数列极限收敛准则

1、关于数列极限的收敛准则第一张，PPT共三十四页，创作于2022年6月第一节 数列的极限一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质四、数列的收敛准则第二张，PPT共三十四页，创作于2022年6月第三张，PPT共三十四页，创作于2022年6月3.保号性定理证由绝对值不等式的知识, 立即得 a 0 的情形类似可证, 由学生自己完成 .第四张，PPT共三十四页，创作于2022年6月保号性定理的推论1：这里为严格不等号时此处仍是不严格不等号第五张，PPT共三十四页，创作于2022年6月保号性定理的推论2： 在极限存在的前提下, 对不等式两边可以同 时取极限, 不等号的方向不变, 但严格不等号也

2、 要改为不严格不等号.第六张，PPT共三十四页，创作于2022年6月例1证逆命题成立吗？第七张，PPT共三十四页，创作于2022年6月例2证第八张，PPT共三十四页，创作于2022年6月第九张，PPT共三十四页，创作于2022年6月例3解利用函数的周期性, 在 xn 中取两个子数列:第十张，PPT共三十四页，创作于2022年6月1.单调收敛准则 单调减少有下界的数列必有极限 . 单调增加有上界的数列必有极限 .一、数列极限收敛准则 通常说成：单调有界的数列必有极限.第十一张，PPT共三十四页，创作于2022年6月证由中学的牛顿二项式展开公式例1第十二张，PPT共三十四页，创作于2022年6月类

3、似地, 有第十三张，PPT共三十四页，创作于2022年6月第十四张，PPT共三十四页，创作于2022年6月又 等比数列求和 放大不等式每个括号小于 1 .第十五张，PPT共三十四页，创作于2022年6月 综上所述, 数列xn是单调增加且有上界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限存在, 通常将它记为 e, 即e 称为欧拉常数. 第十六张，PPT共三十四页，创作于2022年6月第十七张，PPT共三十四页，创作于2022年6月 欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年的生命历程中，还有25年住在德国柏林（17411766年），其余时间则留在俄国彼得堡。

4、 欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与他共同生活40年的结发之妻先他10年去世。 欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（17381772年）曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。第十八张，PPT共三十四页，创作于2022年6月 欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未出版的论著。仅仅双目失明后的 17 年间，还口述了几本书和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。 欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的

5、神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。 欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿拉哥（D. F. J. Arago，17861853）说：“欧拉计算一点也不费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。” 第十九张，PPT共三十四页，创作于2022年6月 有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的和，加到第17 项时两人发现在第 50 位数字相差一个单位。为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。 欧拉创用 a，b，c 表示三角形的三条边，用 A，B，C表示对应的三个角( 1748

6、 )；创用 表示求和符号 ( 1755 )；提倡用 表示圆周率（1736）；1727年用 e 表示自然对数的底；还用y 表示差分等等。 十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国，如他在1748年出版的无穷分析引论。第二十张，PPT共三十四页，创作于2022年6月2.数列极限的夹逼定理设数列 xn, yn, zn 满足下列关系:(2)则(1) yn xn zn , n Z+(或从某一项开始) ;想想：如何证明夹逼定理?第二十一张，PPT共三十四页，创作于2022年6月第二十二张，PPT共三十四页，创作于2022年6月解由于例2想得通吧？第二十三张，PPT共三十四页，创作于2022年6月解例3

7、第二十四张，PPT共三十四页，创作于2022年6月 夹逼定理例4解第二十五张，PPT共三十四页，创作于2022年6月例5解 夹逼定理第二十六张，PPT共三十四页，创作于2022年6月例6解除最大的一个外, 其余的均取为零.第二十七张，PPT共三十四页，创作于2022年6月3. 柯西收敛准则 满足此条件的数列, 称为“柯西列”. 柯西准则可写为:第二十八张，PPT共三十四页，创作于2022年6月证由柯西收敛准则可知, 该数列是发散的.例6第二十九张，PPT共三十四页，创作于2022年6月 柯 西 A.L.Cauchy (17891857)业绩永存的 数学大师第三十张，PPT共三十四页，创作于20

8、22年6月 柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。 18051810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校会考大奖。1810年成为工程师。1815年获科学院数学大奖，1816年3月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。第三十一张，PPT共三十四页，创作于2022年6月 由于

9、身体欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的一个重大事件，也是柯西对人类科学发展所作的巨大贡献。1821年柯西提出了极限定义的方法，把极限过程用不等式刻划出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说的极限定义或定义。当今所有微积分教科书都还（至少在本质上）沿用柯西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对定积分作了系统的开创性的工作。他把定积分定义为和的极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分的存在性。 第三十二张，PPT共三十四页，创作于2022年6月 他首先利用中值定理证明了微积分基本定理。通过柯西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格化处理，从而结束了 200 年来微积分在思想上的混乱局面，并使微积分发展为现代数学最基础、最庞大的数学学科。 数学分析严谨化的工作