0. 同理可求过L3而平行于L1的平面方程为4x-23y+

25、7z-43=0. 所求直线即为例6-15 在平面x+y+z+1=0内, 作直线通过已知直线, 与平面的交点且垂直于已知直线.解 化已知直线为对称式, 有在直线上取一点(0, -1, 0), 则对称式方程为参数式为带入平面x+y+z+1=0, 得t=0. 故直线与平面的交点为(0, -1, 0). 以s=2i+j-k为法向量过点(0, -1, 0)的平面为2x+y-z+1=0.所求直线方程即为注 直线与平面的交点还可利用求解线性方程组得到.例6-16 坐标面在平面3x-y+4z-12=0上截得一个ABC, 从z轴上的一个顶点C作对边AB的垂线, 求它的方程.解 把已知平面写成截距式, 有从而可知

26、ABC三顶点的坐标为A(4, 0, 0), B(0, -12, 0), C(0, 0, 3).设垂线为CD, 则可令CD=CA+AB, 于是4(1-)(-4) -12 (-12)+(-3)z0=0.从而垂线CD的方程为例6-17 已知入射光线路径为,求该光线经平面x+2y+5z+17=0反射后的反射线方程. 解 将L写成参数式, 有x=1+t, y=1+3t, z=2+t, 带入平面方程, 得t=-2, 从而求得L与的交点Q(-7,-5,0).点P(-7,-5,0)是L上的一点, 过P作垂直于平面的直线化l为参数式, 有x=1+t, y=1+3t, z=2+5t, 带入中, 得t=-1,从而求

27、得l与的交点R(0,-1,-3).由P(-7,-5,0), R(0,-1,-3), 得P的对称点为P(-1,-3,-8).过P, Q的直线为为所求的反射线方程.例6-18 求点(1, 2, 3)到直线的距离.解法一 先求点(1, 2, 3)在该直线上的投影. 为此先以n=i-3j-2k为法向量, 过点(1, 2, 3)做平面, 有(x-1)-3(y-2)-2(z-3)=0, 即x-3y-2z+11=0.已知直线写成参数式, 有x=t, y=4-3t, z=3-2t, 代入平面方程得所求距离就是点(1, 2, 3)与点间的距离. 解法二 记M0(1, 2, 3), M(0, 4, 3), s=(

28、1, -3, -2), 则所求距离为例6-19 试证曲线并求其对称式方程.是两条相交直线,证 在原曲线方程中消去z得(x-5)(y+4)=0.于是得两直线方程分别为容易求其方向向量分别为s1=(0, 2, -1), s2=(5, 0, 2).说明L1与L2共面不平行. 因此, 他们是两条相交直线, 进一步可写出其对称式方程, 为, 且垂直于平面例6-20 求过直线x+4y-3z+7=0的平面. 解 过点(2, -1, 3)做平行于已知平面的平面, 有3(x-2)-2(y+1)+(z-3)=0, 即3x-2y+z+11=0.把已知直线的参数式x=2t+1, y=-3t, z=t-2代入此平面得从而得交点所求直线为化简得, 且垂直于平面例6-21 求过直线x+4y-3z+7=0的平面. 解 现将已知直线化成一般式, 有再写出过L的平面束方程为2x-5y+9+ (2y-z+7)=0.此平面与已知平面垂直, 故2+4(2-5)+3=0.解出故所求平面为即