文字题解题策略课件

1、國立臺北教育大學 數學暨資訊教育學系 副教授 譚寧君(退休)2013/11/06新北市三峽國小思考臺灣教育現象是否為真: 一.學生學習動機與興趣逐年下降? 二.學生明白學習目標與努力方向? 三.愈來愈多學生從學習中逃走? 四.小組討論教學能激發學生自主學習? 觀摩日本教育的寧靜革命:十分之一中小學進行 (1500所小學2000所中學200所高中) 一.學校推動”學習共同體”運動。 二.教育改革方案應與教育現場零隔閡。 三.競爭教育變為共生教育 目的教育變成意義教育量化教育變為質化教育。 學習的革命從教室出發的改革學習共同體哲學觀: 一.公共性哲學:教室是公共空間 開放觀摩非評鑑而是提升品質。

2、二.民主主義哲學:教師家長學生有相同發言權。 三.追求卓越哲學:提供學生最好的教育內容與資源。學習共同體教學實施:邁向共同學習的教學 一.採小組教學: 小一二全班或兩人一組， 三年級以上四人一組。 二.教師建構同僚關係(colleagiality):每人一年至少一次開放觀課 ， 共同討論教學策略，提升教學品質。 三.觀課分享: 人人需發表著重分享學習的優點而非建議如何改善。 四.重視課前備課與課後反省:搜集學生的錯誤類型與迷思概念討論。 五.尊重教師個性化與多樣化，藉由交流促進成長。 六.研討主軸為實際問題:不在應該如何，而在教師發現學習在哪裡 成功哪裡有困難。 學習的革命從教室出發的改革 六

3、種攸關最近的未來有無前途的關鍵性能力，它們分別是： 一.不只有功能，還重設計。 二.不只有論點，還說故事。 三.不只談專業，還須整合。 四.不只講邏輯，還給關懷。 五.不只能正經，還會玩樂。 六.不只顧賺錢，還重意義。 這六種關鍵能力來自兩種感知： 高感性（High Concept）與高體會（High Touch） *投影片 821世紀孩子需要什麼能力?釐清工具性了解與關係性了解（skemp, 1976）工具性了解(instrumental understanding）優點：省時省力缺點：不容易背頌、持久性低、再製性弱關聯性了解（Relational understanding） 優點：容易記

4、憶、持久性高、再製性強缺點：費時費力 如何提升學生的 高感性(High Concept)?重視體驗學習體驗學習係指一個人直接透過真實之情境體驗而建構知識、獲得技能和提升自我價值的歷程當我們用耳朵聽，我們只能記憶10當我們用眼睛看，我們只能記憶30 當我們用身體經歷，我們卻能記憶80當我們用心去感受，將無限內化於心 如何提升學生的 高體會(High Touch)?一、前言 -國小數學教學的疑難問題是什麼? 文字題理解*、 基本運算 、基本概念二、單步驟文字題基本題型加與減、乘與除 三、92 正綱與97 綱要在文字題上的差異四、解文字題的理論分析 數學解題認知模式: Mayer, R.E. 認知成

5、份 * 數學解題歷程步驟: Polya, G 解題四步驟 *五、文字題解題策略教學順序、算式填充題、簡化問題、圖解算術六、結語(一) 加與減(二) 乘與除國小數學單步驟文字題分類改變題：結果量未知改變量未知起始量未知合併題：總數未知：子集合未知比較題：差異量未知被比較量未知參照量未知等化題差異量未知被比較量未知參照量未知加與減：正整數單步驟文字題單步驟加減文字題改變題結果量未知(改變1、2)小明有3顆糖，小華給了小明5顆糖，問小明現在有幾顆糖？小明有8顆糖，他給小華5顆糖，問小明現在有幾顆糖？改變量未知(改變3、4)*小明有3顆糖，小華給小明一些糖後，現在小明有8顆糖，問小華給小明幾顆糖？小明

6、有8顆糖，他給小華一些糖後，現在小明有3顆糖，問小明給小華幾顆糖？起始量未知(改變5、6)*小明有一些糖，小華給他5顆糖後，現在小明有8顆糖，問小明原來有幾顆糖？小明有一些糖，他給小華5顆糖後，現在小明有3顆糖，問小明原來有幾顆糖？簡單加減文字題的類型比較題差異量未知(比較1、2)*小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小明比小華多幾顆糖？小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小華比小明少幾顆糖？被比較量未知(比較3、4) *小明有3顆糖，小華比小明多5顆糖，問小華有幾顆糖？小明有8顆糖，小華比小明少5顆糖，問小華有幾顆糖？參照量未知(比較5、6) *小明有8顆糖，小明比小華多5顆糖，問小華有幾顆糖？小明有3

7、顆糖，小明比小華少5顆糖，問小華有幾顆糖？單步驟加減文字題合併題總數未知： 喬有3顆彈珠，湯姆有5顆彈珠，人共有多少顆彈珠？ 子集合未知： 喬和湯姆人共有8顆彈珠，喬有3顆，湯姆有多少顆彈珠？ 箱子裡有37隻雞，小雞有18隻，其他的是母雞，母雞比小雞多幾隻簡單加減文字題的類型等化題 差異量未知(等化1、2)*小明有8顆糖果，小華有3顆 ，問小華要再買幾顆糖後，才能和小明一樣多？小明有8顆糖果，小華有3顆，問小明要吃掉幾顆糖後，才能和小華一樣多？ 被比較量未知(等化3、4)*小明有8顆糖果，小華再買5顆糖後，就會和小明有一樣多的糖，問小華原來有幾顆糖？小明有3顆糖果，小華吃掉5顆糖後，就會和小明

8、有一樣多的糖，問小華原來有幾顆糖？ 參照量未知(等化5、6)* 小明有3顆糖果，他再買5顆糖後，就會和小華有一樣多 的糖，問小華有幾顆糖？ 小明有8顆糖果，他吃掉5顆糖後，就會和小華有一樣多 的糖，問小華有幾顆糖？ 一.加減文字題教學順序的混淆二.運算符號與關係符號的混淆 + 三.文字題解題方式的混淆 算術解法 代數解法四. 忽略教具操作對運算了解的重要性*加減文字題解題教學困難101年國小數學教科書比較型文字題出現次數統計表*例： 1257125136 例題：小君現在有5張貼紙，她需要再買幾張才會有12張貼紙？ 算術解法:* 5+( )=12 5+( 7 )=12 12-5=7 記錄問題 認

9、知策略 察覺關係 代數解法： 5+( )=12 ( ) 12-5 12-5=7 記錄問題 數學性質 加減互逆關係 Vergnaud(1983):乘法結構分為三類 量數同構型、量數叉積型、多重比例型 Greer(1992):乘法結構分為十類 等組/等量 倍數改變/倍數比較 單位互換 /比率 部分與整體/度量的積 叉積/長方形面積乘與除：正整數單步驟文字題正整數單步驟乘與除文字題(續)練鎖、多重比例一包糖果有5顆，10包裝成一袋，小明買了8袋，請問小明共買了幾顆糖果呢？ 小明家有4個成員要一起出外旅遊13 天，住旅館的用每個人每天要花500元，請問他們在這個假期裡旅館費共要花掉多少錢？練鎖多重比例

10、正整數單一步驟乘與除文字題等組/等量M:乘法 P:等分除 O:包含除1.等組單位量為離散量 M.每個人有4個橘子，3個人共有幾個橘子？ P.12個橘子平均分給3個人，每人可以分得幾個？ Q.每人給4個橘子，12個橘子可以分給幾人？2.等量單位量為連續量 M.每個人有4公升的橘子汁，3個人共有多少橘子汁？ P.12公升的橘子汁平均分給3個人，每個人可以分得多少？ Q.每個人分給2公升的橘子汁，6公升可以分給幾人？正整數單一步驟乘與除文字題(續)倍數改變/倍數比較M1.一塊彈簧可延長為原長度的3倍，4公尺的彈簧可延 多長？M2.彈簧的重量是銅的3倍，4公斤的銅，彈簧會有多重？P1. 一塊彈簧可延長

11、原長度的3倍，延長後為18公尺， 原長度是多少公尺？P2. 彈簧的重量是銅的3倍，和42公斤彈簧同大小的銅 有多重？Q.4公尺的彈簧可延長為12公尺，它可以延長幾倍？正整數單一步驟乘與除文字題(續)單位互換/比率M1.一吋約2.5公分，3吋約幾公分 ？M2.一條船每秒走4公尺 3秒走幾公尺？P1. 3吋約7.8公分 1吋約幾公分 ？P2. 一條船3秒走12公尺，每秒走幾公尺？Q.4公尺的彈簧可延長為12公尺，它可以 延長幾倍？正整數單一步驟乘與除文字題(續)部分/整體單位當量相當除M.某校有3/5的學生考試及格 ， 80人 參加考試有幾人及格？P. 某校有3/5的學生考試及格 ，如果 有48人

12、及格，有幾人參加考試？Q.某校有80人參加考試，有48人及格， 及格人數占幾分之幾？正整數單一步驟乘與除文字題(續)叉積（組合）M.從甲鎮到乙鎮有三條路，由乙鎮到丙鎮有四條路，則由甲鎮經乙鎮到丙鎮有幾條不同的路徑？M.小英有6 件不同的襯衫及4 件不同顏色的裙子，共可搭配幾套外出服？ P.假如由甲鎮經乙鎮到丙鎮有12條不同的路徑，而從甲鎮到乙鎮有三條路，則由乙鎮到丙鎮有幾條路？正整數單一步驟乘與除文字題(續)長方形面積（陣列）M1.長方形的寬是3公尺，長是4公尺， 求長方形的面積？M2.浴室地磚橫的有7列，直的有6行， 請問浴室共有多少塊地磚？P. 長方形的面積是12，寬是3公尺， 求長方形的

13、長？正整數單一步驟乘與除文字題(續)度量的積 M1.一部電熱器每小時耗費3千瓦， 4小時以後耗費3千瓦/小時？P. 一部電熱器每小時耗費3千瓦， 多少時間將耗費1千瓦？各版本教科書全數乘法文字題結構之順序(林碧珍,2009,p49)等組群等量乘法改變乘法比較陣列鍊鎖型組合多重比例型、量數同構3規則六十四年審 定 版八十二年審 定 版等組群乘法改變乘法比較等量陣列組合鍊鎖型等組群等量陣列鍊鎖型乘法比較鍊鎖型量數同構3規則等組群陣列等量乘法比較等組群陣列等量乘法改變乘法比較陣列組合鍊鎖型等組群乘法改變陣列等量量數同構3規則乘法比較等組群陣列乘法比較等量等組群陣列乘法比較等量國編版康軒版南一版九年一

14、貫正綱康軒版南一版牛頓版九年一貫暫綱1.等號意義的引入:運算結果或等量公理2.數學性質的引入:交換律、結合律、分配律 或符號關係3.算式填充題的定位: 教學目標或過程目標92正綱與97 綱要在文字題教學綱要上的差異 等號意義與數學性質算式填充題的定位代數教材設計(教育部,2003)1、理解常用算術符號的使用, 並運用於日常問題算式以進行解題 數字符號： 1 2 3 4 ; 關係符號： 運算符號： ; 未知數符號： 甲乙丙x y z 2、瞭解個基本運算的性質 ， 並應用於解題活動。 如交換律* 、 結合律 、 分配律* 、遞移律 、 加減互逆 、 乘除互逆*。3、了解併式演算，並活用運算律於簡化

15、問題4、協助發展對數學問題的解題策略。 例如代入法 *、逆思考法。5、能理解等量公理。代數學習的迷思1.認為等號式運算的結果而非兩量的關係。 4+2=6 ； 3+5=4+4 2.以記憶規則學習逆算關係。如加移項變減 乘移項變除， -5=15 ； +5=10 ； 5=10 當 23-=15； a-=b ； a =b 產生困難。3.用文字或括號表示未知數的差別覺得混淆。 13+22=( ) ； -23=15 ； 2x+5=8 4.題意理解的困難，不易將問題中已知條件列出關係式。 0.2 1523405.算式與代數式的差別混淆 a+3=5,( )+3=5; 0.2, 0.2; Y5=Y 1/5=1/

16、5Y6.文字符號的運算混淆 3a+b=3ab 算算看，答案是多少？6 2 ( 1 + 2 ) =？(1) 1(2) 9(3) 不確定有24個布丁，每6個布丁裝1盒，每2盒小明的記法小英的記法24 6 2 =（ ） 想想看，這兩個算法都可以嗎？看看小明為什麼這樣記？看看小英為什麼這樣記？24 (62) =（ ） 把問題用一個算式記下來。裝一箱，請問可裝成幾箱？小明的算式小英的算式小英的算式小明的算式記成：，請問可以裝成幾箱？有24個布丁每6個布丁裝1盒每2盒裝一箱24 6 2 =（ ） 24 6可裝4盒2盒2盒裝成一箱， 2=（ ）共裝成2箱。所以，小明記成 24 6 2 =（ 2 ） 2小明的

17、算式小英的算式記成：，請問可以裝成幾箱？有24個布丁每6個布丁裝1盒，每2盒裝一箱24 (62) =（ ） 24 (62) 1箱有 12個布丁=（ ）所以，小英記成 24 (62) =（ 2 ） 212個布丁裝成一箱，共裝成2箱。解文字題的理論分析：Mayer解題認知模式與 Polya數學解題步驟(一)問題表徵( problem presentation) 1.問題轉譯( problem translation )： 將問題轉譯成為個人能理解的內在表徵。必須具備語言 知識、語意知識以瞭解問題情境中的關係結構與意義。 2.問題整合( problem integration )： 將有關的資訊整合

18、成為連貫的問題表徵。認識問題的類 型、決定解題所需的資料，此時需要基模知識。(二)問題解決( problem solving ) 1.解題的計畫與監控( solution planning and monitoring )： 將問題分成數個小問題，然後逐步地加以解決 2.解題的執行( solution execution )： 應用演算規則進行計算數學解題的四成分、五知識一條彈簧可延長至原長度的3倍，如果延長後的長為18公尺，原長度是多少公尺？成 分 地 磚 問 題 的 例 子問題轉譯語言知識延長至原長度的3倍 延長後的為18公尺事實知識倍問題整合基模知識延長後的為18公尺=原長度的3倍解題計畫及監控策略知識規劃解題步驟：(1)原長度的3倍 = 18公尺； (2)原長度 3