统计基础一概率与概率分布

1、概率与概率分布 在对随机现象的研究和各种决策中,常需用样本(数据)提供的信息去推断总体的数量规律性,即作出有关总体的某种结论.推断统计学是建立在概率与概率分布基础的理论基础上的统计方法,因而有必要了其有关知识一、概率基础-随机实验，样本空间，随机事件-概率：古典概率，几何概率，公理化定义-条件概率-随机变量-常用随机变量的分布：二项、泊松、均匀、指数、正态-数学期望、方差在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。对随机现象进行观察和试验称为随机试验。在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件(A、B)。在随机试验中所有可能出现的结果组成的集合称为样本空间(S)。集合表示：例

2、：抛一枚均匀骰子。事件A表示“大”即“4、5、6点”，如果结果出现5点，则事件A发生了。1、 随机实验，样本空间，随机事件2、事件的关系与运算SABABSSSAAA-BBABB=ASSSABBA-B例抛一骰子。A表示“偶数点”，B表示“4，5，6”，则事件A与B至少有一个发生为事件A与B都发生事件A发生而B不发生事件A与B都不发生事件的运算法则 交换律: AB=BA AB=BA结合律: A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配律: A(BC)=ABAC A(BC)=(AB)(AC) 对偶律:集合的运算法则都适用,常用的有3、 概率的定义物理学家吴大猷：误用概率的笑话 一个病人去看病

3、，医生检查后告诉病人说他要动手术。病人问这种手术死亡率高不高，医生说这种手术100个人有50个要死的。稍后医生又安慰病人说，到今天已经有50人死去了，所以你不用害怕。估计概率方法一）概率的古典定义 1、定义：古典方法是在经验事实的基础上对被考察事件 发生可能性进行符合逻辑的分析后得出该事件的概率. 如果试验E满足 (1) 它的结果只有有限种. (2) 且每种结果发生的可能性相同. (3)假如被考察事件A含有k个结果,总体事件含有n个结果。则事件A发生的概率为： P(A)=k/n2、古典概率模型中事件的概率求法 试验A的结果只有有限种,即样本点是有限个: 1,2 ,n , =12 n i,i=1

4、,2,n是基本事件， 而他们发生的概率都相等，这样 1=P()=P(12 n) =P(1)+P(2 )+P(n) = n P(i), i=1,2,n P(i)= 1/n i=1,2, 因此若事件A包含k个基本事件，于是 P(A)=k(1/n)=k/n3、 古典概率模型的例子例1 掷一颗均匀骰子. 设: A表示所掷结果为“四点或五点”. B表示所掷结果为“偶数点”. 求: P(A)和P(B)解: n=6，kA=2 P(A)=2/6=1/3 kB=3 P(B)=3/6=1/2例2 货架上有外观相同的商品15件,其中12件来自产地甲,3件来自地乙.现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同

5、产地的概率.解: 从15件商品中取出2商品,共有 =105 种取法,且每种取法都是等可能的.n=105令A=两件商品都来自产地甲 kA= =66 令B=两件商品都来自产地乙 kB= =3 而事件两件商品来自同一产地=AB ,且A与B互斥。 它包含基本事件数=66+3=69 所求概率=69/105=23/35例3： 有外观相同的三极管6只,按其电流放大系数分类, 4只属甲类,2只属乙类.按下列两种方案抽取三极管两只, （1） 每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取下一只(放回抽样). （2）每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三极管中再抽取下一只(不放回抽样) 设A=抽到两只甲类三极管, B

6、=抽到两只同类三极管, C=至少抽到一只甲类三极管, D=抽到两只不同类三极管. 求：P(A),P(B),P(C),P(D)解: （1）由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取. 第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法. 第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能的取法. 取两只三极管共有66=36种可能的取法.注意:这种分析方法使用的是中学学过的 乘法原理即n=36且每个基本事件发生的可能性相同. 第一次取一只甲类三极管共有4种可能的取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能的取法. 取两只甲类三极管共有44=16种可能的取法, 即：kA=16 P(A)=16/36=4/9 令

7、E=抽到两只乙类三极管,kE=22=4 P(E)=4/36=1/9 而C是E的对立事件， P(C)=1-P(E)=8/9； B= AE ,且A与E互斥，P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的对立事件, P(D)=1-P(B)=4/9（2） 由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法,第二次是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法.由乘法原理取两只三极管共有n=65=30种可能的取法.再由乘法原理: kA=43=12 P(A)=12/30=2/5 kE=21=2 P(E)=2/30=1/15 C是E的对立事件, P(C)=1-P(E)=14/15 B= AE

8、,且A与E互斥 P(B)=P(A)+P(E)=7/15 D是B的对立事件, P(D)=1-P(B)=8/15例4：设N件产品中有K件是次品,N-K件是正品, KProbability DistributionsBinomial function (n=10, p=0.16)近视人数 概率10.33314520.28555330.14504340.04834850.01105160.00175470.00019180.00001490.000001100.000000超几何分布（Hypergeometric）N个元素分成两类，有N1 个属于第一类，有N2 个属于第二类。从中不重复抽取 n 个，令

9、 X 表示这 n 个元素中属于第一类的个数，则 X 的分布称为超几何分布。泊松分布（Poisson）泊松是十九世纪法国著名数学家，是“一个熟谙在行事处世方面不失高贵风度的人”。泊松分布最初只是作为二项分布的近似来使用，后来逐渐成为一种重要的概率模型，被誉为随机现象的“基本粒子”。观察如下现象：-单位时间内走进候车室的人数-单位时间内打进的电话数-某段时间内机场降落的飞机数-单位时间内细胞分裂的个数-某段时间内发生车祸的次数-每个产品发现的疵瑕数 (x = 0, 1, 2 ., & 0) 数学期望和方差都是 。泊松分布（Poisson）泊松分布（Poisson）泊松分布表：一般教科书都列出泊松分

10、布的概率：当 n 很大时，二项分布的概率将很难计算。泊松定理：当 n 很大，p 很小时，二项分布可用泊松分布来近似，即 其中例1：历史资料显示，某市每月有5人自杀。问下个月自杀 人数小于3人的概率？因均值 = 5P (小于3) = P ( X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 例2：某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出现故障的 概率为0.02, 求:一天内没有出租车出现故障的概率.解：将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是观察400辆出租车是否出现故障就是做400次伯努利试验,设X表示一天内出现故障的出

11、租车数,则: X B(400, 0.02). 令=np=4000.02=8 于是: P一天内没有出租车出现故障=PX=0 =b(0;400,0.02) (80/0!)e-8 =0.0003355分布近似分布条件超几何分布二项式分布10n总体数量二项式分布泊松分布n 20且p 0.05；或n 100，只要np 10二项式分布N=样本大小p是比例正态分布（即失效部件的比率）Np和n（1-p）小于5分布的近似连续型随机变量均匀分布(Uniform Distribution)正态分布(Normal Distribution)指数分布(Exponential Distribution）连续型随机变量：密

12、度函数均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布的概率密度函数是abxf(x)1/(b-a)00， 其他例题：设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900-1100欧姆之间。 求R的概率密度及落在950-1050欧姆之间的概率。正态分布（Normal Distribution）总体均值 总体方差如果 = 0, 2 = 1 ，则称为标准正态分布 ，常记为 Z。设 X 服从参数为 , 2 的正态分布，则它可通过如下变换化为标准正态分布 概率密度分布函数数学期望方差正态的标准化特性(1)利用标准正态分布表求如下概率：(a)P(Z 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056

13、(b)P(Z 1.25) 或 P(Z -0.85) =0.1056+0.1977=0.3033(d)P(-0.85 Z 1.25) = 1- 0.1056 0.1977 = 0.6967(2) 利用Z 变换的练习： 美国成年男性的平均身高为70英寸，标准差为2英寸，求：(a)P(X72) = (b)P(73 X 75) 其余作为练习。(c)P(X 66)(d)P (X 74)正态概率图（Normal Probability Plots）正态概率图可用于检验数据是否为正态分布 如果正态概率图近似于一条直线，则可认为是正态分布。正态概率图可由 Minitab 容易地得到： 打开数据文件 Dists

14、kew.mtw 选择: Graph Probability Plot (或) Stat Basic Stats Normality Test 随机服务系统的服务时间，消耗性产品（如电子元件）的寿命等， 都通常假定为指数分布。假设产品的失效率为，则参数为的指数分布的密度函数为指数分布的均值为 1/ ，方差为1/2产品在 t 时间失效的分布函数为产品的可靠度为指数分布（Exponential Distribution）当x0= 0 当x0例某元件的寿命服从指数分布，其平均寿命为1000小时。 问3个这样的元件使用1000小时后都没有损坏的概率是多少？ 解：一个元件使用1000小时都不坏的概率 3个这样的元件使用1000小时后都没有损坏的概率是分布