黄金分割及比例线段

1、1、“黄金分割”之美3、黄金分割矩形5、美妙的黄金分割和黄金数7、中考黄金分割问题两例9、“比例线段”变式多多11、巧用面积比来证线段比2、“黄金分割”应用两例4、人体中的黄金分割之美6、线段黄金分割点的几种求法8、“黄金分割”考题透视10、证明比例线段 方法多多12、巧用面积比，妙解几何题1、“黄金分割”之美黄金分割是指一条直线（或矩形）被分割成两个不同的部分，分割点（或线）较小的部分分割成一定的比例（如下图所示）AC。具体的比例公式是： BC将较大的部分与AB（AC为长边，BC为AC短边），其比值约为1.618 ： 1或1 ： 0.618 。AB= 1.618AC=1.618BC黄金分割广

2、泛应用于建筑、艺术与设计中。 如图早在埃及设计金字塔的时候就开始使用黄金分割,古希腊的巴台农神庙是希腊繁荣和美德的象征，它的外框矩形 是黄金比.这样的矩形称为黄金矩形.ABCD勺宽与长的比i THE OOLDEM BECTIQN古希腊几何学家毕达哥拉斯对黄金分割甚感兴趣，他提出人身体的各个部分就是以确定的黄金 比例分布的。达芬奇的蒙娜里莎，也是个很好的例子，如图著名的巴黎圣母院的设计中也应用了黄金分割，如图芭蕾舞演员翩翩起舞时不时地踮起脚尖，就为了使肚脐以下的部分和身高的比值接近 0.618.电视节目主持人在主持节目时，也往往是站在近于舞台的“黄金分割点”处，显得 自然大方.生活中还我许许多多

3、地方存在“黄金分割”。2、“黄金分割”应用两例“黄金分割”虽然不好理解，但运用其实也很广，现举两例与大家共赏。例1 .如图1,已知线段AB,点C在AB上，且有上C BC ,则由C的数值为;AB AC AB若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在 位置最好。AC B析解：由黄金分割的定义可知 区的数值为虫。依据“黄金分割”知识可知节目主 AB2持人站在线段AB的黄金点C,这样台下的观众看上去感觉最好.点评：本题实际上是属于黄金分割问题，即若点 C把线段AB分成两条线段AC和BC (AC BC),且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的

4、黄金分割点.例2.若一个矩形的短边与长边的比值为存(黄金分割数)，我们把这样的矩形叫做 黄金矩形。(1)操作：请你在图2所示的黄金矩形ABCD (ABAD )中，以短边AD为一边作正 方形AEFD ;(2)探究：在(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是， 请说明理由；(3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论(不需要证明)。图2析解：(1)在AB、DC边上，分别截取AEDF所求作的正方形，如图3所示;(2)在图3中，不妨设AB = a,由题意可知：BC=W5a, FC=-5a,则FC: 22BC= 弓，按照黄金矩形的定义可知四边形 EBCF是黄金矩形;(

5、3)由上面的求解可以得出：在黄金矩形内，以黄金矩形的短边为一边在该矩形内作 一个正方形，则由此在该矩形内又新得到一个矩形，则这个新矩形也为黄金矩形.3、黄金分割矩形美丽宜人的黄金分割矩形是古希腊时代被认为地球上最具有调和性而美丽的比例。在古希腊时代，除了著名的巴特农神殿之外(如右图1),有许 值立 U L1 J喷 TOC o 1-5 h z 多建筑物、美术品、工艺品都具有十分接近黄金分，割的作品。文艺复兴时代的万能艺术家达文西N l(Leonardo da Vinci,14521519据说用黄金分割的长k . 方形绘画。黄金分割不仅是几何学，也是整个数学话F ，虫型H用的重要内容。十七世纪德国

6、著名的天文学家、数学_ 二 二木事妗籍家开普勒(kepler,15711630曾经这样说过： 几何学里有两件宝，一是勾股定理，另一个是黄金分割”。所谓的黄金分割矩形，是指矩形的长：宽= 底：1,黄金分割矩形有一种特别的性质：在这种矩形中分出一个以宽为边长的正方形后，余下的矩形仍然是一个黄金分 割矩形(如图2),由于它具有这一特性，因此每次余下的矩形都与原矩形相似，也就 是说黄金分割矩形具有碎形自相似性的特质。至于黄金螺旋，则是将黄金矩形依黄金比例的长宽比往外扩张，然后将正方形顶点依序连接起来，就成为“黄金螺旋”如图 3, 4, 5。同样地， 黄金螺旋也普遍存在于自然界中，如下右图6的鹦鹉螺即

7、是最著名的例子4、人体中的黄金分割之美人是万物之灵.大自然赋予了健康、迷人魅力的人体黄金分割比率.经过研究与分析，人们发现，在人体中也包含着多种“黄金分割”的比例因素， 至少可以找出：18个“黄金点”（如图1:脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、 眉间点为发缘点至领下的分割点等）；15个“黄金矩形”（如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等）；6 个“黄金指数”（如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、 唇目指数是指口裂长度 与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等） ；3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点 组成的三角等）.止匕外，健

8、美的人体（如古希腊雕塑米罗的维纳斯看上去健美漂亮就是典型的 例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据 米罗的维纳斯身材各部分的 尺寸.她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近利西普斯所追求的人体美标准，即身与头之比为8 ： 1.由于8为3加5之和，这就可以分割成1 ： 3 ： 5,这就 是“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则.）亦有多组比例符合黄 金分割比.如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到 头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割.任取一条线段AB,在AB上找C就叫做线段AB的黄金分割点,每条线段都有两个黄

9、金分割点点C是线段AB的黄金分割点，同柞KAC, BC如果任BC ,则 AB ACAB分成AD BD,如果BD 处， 图 3AB BD则点D也是线段AB的黄金分割点.那么黄金分割点到底在什么位置呢？让我们来算 TOC o 1-5 h z 如图，设 AC = x,那么 BC = ABAC=ABxAC B由于AC2 = AB . CB, 所以x2 = AB(AB -x)解这个方程得x 巫AB,即AC=Y5AB0.618AB.22这个黄金分割值0.618就是人们所说的“黄金数”.黄金数0.618是十分有趣的，0.618的倒数是 1.618，而 0.618 X 1.618 = 1.D 丫 F用纸可以折

10、出黄金比例，裁一张正方形纸片ABCD,先：I折出BC的中点E,然后折出直线AE,再通过折叠，使EB落j E到直线EA上，折出点B的新位置G因而EG = EB.类似的，*力在AB上折出点X,使AX = AG,折出的点X就是AB的黄金分 L3 Z I割点.你不妨算一算.A XF B数学家法布兰斯在13世纪写了 一本书，其中有这样一些数的组 合:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,它们有以下一些特点:.数列中任意数字都是由前面两个数字之和构成；.前一数字与后一数字之比趋近于一固定常数0.618;.后一数字与前一数字之比趋近于1.618;4.1.618与0.618互为

11、倒数，其乘积约等于1;5.任一数字与它后面第二个数字相比，其值趋近于0.382;与它前面第二个数字相比其值趋近于2.618.在所有矩形中，短边与长边之比为 神的矩形最为美观，人们把这种长与宽的比2值近似于0.618的矩形称为“黄金矩形”.在正五角星中有两种特殊的等腰三角形，一种是顶角为360的等腰三角形，一种是底角为360的等腰三角形，毕达哥拉斯学派把它们称为“黄金三角形”.黄金分割是几何中的一个著名问题，它实际上是比例线段问题.黄金分割有着广泛 的应用，如在设计工艺品或日常用品的宽与长时，常设计成宽与长的比近似为 0.618,这 样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点

12、处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比 较好，而且显得自然大方.黄金分割与人体也有很大关系，人的肚脐把人从头到脚作了黄 金分割，上肢的黄金分割点在肘关节，肚脐以上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄 金点在膝盖.生物学家发现植物种类繁多、叶子形态各异，但是叶子在茎上的排列却有着特殊的 规律.我们从某种植物的顶端往下看，便会发现上下层相邻的两片叶子之间所构成的角约 为137.50，如果每层叶子只画一片来表示，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度约为 137.50，以后二层到三层、三层到四层、四层到五层两叶之间都成这个角度，这个角 度对叶子的通风

13、和采光最为有利.这叶子之间的1370角与黄金数又有什么联系呢？我 们知道，一周为 3600, 137.50: （3600 137.50） =137.50: 222.50= 0.618.也就是说，各 种植物叶子的生长规律中自然隐藏着黄金数.在日常生活中，还存在着许多令人费解的“黄金分割”之谜科学家们发现，当外界环境 的温度约为人体体温的0.618倍时，人会感到最舒适.我们的书本和窗户，其形状大都基 本符合黄金分割.黄金分割留给我们的是永远的美和未解的谜，它到底反映了一个什么样 的普遍规律呢？但愿你能有所发现！6、线段黄金分割点的几种求法所谓黄金分割，就是一点C把一条线段（AB）分成两条线段，使其

14、中较长的线段（AC） 是较短线段（BC）和整个线段（AB）的比例中项（如图1所示）.-1AcB图1下面介绍黄金分割点C的几种求法，供同学们学习时参考.黄金分割点的几何求法已知：线段AB求作：线段AB的黄金分割点作法：如图2所示，(2)连结AD,在AD上截取DE=BD;(3)在AB上截取 AC=AE .则点C就是所求的黄金分割点.证明：v AC = AE = AD 2 AB , 2而 AD = /aBBD2. AC = Jab2 (雪2 1AB= 在AB1AB = 5_AB. 22222.C点是线段AB的黄金分割点.黄金分割点的代数求法已知：线段AB求作：线段AB的黄金分割点C.分析：设C点为所

15、求作的黄金分割点，则= ABrCB 即AC+AB * AC- AS1 = 0解这个方程，得AC 二拉方 0,618 月32所以C点可作.注意：方程月C*AB1 = 0的解法将在九年级一元二次方程时学.黄金分割点的近似求法已知：线段AB求作：线段AB的黄金分割点.分析：若不限于尺规作图，用量角器可以作以线段 AB为一腰，顶角/A=36。的等 腰三角形ABC,如图3所示，然后作/ACB的平分线CD交AB于点D.则点D就是线段AB的黄金分割点.证明：在 ABC 中，= AB=AC ,/A=36. ZACB = Z B= 180-36-=72。，2又CD平分/ ACB ,/1 = /2=36 , /

16、3= /A + /1 = 72.BC = CD = AD, . CDBs/XABC ,. BD 型，即 BC2=AC - DB,BC AC. AD2 = AB - DB.由于作顶角为36。的等腰三角形的底角平分线后，仍可得到另一个顶角为36。的等 腰三角形，周而复始，永无止境，所以这类等腰三角形也被称为“黄金三角形”类似地，如果在宽与长之比为0.618 ： 1的长方形内，作以长方形的宽为边长的正方形，仍可得到另一个宽与长之比为0.618： 1的长方形，所以这类长方形也称为“黄金矩形”， 如巴特农神庙，图4.图47、中考黄金分割问题两例华师大八年级教材71页的阅读材料里已经简单的向我们介绍了一些

17、黄金分割问题。瞧，05年的中考试题中就出现了几例关于黄金分割的考题，现在将其列举出来与大家共 同赏析。、确定演播厅的主持人站立的位置位置最好。且有央电例1、（湖北省十堰市）如图，已知线段 AB,点C在AB上,;若AB的长度与中AC BCAC 物/古小，则的数值为AB ACAB视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在解析：由黄金分割的定义可知 处 的数值为阻。依据教材上的介绍可知节目主AB2持人应站在线段AB的黄金点C,这样下面的观众看上去感觉最好。二、黄金矩形例2、（扬州市）若一个矩形的短边与长边的比值为 立黄（黄金分割数），我们把 这样的矩形叫做黄金矩形。（1）操作：请你在如图所示的

18、黄金矩形 ABCD （ABAD ）中，以短边AD为一边作正 方形AEFD ;（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是， 请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）。r,FCA解析：（1）在AB、DC边上，分别截取 AE=DF=AD ,连接EF,则四边形 AECF 即为所求作的正方形，如上面右图所示，（2）在该图中，不妨设 AB=a,由题意可知： BC=匕5a, FC= 3 5 a,贝U FC: BC=W5，按照黄金矩形的定义可知四边形 EBCF 222是黄金矩形。（3）由上面的求解可以得出：在黄金矩形内，以黄金矩形的

19、短边为一边在 该矩形内作一个正方形，则由此在该矩形内又新得到一个矩形，则这个新矩形也为黄金 矩形。8、“黄金分割”考题透视黄金分割是成比例线段中既特殊又重要的内容， 考查的重点是与黄金分割有关的计算 和推理题。下面举例予以说明。一、利用黄金分割比进行有关的计算例1侑：（1）已知线段AB=4,点C为线段AB的黄金分割点，且ACBC,求下列各式的AC-BC; （2） AC?BCo,.分析:本题主要利用线段的黄金比.）A进行有关计算。AC 5 1ABD是线段AC的黄金分割点解：（1）因为AB=4, C为AB的黄金分割点，所以=2拈 2。所以 ACBC=AC (AB-AC) = 2AC AB = 2(

20、2 卡 (2)因为 BC = ABAC=4 ( 2盗 2) =62指。 所以 AC?BC= ( 2虚 2) (6-275 ) = 16/532。二、推理题例2如图2,点P是线段AB的黄金分割点，且 APBP,设以AP为边长的正方形的面积为Si,以BP和AB长为边的矩形的面积为 & ,试比较sMS2的大小。分析：根据点P是线段AB的黄金分割点，抓住AP 空这个定义关系式即可判断Si与S2的大小。AB AP APPB解：因为P是线段AB的黄金分割点，所以一比，AB APAP2 AB-BP , 又 S1 AP2, S2 ABBP ,所以 S S2。 例 3 如图 3,在4ABC 中，AB=AC =

21、2, BC =V5 1, A 360 , BD 平分/ ABC ,交 AC 于点 D,试分析：本题可先判别ad = bd = bc=T5 1,再根据黄金分割的概念确定这个特征的 比值，即可判定点D是线段AC的黄金分割点。解：在 4ABC 中，因为 AB AC, A 36O ,所以 ABC C 72。因为BD平分/ ABC,所以12 36 ,所以/ 1 = /A,所以AD = BD。所以/ BDC = / 1 + /A = 72,所以/ BDC = / C,从而有 BC=BD = AD = 所以AD 亘，即点D为线段AC的黄金分割点。AC 29、“比例线段”变式多多同学们初学线段的的比时有些不适

22、应，为此学习时应治意以下问题：一、明确线段比的含义如果选用同一长度单位量得两条线段 a, b的长度分别是m, n,那么就说这两条线a m 段的长是a : b=m : n或与成- 一，和数的比一样，两条线段的比 a ： b中，a叫做比 b n的前项，b叫做比的后项。注意：（1）针对两条线段（2）两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关，（3）其比值为一个不带单位的数。二、弄清线段成比例及有关概念的意义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段a c叫做成比例的线段，简称比例线段，己知四条线段a, b, c, d,如果9上或a： b=c：b dd,那么a, b, c

23、, d叫做成比例的项，线段a, d叫做比例外项，线段b, c叫做比例内 项。三、掌握比例的基本性质如果a : b=c : d,那么ad=bc,反之，如果 ad=bc,那么 a : b=c : d。特别地，如果a : b=b : c,那么b2 = ac,反之,b2 =ac,那么a : b=b : c。要注意灵活运用比例线段的多种不同的变化形式，但无论怎样变化，它们都保持 ad=bc的基本性质不变。具体有八种不同的表达形式：a c(1)右 ad=bc,贝ij 一 一 b dd c .项的位置)a(3)右 ad=bc,贝 ad=cd,因止匕一 cd(4)右 ad=bc,贝 da=cb,因止匕一 cb

24、(5)右 ad=bc,贝 bc=ad,因止匕一 a（2）右ad=bc,根据乘法的父换律，可得 da=bc,因此一一头际上父换了 1中两个外 b ab一（这里父换了 1中两个内项的包置）db （这里交换了 1中两个内项和外项的位置）ad一（这里把等式ad=bc的左边和右边父换了包置, c也可以看作是同时交换了 1中两个比的前项和后项的位置）仿照上面的方法，由(5)又可以得到下列三个式子：c d(6)右 bc=ad,贝U cb=ad,因止匕一 一a b(7)若 bc=ad,则 bc=da 因此 b d c c a(8)右 bc=ad,则 cb=da 因此一 一 d b四、学会运用比例线段解决实际问

25、题在比例尺为1 ： 900000的江西黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4cm,这两地的实际距离是()A. 2250厘米 B. 3.6千米C. 2.25千米 D. 36千米析解：根据比例尺的定义，设黄山风景区与市政府所在地之间的距离为xcm,(应与图14上距离单位相同)则 -900000 x解得x=3600000厘米=36千米.故应选D 五、学会创新例2.有三条线段，它们的长分别为 a=1cm, b= J2 cm和c=2cm请再添上一条线段x,使这四条线段a, b, c, x为比例线段，请问线段x该有多长? 解：这是一道多种答案的开放性创新题如果是a b如果是a b如果是- a

26、c那么x xx那么x c那么x xbc 2 22*2 (cm)a 1acbabc1 2-.、-j v2 (cm)12、2 /、(cm)222x长为2j2 cm或、12 cm或 cm210、证明比例线段 方法多多思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙,证明线段成比例的问题, 常用的方法有以下几种.一、利用相似三角形 例1.如图1, AD是直角 ABC斜边上的高，DELDF,且DE和DF分别交 AB、ACAF BE于E、F,求证： 。AD BD【分析】AF、AD与BE、BD分别在 ADF和ABED中，只要能证明 ADFABED 就行了.证明：. /B = /DAC, / BDE+/AD

27、E=90 = / ADE + / ADF ,丁. /BDE = /ADF,ADFsBED,竺匹 AD BD【点评】当要证的比例线段在两个三角形中，且可证这两个三角形相似，可利用此法.二、利用中间比例2.如图2,梯形ABCD中，AD / BC, AC与BD相交于点E, BF / CD交CA的延 长线于点F.求证：EFAD=ECBC.【分析】 由AD/BC,得ADEsCBE,由BF/CD,得BEFs/DEC,从而得到成比例线段AD DE=BC BE证明：v AD / BC,DE EC,由此易证到结论BE EF ADEsCBE,处匹.BC BE 又: BF/CD, 匹EC BE EFAD EC瓦IF

28、， BEFADEC,EF AD = EC BC.【点评】本题利用了中间比（ 匹）进行过渡，证明比例式，进而得到等积式，这是在BE解题中经常使用的一种方法。三、利用等线段进行代换例3.如图3,已知：正方形 ABCD中，O是AC与BD的交点，/ DAC的平分线 APCD BQ交CD于点P, / BDC的平分线DQ交AC于点Q,求证： 型 空。【分析】BD、CD和AP、BQ不能构成两个三角形，但根据正方形的性质有 B况AC BO DQ 可证ACPs/XDCQ.证明： ABCD为正方形，BD=AC,且AC、BD互相垂直平分，BQ= DQ因AP平分/ DAC , DQ平分/ BDC ,/ CA母 1 /

29、 DAC= 1 / BA氏 1 / ADC= 1 / CD乐 / CDQ2442又/ACP = /DCQ, ACPs/XDCQ.,AC AP BD AP ,：一 一.CD DQ CD BQ【点评】当需证的比例线段不在两个三角形中，或虽然在两个三角形中但不相似时，可由已知条件寻找与比例式中某些线段相等的线段作等量代换后，再寻找相似三角形去证明。11、巧用面积比来证线段比运用三角形的面积比证明线段成比例问题，别开生面，且能开阔我们的视野，培养 创新思维能力.这种方法的理论根据是：“同高（或等高）的两个三角形的面积比等于对应底之比 ”，基本图形如图1;.ABMADC勺底BD与CD上的高相同,S DS

30、 ADCBDDC在图1 (2)中直线11 / l2, .ABCtBDC勺底AB与CD上的高相等,- S C_AB. .S CD DC“同底(或等底)的两个三角形的面积比等于对应高之比”，你来画画基本图形；运用三角形的面积比证明线段成比例，其基本思路是运用上述理论依据由面积比建立线段比，现举例如下：AD AE例1,已知 ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE / BC,求证： =DB EC证明：如图2,连结BE、CD,S ADES DEADS deAEDB S cdeEC又 DE / BC, S deAD AE DB EC S CDE，图2例2. 已知：如图3, AD是C的中线，过点B的

31、直线与AD相交于E,与AC相交于F,求证：处匹。AF EF图3证明：连结CE,S ACEAC S ABEBES AEFAF S AEFoEFBDCD,S ABDS ACD， S BDES CDES ABES ACES ACES ABEACBES AEFS AEFAFEF例3 ABC中，AB AC, AD为BC边上的高，AD的中点为M, CM的延长线交AB于点K ,求证：AB 3AK证明：如图4,连结DK,AB AC, AD为BC边上的高，BD CD,又 AM DM,S AMKS DMC，S KDBS KDCS ACK S KDC S KDB，S ACKS ABCAK 1AB 3AB 3AK。C

32、的顶点C任作一直线，与边 AB及中线AD分别交于点F和E,求证:AE: ED 2AF: BF。证明：如图5S AEC S AEFS DEC S DEFS AEC S AEFS DCE S DEFAEEDS ACFS DCF又 BD DC,S DBFS DCF，AEED图5S ACF S ACF AF 即已把S BCF 2S dcf FB S dcf FB 2AF rr，即AE： ED 2AF： FB。FB对于线段比是同一条直线上有公共端点的两线段比问题，若题中再有相等线段或平行线等条件，就可考虑用这种方法，用面积比作为中间比，在这里面积比起着沟通、联 系线段比的作用。12、巧用面积比，妙解几何题用三角形面积比可以解决一类几何问题，解法很有独到之处，现举例如下：=1, SAade = 3,则 SaCDE 等于例1.如图1,在四边形ABCD中，E是AB上一点,EC / AD , DE / BC,若SabecA. V2B. 32解法1:因为AD / CE, 所以 /A