泰勒公式及其技术应用技术课件

1、导 师：XXX答辩人：XXX专 业：数学与应用数学泰勒公式及其应用 目 录研究意义论文概述12论文重点内容3结论4 研究意义 泰勒公式是数学分析和微分学中的一个非常重要的公式,其理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具,集中体现了微积分“逼近法”的精髓.它建立了函数的增量、自变量增量与一阶及高阶导数的关系,将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数,这种“化繁为简”的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.所以我们可以使用泰勒公式,来很容易地解决一些问题.论文概述本文分为四章：第一章介绍泰勒公式的意义.第二章介绍带有两种余项的泰勒公式.第三章介绍泰勒公式的应用，对

2、这些应用的介绍，主要以实际例题来体现.第四章则是对文章的一个总结.论文重点内容 本文重点为第三章，主要介绍了泰勒公式的8个应用及其相关例题，使我们认识到泰勒公式的重要性.1 利用泰勒公式进行近似计算2 利用泰勒公式求极限3 利用泰勒公式求曲线的渐近线方程4 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值5 利用泰勒公式判断级数和广义积分的敛散性6 利用泰勒公式判断函数的极值7 利用泰勒公式证明不等式8 泰勒公式在函数方程中的应用带有佩亚诺型余项的泰勒公式 其中， 为佩亚诺余项特别地，当 时, 称为带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式. 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 其中， 为拉格朗日余项 特别地,当 时, 在

3、 与 之间, 可令 ,则 称为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.利用泰勒公式进行近似计算利用 的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式得到函数的近似计算式为 其误差是：例 计算 的值,使误差不超过 .解 先写出 带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式：其中， （ 在 与 之间） 令 ,要使 则取 即可.因此 其误差 . 利用泰勒公式求极限 对于待定型的极限问题,一般可以采用洛比达法则来求,但是,对于一些求导比较繁琐,特别是要多次使用洛比达法则的情况,泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限,一般用麦克劳林公式形式,并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时,一般要将求分子分母展开成同一阶的

4、麦克劳林公式,通过比较求出极限.例 求极限 .解 此题若采用洛必达法则求解,则十分麻烦,因而采用下述解法： 由泰勒公式知 又因为当 时, 所以 用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替换来计算极限的方法,熟知： 当 时， 等,这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开成一次项,有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合,问题又能进一步简化.结论：利用泰勒公式证明不等式 如果函数 存在二阶及二阶以上导数并且有界,利用泰勒公式去证明这些不等式,一般的证明思路为：(1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式；(2)恰当地选择等式两边的 与 ；(3)根据最高阶导数的大小对函

5、数的泰勒展开式进行缩放.例 证明：不等式 .分析 不等式左边是二次三项式.右边是无理式,两者没有 明显的大小关系,这时可将 用 的二阶泰勒公式表示出来,然后与左边的二次三项式比较,进而判断两者的大小关系.证明 设 , 则 代入 的二次泰勒公式,有 当 时,余项 ,从而有 总 结 本文章是在大量查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理,这篇文章介绍了泰勒公式的各种余项,并重点归纳总结了其在数学中的一些应用.对泰勒公式在近似值计算、求极限、判断级数和广义积分的敛散性、判别函数的极值、证明不等式、求曲线的渐进性方程等方面做了简单系统的介绍和分析,我们应该牢固掌握这些知识并灵活应用才能更方便地解决某些复杂问题.但由于自己的知识和水平能力有限,没有对这方面的内容进行深入的研究. 致谢首先要诚恳地感谢李本秀老师对我论文的全程指导，在帮助我论文反反复复修改过程中夜以继日，非常辛苦.其次要由衷感谢数学