数列极限和连续

1、关于数列的极限与连续第一张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/222.1 数列的极限(Limits of Sequences)二 收敛数列的性质一 数列极限的定义三 小结与思考判断题CH2 极限、连续第二张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/232.1.1数列概念例如第三张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/24注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数第四张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/25定义2.数列单调性定义单调增加单调减少单调数列同样,定义3：数列有界性定义第五张，PPT

2、共七十二页，创作于2022年6月2022/8/26几何意义:由于 |xn|MMxnM xnM, M.故, 所谓xn有界, 就是xn要全部落在某个对称区间M, M内.看图0MxxnM第六张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/272.1.2数列极限的概念第七张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/28图形演示第八张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/29图形演示第九张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/210图形演示第十张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/211图形演示第十一张，PPT共七十二页，创作于202

3、2年6月2022/8/212图形演示第十二张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/213图形演示第十三张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/214图形演示第十四张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/215图形演示第十五张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/216图形演示第十六张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/217图形演示第十七张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/218图形演示第十八张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/219图形演示第十九张，PPT共七十二页，创作

4、于2022年6月2022/8/220图形演示第二十张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/221问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:第二十一张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/222第二十二张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/223如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：定义3 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)总存在正数 ，使得对于 时的一切 不等式 都成立, 那末就称常数 为数列 的极限，或者称数列收敛于 ,记为 第

5、二十三张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/224注定义1习惯上称为极限的N定义，它用两个动态指标和N刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给0标志着“要多小”的要求，用n N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数，20，正整数N，30，不等式|xna|（n N）定义中的具有二重性：一是的任意性，二是的相对固定性。的二重性体现了xn 逼近a 时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过的相对固定性来实现）。第二十四张，PPT共七十二页，创作于

6、2022年6月2022/8/2251. 我们用符号“” 表示“任取”或“对于任意的”或“对于所有的” ,符号“” 称为全称量词.2. 我们用符号“”表示“存在”.符号“”称为存在量词.符号：第二十五张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/226几何解释:第二十六张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/227当 x = n, 则相应的点都落在绿色区域内nf(n)0AN123N+1N+2数列的极限演示对一切 n N自然数 NA的邻域第二十七张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/228当 x = n, 则nf(n)0AN123N+1N+2 数列的极限

7、演示.相应的点都落在绿色区域内对一切 n N自然数 NA的邻域第二十八张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/229当 x = n, 则nf(n)0AN123N+1N+2数列的极限演示.相应的点都落在绿色区域内对一切 n N自然数 NA的邻域第二十九张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/230当 x = n, 则nf(n)0AN123N+1N+2.相应的点都落在绿色区域内对一切 n N自然数 NA的邻域数列的极限演示第三十张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/231当 x = n, 则nf(n)0A123NNNNNN+1N+2因此，数列的极限

8、定义也称数列极限的 N定义.相应的点都落在绿色区域内对一切 n N自然数 NA的邻域数列的极限演示第三十一张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/232例1. 若xn=c (常数), 则证: 0. 由于|xnc|=|c c|= 0取N=1, 当nN时, 有|xnc |=00,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).第三十四张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/235例4、第三十五张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/236所以取要,只要使第三十六张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/237二、收敛数列的性质1.收敛数

9、列的唯一性定理1 收敛的数列只有一个极限.证由定义,第三十七张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/238例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.第三十八张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/239定理2 收敛的数列必定有界.证由定义,2.收敛数列的有界性注1 有界性是数列收敛的必要条件.注2 无界数列必定发散. 数列注3 有界数列不一定收敛. 数列第三十九张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/2403.收敛数列的保号性第四十张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/241第四十一张，PPT共七十二页，创作于

10、2022年6月2022/8/242数列的子数列(略)子数列(子列):在数列 中任意抽取无限多项,并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列,称为原数列的子列.记作即其中例如 自然数列第四十二张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/2434.收敛数列与其子列的关系(略) axknn=lim这就证明了NnnKkNnKKk=.,时，有则当取 证axnk-.| eaxNnn;|时恒有当eNaxxxknnnn$=,0,lim 使得由定义，的任一子数列.是数列设数列eQ第四十三张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/244例如 数列 因为它有两个子列分别收敛于1和-1两个不

11、同的数值.第四十四张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/245定理5. 设数列 xn和 yn 的极限都存在. 且则(1)(2)(3) 设 C 为常数，有(4) 当 b0 时，有三、数列极限的运算法则第四十五张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/246第四十六张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/247定理4. 若证：由于注意到不等式 | | A | | B | | | A B |从而 | | xn | | a | | | xn a | b0时,有移项, 有即第五十八张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/259第五十九张，P

12、PT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/260第六十张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/261由于单调有界, 从而必有极限.为一无理数第六十一张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/262注：第六十二张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/263例13. 设x0=1, 证明 xn 的极限存在，并求之.证：通常要证明某数列极限存在可考虑用:(1)单调有界数列必有极限.(2)夹逼定理(条件中往往有不等式).此例用(1)注意到 0 0 , 故 a 0.第六十五张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/266思考题证明要使只要使从而由得取当 时，必有成立第六十六张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/267思考题解答（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值第六十七张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/268从而 时，仅有 成立，但不是 的充分条件反而缩小为第六十八张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/269故极限存在，备用题 1.设 , 且求解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则第六十九张，PPT共七十二页，创作于2022年6月2022/8/