乃氏图详细第四章10版-3

1、第四章系统的频域分析第三章分析可知，系统的响应与输入信号的类型有关系，研究了三种典型的输入信号。下面研究系统在输入正弦信号时，系统的响应情况。当只改变输入正弦信号的频率，不改变输入信号的幅值和相位，探究系统的输出信号的特性。在机械振动学中的随机振动、振动的主动控制、机电控制系统中都有重要的意义 频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态响应。频率特性是系统对不同频率正弦输入信号的响应特性。 频率特性分析法(频域法) 是利用系统的频率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。频率特性分析法是一种图解的分析方

2、法。不必直接求解系统输出的时域表达式，可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根。系统的频域指标和时域指标之间存在着对应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十分方便、直观。4.1 频率特性概述4.2 频率特性的Nyquist图示方法4.3 频率特性的Bode图示方法4.4 频率特性的特征量4.5 最小相位系统和非最小相位系统4.1 频率特性概述例 ，输入 ，解 瞬态项，趋近零稳态项，正弦信号，同频率。相位滞后，且与频率有关。幅值改变，也与频率有关定义几个概念：频率响应：频率特性：幅频特性：相频特性：对正弦信号的稳态

3、响应，在时间域上描述稳态输出的幅值与输入幅值的比值，显然这个比值是 的函数。输出信号幅值的放大或缩小的比例稳态输出的相位与输入相位的差，显然这个差值也是的 函数。和的总称。上述例子，频率特性为：本例用定义法求频率特性。直观，但较繁琐。寻找新的求解频率特性的方法：当输入为一正弦波，即系统的输出为(若分母无重根）式中 待定共轭复数； Ai (i=1，2，n)待定常数。 稳定的系统， ，将衰减为零。为瞬态项稳态项故稳态响应：式中的 可按求留数的方法予以确定：故频率特性为：以后用 表示频率特性求解频率特性简单表明了频率特性与传递函数之间的关系频率特性G(j)是一个以频率为自变量的复变函数，它是一个矢量

4、，故可将G(j) 分解为实部和虚部之和即式中 U()实频特性， U()=ReG(j); V()虚频特性， V()=ImG(j)。这些频率特性之间的关系如下+方法二：关键是求：方法一：第三章方法例1频率特性的物理意义图4-3所示的弹簧阻尼系统，其力平衡方程是若以x为输入y为输出，则系统的传递函数为式中 T=f/k时间常数。（4-17）在式（4-17）中，令s=j，则得系统的频率特性为式中 （幅频特性） （相频特性）因此，实频特性虚频特性如若输入位移是正弦函数，即x(t)=x0sint，根据式（4-8），其输出位移应为（4-19）频率特性G(j)的物理意义 由例4-1机械系统的频率特性可以看出：(

5、1)机械系统的结构参数（k，f）给定之后，其频率特性完全确定，故频率特性反映了系统的固有特性，与外界因素无关；(2)当频率很低时，输出量y(t)的振幅衰减甚微，相位滞后arctanT也很小，当输入频率增加时，输出振幅减小，相位滞后加大，当 时，输出量的振幅衰减至零，相位滞后()90。说明该系统复现正弦信号的能力是随输入频率变化的，该系统具有低通滤波作用。(3) 频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系统显示出不同的特性。频率特性极坐标图4.2 频率特性的Nyquist图示方法曲线上的点到原点的距离

6、表示幅值，与横轴的夹角表示相位频率特性极坐标图规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线，由零度线起，矢量逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。极坐标图也称为乃氏图或乃奎斯特曲线。 主要缺点:不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作用，绘制较麻烦。幅相频率特性图的优点:在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表明了系统的频率特性。（1）在系统传递函数中令s=j ，写出系统频率特性G(j) 。 （2）写出系统的幅频特性|G(j)| 、相频特性G(j) 、实频特性Re()和虚频特性Im()。 （3）令=0 ，求出=0时的|G(j)|

7、 、G(j)、Re() 、 Im()。 （4）若频率特性矢端轨迹与实轴、虚轴存在交点，求出这些交点。令Re()=0，求出，然后代入 Im()的表达式即求得矢端轨迹与虚轴的交点；令Im()=0 ，求出，然后代入Re()的表达式即求得矢端轨迹与实轴的交点。1.绘制频率特性Nyqusit图的步骤（5）对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求=n时的|G(j)|、G(j)、 Re()、Im()。若此环节（或系统）的阻尼比00.707，则还要计算谐振频率r 、谐振峰值Mr及=r时的Re()、Im()。其中，谐振频率r、谐振峰值可由下式得到：（6）在0的范围内再取若干点分别求|G(j)|、G(j) 、Re()

8、、Im() 。（8）在复平面G(j)中，标明实轴、原点、虚轴和复平面名称G(j)。在此坐标系中，分别描出以上所求各点，并按增大的方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标出增大的方向。（7）令= ，求出=时的 |G(j)|、G(j) 、 Re()、Im() 。关键：描点绘制，其中包括四个关键点，与实轴交点与虚轴交点在01时，幅值分贝数为正；当KT时，其输出很快衰减，即滤掉输入信号的高频部分；在低频段，输出能较准确地反映输入。 因为对数相频特性()=-arctanT是以反正切函数表示的，所以相位曲线斜对称于点(T，-45)。一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性仅差一个符号，其伯德图如

9、图4-13所示。和惯性环节的伯德图对称于横轴；其对数幅频特性的渐近线由两条直线表示，当1/T时，是一条斜率为+20dB/doc的斜线，幅值迅速上升，说明一阶微分环节对高频信号具有超前放大作用。(5) 一阶微分环节： 对数幅频特性对数相频特性()=G(j)=arctanT 频率特性（ 4-58） （ 4-59） （ 4-60） (6) 振荡环节： (7) 二阶微分环节 对数幅频特性为： (4-65) 频率特性 （ 4-64） 对数相频特性 (4-66)二阶微分环节的伯德图和振荡环节的伯德图对称与横轴，其渐近线如图4-15所示。(8) 延时环节 对数相频特性对数幅频特性频率特性(4-67)延时环节

10、的对数幅频特性恒为零分贝线。而对数相频特性与成线性变化。典型环节的对数频率特性归纳如下 :1）比例环节的幅值为平行横轴的直线，其相位为0线 , 与无关 ;2）微分环节和积分环节的幅值为过 (1，j0) 点，斜率分别为 20dB/dec，对称于横轴的直线。相位分别为90，与无关 ;3）一阶微分环节和惯性环节的幅值低频渐近线为 0 分贝线，高频渐近线斜率分别为 : 20dB/dec，转角频率为T，对称于横轴。相位在0 90范围内变化。曲线斜对称于弯点（T ， 45）；4）二阶微分环节和振荡环节幅值的低频渐近线为 0 分贝线，高频渐近线斜率分别为 : 40dB/dec，转角频率为T，对称于横轴。相位

11、在0 180范围内变化。曲线斜对称于弯点（T ， 90）；5）延时环节的幅值为0分贝线，相位随成线性变化。有转角频率的环节：惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节均指标准形式而言对数频率特性的镜像关系(1)将系统传递函数G(s)转化为若干个标准形式的环节的传递函数(即惯性、一阶微分、振荡和二阶微分环节的传递函数中常数项均为1)的乘积形式；(2)由传递函数G(s)求出频l率特性 ；(3)确定各典型环节的转角频率 ；4)作出各环节的对数幅频特性的渐近线(5) 对渐近线进行修正，得出各环节的对数幅频特性的精确曲线(6)将各环节的对数幅频特性叠加(不包括系统总的增益尺)；绘制系统的开环伯德图方法一：

12、叠加法(7)将叠加后的曲线垂直移动 ， 得到系统的对数幅频特性；8)作各环节的对数相频特性，叠加，得到系统总的对数相频特性(9)有延时环节时，对数幅领特性不变，对数相频特性则应加上例4-3 已知系统的开环传递函数要求绘制系统开环伯德图。例4-3 已知系统的开环传递函数绘制系统开环伯德图。2比例环节K=3，20lgK=9 .5dB3转角频率由小到大分别为 0.4，2，40解： 1将G(s)化成由典型环节串联组成的标准形式可见系统由比例环节、一阶微分环节、两个惯性环节串联组成。其频率特性为绘制系统的开环伯德图方法二：顺序频率法例4-3 已知系统的开环传递函数要求绘制系统开环伯德图。解： 1将G(s

13、)化成由典型环节串联组成的标准形式可见系统由比例环节、一阶微分环节、两个惯性环节串联组成。其频率特性为2比例环节K=3，20lgK=9 .5dB3转角频率由小到大分别为 0.4，2，404画一条20lgK=9.5dB的水平直线，此线与通过1= 0.4的垂线相交点，因1是惯性环节的转角频率，所以要在此点改变渐进线的斜率-20dB/dec，此渐进线又与通过一阶微分环节的转角频率2=2的垂线相交点改变渐进线的斜率由-20dB/dec改变为0dB/dec。当渐进线通过令一惯性环节的转角频率3 =40的垂线相交点时改变渐进线的斜率由0dB/dec改变为-20dB/dec，这几段渐进线的折线即为对数幅频特

14、性。5在转角频率处，利用误差修正曲线对对数幅频特性曲线进行必要的修正。6根据式00.51248401001000T=2.50-51.34-68.2-78.69-84.29-87.14-89.43-89.77-89.98T=0.5014.0426.574563.4375.9687.1488.8589.89T=0.0250-0.72-1.43-2.86-5.71-11.31-45-68.2-87.71()0-38.02-43.06-36.55-26.57-22.49-47.29-69.1287.8可知，相频特性曲线的角度范围为0-90，描点画出系统的相频特性曲线。转角频率由小到大分别为 0.4，2

15、，40K=3，20lgK=9 .5dB。转角频率由小到大分别为 5，10K=25，20lgK=27.96dB。转角频率由小到大分别为 1，5，10K=0.1，20lgK=-20dB转角频率由小到大分别为 2.5, 25K=650，20lgK=56.2504020-206004590-45-90-135-1805204004020-2004590-45-90-135-180520404.4 频率特性的特征量闭环指标4.4 频率特性的特征量闭环指标闭环系统将高于截止频率的信号分量滤掉，而允许低于截止频率的信号分量通过。响应速度的要求 响应越快，要求带宽越宽。高频滤波的要求 为滤掉高频噪声，带宽又不

16、能太宽。最小相位传递函数：若传递函数G(s)的所有零点和极点均在复平面s的左半平面内，则称G(s) 为最小相位传递函数。最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统。(0TT1)(0T-180而在相位穿越频率g处，其幅值与相位间的关系在伯德图上表现为 L(g)=20lgA(g)0(图5-15a 、b)，则系统稳定；若0(图 5-15c 、d)，则系统不稳 定。越小，稳定性越差，一般取=3060为宜。若过大，则系统灵敏度降低。 二、幅值储备（幅值裕量）Kg奈氏曲线与负实轴交点处幅值的倒数就是幅值储备，它表明在相角穿越频率g 上使系统达到不稳定边缘所需要的附加增益量，幅值储备Kg为 （5-16）以分贝

17、表示时：（5-17）在伯德图5-15b上，|G(j)H(j)|0dB，系统稳定。否则，Kg(dB)6dB(Kg2)。 对最小相位系统而言，其开环相角和幅值有一定的对应关系，要求相角储备=3060，即意味着在幅值穿越频率c处，对数幅 值曲线 L()的斜率应大于-40dB/dec，通常要求为-20dB/dec，如果此处斜率为-40dB/dec，则即使系统能够稳定，相角储备也偏小。如果在c处的对数幅值曲线斜率降至-60dB/dec，系统就不稳定了。由此可见，一般 I 型系统稳定 性好，型系统稳定性较差，型及其以上系统就难于稳定了。影晌系统稳定性的主要因素 系统开环增益 由奈氏判据或对数判据可知，降低

18、系统开环增益，可增加系统的幅值储备Kg和相角储备，从而提高系统的相对稳定性。这是提高相对稳定性的最简便方法。2. 积分环节 由系统的相对稳定性要求可知，I型系统 (1个积分环节 ) 的稳定性好，型系统稳定性较差，型以上系统就难于稳定了。因此，开环系统含有积分环节的数目一般不能超过2。三、影晌系统稳定性的主要因素 3. 系统固有频率和阻尼比 我们已知，最小相位二阶系统不存在稳定性问题，即系统开环增益和时间常数不影响稳定性。但高于二阶的系统，由于存在储能元件，系统参数匹配不合理则会造成系统不稳定。在开环增益确定的条件下，系统固有频率越高、阻尼比越大，则系统稳定性储备便可能越大，系统的相对稳定性会越

19、好。4. 延时环节和非最小相位环节 延时环节和非最小相位环节会给系统带来相位滞后，从而减小相角储备，降低稳定性， 因而应尽量避免延时环节或使其延时时间尽量最小，尽量避免非最小相位环节出现。4.7 频域中准确性分析三频段的概念在利用系统的开环频率特性分析闭环系统的性能时，通常将开环对数频率特性曲线分成低频段、中频段、高频段三个频段。三频段的划分并不是严格的。一般来说，第一个转折频率以前的部分称为低频段，穿越频率 附近的区段称为中频段，中频段以后的部分( )为高频段，如图5.37所示。1.低频段在伯德图中，低频段通常指 曲线在第一个转折频率以前的区段。这一频段特性完全由系统开环传递函数中串联积分环

20、节的数目v和开环增益K开决定。积分环节的数目（型别）确定了低频段的斜率，开环增益确定了曲线的高度。而系统的型别以及开环增益又与系统的稳态误差有关，因此低频段反映了系统的稳态性能。由此，可写出对应的低频段的开环传递函数为则低频段对数幅频特性为v为不同值时，低频段对数幅频特性的形状分别如图5.38所示。曲线为一些斜率不等的直线，斜率值为 对于常见的型系统，以哀求开环又一个积分环节串联，即v=1。同时，为了保证系统跟踪斜坡信号的精度，开环增益K应足够大，这就限定了低频段的斜率和高度，斜率应为 ，高度将由K值决定 开环增益K和低频段高度的关系可以用多种方法确定。例如将低频段对数幅频的延长线交于0分贝线

21、，则有故 或 相交点的角频率即K的v次方根。若v=1，则交点频率等于K。故在对数坐标的0分贝线上找数值为K的 点，过此点作 斜率的直线，即为型系统的低频段特性，如图5.38所示。型系统的v值为2，故低频段的斜率 ，低频段延长线与0分贝线的交点频率为 。可以看出，低频段的斜率越小、位置越高，对应于系统积分环节的数目越多、开环增益越大。故闭环系统在满足稳定性的条件下，其稳态误差越小，动态响应的最终精度越高。2.中频段中频段是指开环对数幅频特性曲线在穿越频率 附近（或0分贝线附近）的区段，这段特性集中反映了系统的平稳性和快速性。下面假定闭环系统稳定的条件下，对两种极端情况进行分析。(1)中频段以 过

22、零线，而且占据的频率区间足够宽如图5.39（a）所示，我们只从系统平稳性和快速性着眼，可近似认为开环的整个特性为 的直线，其对应的开环传递函数为对于单位反馈系统，闭环传递函数为也就是说，其闭环传递函数相当于一阶系统，其阶跃响应按指数规律变化，没有振荡，即有较高的稳定程度。其调节时间 ，显然，截至频率 越高， 越小，系统的快速性越好。(2)中频段以 过零线，而且占据的频率区间足够宽如图5.39（b）所示，若我们只从系统平稳性和快速性着眼，可近似认为开环的整个特性为 的直线，其对应的开环传递函数为这相当于零阻尼（ ）时的二阶系统。系统处于临界稳定状态，动态过程持续振荡。因此，若中频段以 过零线，所

23、占的频率区间不易过宽，否则， 和 将显著增大。且中频段过陡，闭环系统将难以稳定。由上述分析，中频段的穿越频率 应该适当大一些，以提高系统的响应速度；且斜率一般以 为宜，并要有一定的宽度，以期得到良好的平稳性，保证系统由足够的相位稳定裕量，使系统具有较高的稳定性。对于单位反馈系统，闭环传递函数为3.高频段高频段是指 曲线在中频段以后（ ）的区段。这部分特性是由系统中时间常数很小、频率很高的部件决定。由于远离 ，一般分贝值又较低，故对系统动态响应影响不大。在开环幅频特性的高频段， ，即 ，故有系统的三个频段的划分并没有很严格的确定性准则，但是三频段的概念为直接运用开环特性来判别稳定的闭环系统的动态性能指出了原则和方向。下一页返回上一页由此可见，闭环幅频特性与开环幅频特性近似相等。系统开环对数幅频特性在高频段的幅值，直接反映了系统对输入端高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低，表明系统的抗干扰能力越强。典型系统1.典型0型系统典型0型系统的传递函数为 通过前面的分析表明，0型系统在稳态时是有静差的，通常为了保证稳定