电动力学基础知识必备

1、内容：勒维齐维塔记号基本矢运算公式亥姆霍兹定理的两种表述形式勒维*塔记号定义勒维-齐维塔(Levi - Civita )记号项为厂 +1ijk是123的偶排列 ijk-1ijk是123的奇排列0 ijk中有两个指标相同L勒维-齐维塔记号的一个重要等式：乙 8=8 8 -8 8(2)ijk mnk im jn in jmk基本矢运算公式2.1两矢量叉乘的矩阵表示和云分别表示直角坐标系x、y和Z轴的单位向量，则可知有如下关系成立e x e = Ze ei jijk kk因此AxB = Za, x&e =Zab (e xe )llj jI j I jEijijAB 乙8 e 二乙8 AB ei j

2、ijk kkijki j kijkB - AB )e +(AB - AB )e +(A B - A B )ey z zyx z x x z y x y yxz即有2.2三个矢量间的混合积和双重矢量积IJkAAAxyzBBBxyzA x B =利用标量积和矢量积的定义，可以证明两个很有用的公式:三个矢量的混合积AGx C)= B (Cx A)= CGxB)(5)双重矢量积A x(B x C )= B(A C )- C (A B )(6)上述两公式的证明如下:混合积公式的证明A (B x C )= A .以BC eijk=s BC (a U=乙 AB Ck iijk j k iijk i j ki

3、jkijkAAAijkBBBijkCCCijk由行列式可以看出混合积对A、B和C具有轮换对称性，即有:A (B x C )= C (A x B )= B(C x A)上双重矢积公式的证明乙mnkBmC mnkmnk m njmnkmnkBmCnAj= s)B C A =_j mnk 寸= LBC A - BCA )e =L=B (a C )- C (a B )mnk ijk m ny.u乙- =Hn(5 5 8 8)B CAe im jn in jm m n j imnk m n即有:A x(B x C )= B (A - C )- C (A - B )(8)上式证明中用到了勒维-齐维塔记号的

4、性质(2)式。2.3 V算格的线性运算性质对任意的数量场u、v以及矢量场a、b，根据V算符的定义以及矢量的标量积和矢量积的分配律，容易验证V算符具有如下线性运算性质:V(c u + c v)= c Vu + c Vv1212(9)式中c、c为任意常数。v - a + c 方)=c v - a + c v - b(10)V x la + c b )= c V x a + c V x b(11)例题：求两个矢场A B的矢量积的散度，即求解考虑到V算符的求导作用式中A表示A不被V作微分运算，同理b (以后此种记号都作这样的理解)。根据矢量公式-(T - / 广(-)1(广 / a x b x c=

5、b (a - c )- cn - b作调整得到Vx(A xB)= A VB)-BVA I A (vcB)-(A vB = aVB)-.vB(12)交换A、B的顺序，由(12)式可以推出Vx 4xB )= -V x (B x ZL)= -B(V -D+G V)4(13)于是x B)+VxVx一一xB)= Vx 一_ _ . 一一 vX - B V A)G c-v)B + a、- B )推导过程说明所以这么说是因为在这一步中仅考虑了矢量 c运算法则，而没有顾及到矢量B要被V作微分运算（即BR能出现在V的后面）。但是这一 步对于得到最终的结果还是必要的，因此在进行具体运算时也需要把它写出来。不过它不

6、能 直接以相等的关系出现在运算过程中，所以在推导过程中我们用记号”把它与其它项 区别开来，以表示“过渡性”的含义。还要指出的是在（13）式、（14）式的最后结果中，我们 把A、B的下标c都去掉了，这是因为A、B仅仅是用以表示A、B不被哈密顿算符义作c c用的一种记法”，现在既然A、B都已经挪到V的前面去了，所以再在A、B的下面放个 c cc就没有意义了。3亥姆兹定理的两种表述形式L亥姆霍兹定理表述形式之一:在空间有限区域T内的任意一个矢量场F ,由它的散度、旋度以及边界条件(即限定体积T的闭合面S上的矢量场分布)唯一确定。L亥姆兹定理表述形式之二:对于空间有限区域T内的任意一个矢量场F，若已知

7、它的散度、旋度和边界条件，则可 以唯一地确定该矢量场，并可以将之表示成一个无旋场(F1 = -v)和一个无源场 TOC o 1-5 h z (F2 =vx A)之和。即 k.F = F1 + F2 = -V4 + Vx A(15)其中孤,y, z )= JVJ攵WL-_11 F G ，y ，z ).亦(16) 4兀tR4兀s RAG, y, z )=上 JMGzW &+_! J 四业 x ds(17)4兀t R4兀s R上面两式中，R - ( X )2 +(V _ )2 + (7 _ 7)2 是场点(xv 7)至II源点(x 7)的距离 ，八x x + y y + z z /x, y,z, y ,zV.F(xx, y z，)代表已知的通量源密度pGx, yy, z), VxF侦,yr, z)代表已知的旋涡源密度 J(xx, y, z)。“V . ”和“V x”分别表示对(xx, y, z)求散度和旋度。函数F(xx, y, z)是给定的。如果矢量场F在无限远处以足够快的速度减弱至零，则式(16)和式(17)中的体积分可以 扩展到整个无限大空间，并且在包围整个空间的S曲面上的F(xX, y, z)三0，这时,(16)和(17) 式中的面积分项就不存在了。这