整式的乘除讲义-整章

1、一 整式的乘除一、同底数幂的乘法1 同底数幂的乘法法则m n mn同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即： a a a（ m， n 都是正整数） 。这个公式的特点是：左边是两个或两个以上的同底数幂相乘，右边是一个幂，指数相加。注意： （ 1 ）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加， TOC o 1-5 h z 所得的和作为积的指数.在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.公式拓展：mnp HYPERLINK l bookmark4 o Current Document a a a=。【典型例题】例 1：计算： （

2、1） 108 102 ；（2） （-x）2（ x）3 ；（3） x2 （ x）32323例 2：计算： （1） （a b） （b a） （a b）（2） （x2y）（2y-x）52(x y) (y x) (x y)n2 n1 na a a a总结n an（n为偶数）,n （b a）n（n为偶数）（ a）（a b）an（n为奇数），（b a）n（n为奇数）6324( a ) ( a) ( a ) ( a)n12 n n1 3例 3、计算：x x 2( x) x 3x x例 4：已知 2xxm,用含m的代数式表示2 o变式练习 】-x2y-x3)(2)a (- a )2 -b 2-(-b)2(-b

3、)3(4)x (- x 2) (-X )2 (- X 3) (- X ) 3(5)nn1x ?x x(6)x4 m x4+m(-x) x 6 (-x) 5-(-x) 8 (-x) 3(8)-a 3 (- a )4 (- a ) 52 逆用同底数幂的法则mn m n逆用法则为： a a ? a( m、 n 都是正整数)【 典型例题 】1.(1)已知 xm=3, xn=5,求 xm+no(2):已知 xm=3, xn=5,求 x2m+n;3 ) ：已知xm=3， x2m+n=36 ，求xn。【 变式练习 】aa 4b1 、已知 34 ， 3324 ，试求 b 的值。2 b2a, 2,2abab2

4、、已知25,27 ，则， 23、若m，n为正整数，且2m 2n 32,求m，n的值。二幂的乘方(重点 )535幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如 ( a ) 是三个 a 相乘，读作a 的五次幂的三次方。m n mn幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 ( a ) a( m， n 都是正整数) 。【典型例题】 TOC o 1-5 h z 32242253例 1、填空： ( x ), ( x y) , (x ) (x )2n 1 2n 1 2 n 35 22 22 43 2例 2、计算：a (a ) a2( a ) (a )( a ) (a )5 m 311例 3、已知a (a ) a ,

5、 则 m .例 4、 25 84 162 例 5、 10m2,10n 3 ，则10m n ， 102m ， 103m 2n 5025例 6、将5 和 24 化成指数相同的幂的形式，并比较它们的大小。554433若a 3，b 4，c 5，试利用上述方法比较a，3c大小2m 1 m例 7、已知2448 ，试求 m 的值。例8、已知2x 5y 3 0,求4x 32y的值。【变式练习】z 3 x2/ 2.31、填空：(a ), ( x ), (x y)23 c 32 c ()/3、2782,162(),( x ) x 2682、若 a 3 ,则 a ，a mnm n3、已知 : a 2,a 3,则 a

6、m 2n,a2m 3n, a4574 48 24、计算：7x x ( x) 5(x ) (x )5、-10075试比较2 与3的大小。三.积的乘方(重点)1.积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。如：3ab ab ab ab积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的哥相乘。如：n n n(ab) =a b注：法则中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式；运用该法则时，注意系数为 -1时的“-”号的确定；三个或三个以上因式的乘方，也具有这一性质；该法则可逆用，即，逆向运用可将算式灵活性变形或简化计算。法则的推导nn个 abn个 an个 bn n(ab)n .anbn(

7、ab).(ab).(ab) (a.a.a) (b.b.b)【典型例题】/、42, 3、3(xy) , ( 2a b )例1、填空：(2x2)3 (3xy2)2例2、计算：4,(13-xy)42、32m (2m ) ( 3m)2.逆用公式和推广nnn mn m、n(1)公式可以逆用，ab (ab) , a (a ) (m, n是正整数)，1535555 1133311I xjex w xJxJe v/ x I I/ x I I例如：3(3 )，3(3 ) ,5(5 )(2)底数为三个或三个以上的因数时，也可以运用此法则，即(abc)nn n na b c (n是正整数)(3)当运用积的乘方法则计

8、算时，若底数互为倒数，则可适当变形。【典型例题】例3、已知2a 3,3a5,求12a的值20124 20130.75()15 /0153例 4、计算：3( 0.125)(2 )o.1c rmi 2011 .2012a 2b 0,则 ab 例5、已知2例6、计算:3、2 32 733(3a ) a ( 4a) a (3a ),2、20112012/ 八2013(-)1.5(1)【变式练习】1：计算3 22 34X ； Xy5,10b 6,求 102a 3b的值。(3)_ 2 3 33a b2:已知a1020112010991003：计算(1)100990.1251515 3215四.单项式与单项

9、式相乘（重点）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式例含有 的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注息：.单项式与单项式相乘时，要先把各个单项式的系数相乘，作为积的系数，要注意系数的符号.相同字母相乘时，实际上就是按照同底数塞的乘法法则进行，即底数不变，指数相加.对于只在一个单项式里含有的字母，一定要把它连同指数写在积中，作为积的因式，切记不要将它漏掉.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.单项式乘单项式的结果仍然是单项式【典型例题】例1 :计算3ab2-a2b 2abc2xn 1yn3xy x2z(1)3;(2)26m2n x3 12y 一

10、mn3【变式练习】1.计算：4 2-x y36g 3x y4y ( 2xy2);-. (2n2n) 2+( mr) ( 3 nnn).(-3/2ab) (-2a) (-2/3a 2b2)(5).(2 X105)2 .(4 X103).(-4xy)(-x 2y2) (1/2y 3).(-1/2ab 2c)2 (-1/3ab 3c2)3 (12a3b).(-2x n+1yn) (-3xy) (-1/2x 2z)x2y ( 3xy2z) ( 2xy2)(-x3) 2 ( 3xy) (2y2) 3五.单项式与多项式相乘（重点）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

11、用式子生二期m a b c ma mb mc /. 划曰刖下否一、表本为（m, a, b, c都是单项式）。注意：1.法则中的每一项的含义是不重不漏的.在运算过程中，要注意各项的符号，尤其是负号的情形.非零单项式与多项式相乘的结果仍是一个多项式，积的项数与因式中多项式的项数相同【典型例题】123122222/3、2( -x2y)3 (- x2y)2 ( x2y)例1.计算（1）(3)(5xy)3x2y 12x3( 7y2)x y ( xy )2432232例 2.化简 5a b ( 3b)( 6ab) ( ab) ab ( 4a)例 4 .计算：(3x 3-2-5x)(6-7x+2x2)x 4

12、, y例3.已知：214(xy)15x4 的值.9m例4.已知：327 m【变式练习】1.(1)(3a b-4a b-6ab ) -(3血(2)(7xy4 ：x2y3 5x3y4)g 3xy2)2 6(3)(3x2myn-3-5x my2n+1) (-4xmV)；2.化简求值：-ab (a2b5-ab 3-b ),其中 ab2=-2。6;多项式乘多项式(1)多项式乘以多项式的法则是由单项式乘以多项式的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可。例如(a+b)(c+d)可以将(a+b)看成单项式转化为单项式乘以多项式法则去计算。如:(a bile-由=(a+b)c+(a+b)

13、d=ac+bc+ad+bd(2)为避免丢项，也可以用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在没有合并同类项之前，积的项数等于这两个多项式项数之积。如： 飞与，=ac+bc+ad+bd。项数为2X2=4项。(3)对于型如(x+a)(x+b)的积要注意它的特殊性，即(x+a)(x+b)=x 2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab,这就是说，含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式。注意：1.必须做到不重不漏，计算时按一定的顺序.应确定积中每一项的符号.多项式与多项式相乘时，如有同类项要合并【典型例题】223 例1.计算：(2 a- 3 b)( 3

14、a+ 4 功J.x2和x3的项，求出(-m) 3n的值。例 2.化简求值：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x2-5x+17),其中 x=5 2 .例3.当(x 2+mx+8)(x 2-3x+n)展开后，如果不含【变式练习】1.计算： 2ab?(a2b 2ab2).,1312、小 , 、(-x 二 x y)?( 12xy)63一 2_3(3)( 4a)?(ab2 3a3b 1).(=x3y2)(4y 8xy3) 2a(a b) b(b a).3x(x2 2x 1) 2x2(x 1)2.先化简，再求值:(22 - 32X中其因抄错符号，算成了加上-3x2,得到的答案是.某同学在计

15、算一个多项式乘以-3x 2时,x2-0.5x+1 ,那么正确的计算结果是多少？.已知：A 2ab, B 3ab a b ,C 2ab 3ab，且a、b异号，a是绝对值最小的负b整数，112 ,求3A-B- 2 A-C的值.若(x2+mx+8)(x2-3x+n)的展开式中不含 x3和x2项，求m和n的值、乘法公式1 .平方差公式(重点)平方差公式：a b a b a2 b2即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 这个公式叫做平方差公式。2x 2y 2z归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式: 位置变化，x y y x x2 y2指数变化，x2 y2 x2 y2 x4 y4换式变化，

16、 xy z m xy z m xy 2 z m2 x2y2 z m z m x2y2 z2 zm zm m x2y2 z2 2zm mD连用公式变化，x y x y x2 y2 x222244符号变化，x y x y x 2 y2 系数变化，2ab 2ab 4a2 b2增项变化，x y z x y zx y 2 z22x y x y zx2 xy xy y2 z2x2 2xy y2 z2逆用公式变化,4xy 4xz2. 2、：平方差公式及其逆用一一(ab)(a b) a b【典型例题】1:求解下列各式3x 2y 3x 2y2x2200 1 200 1x y z x y z59.8 60.222

17、0062 2005 2007(9)6(7+1)(7 2 +1)(7 4+1)(7 8+1)+1(8)(2a b c 3d)(2a b c3d)a b a b a2 b2 a4 b4例题219492-1950 2+19512-1952 2+19992-2000 2【变式练习】1计算：(1) 3a 5b3a 5b；(2)2st 2s t(3)x 2x2 x2(4)4m7n 4m7n(5)2a 5b2a5b(6)3a22 3a27）x 2y3z x2y3z8）1a1(9)402398；(10) 79.980.1.22. 如果 x2y2 20 ，且x y 5 ，则y=2完全平方公式（重点）2ab（重点

18、）22a2 2ab b22完全平方公式a b即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积得（乘法的）完全平方公式22a2 2ab b2等于它们的平方和，加（或减）它们的积得2 倍。这两个公式叫做1 ：完全平方公式其逆用【典型例题】例题1:求解下列各式/22、(1)位置变化：(x y )(y x)2符号变化：( 3a 2b)2(3)数字变化：197(4)方向变化：(3 2a)25)项数变化：(x y 1)222(6)公式变化(2x 3y)(4x 6y)(2x 3y) (2x 3y)2完全平方公式的运用2 .2例题4:已知：x y 4，xy 2,求：x y ;442x y .他y)

19、1911已知x 3x 1 0,求x ;x 例题5xx212,“x 例题6已知x 4x 1=0, 求 x的值;4 x 求14x的值.1 91(x )9 (x )例题7若 x ，则 x2、若 x 2(m 3) 16是关于 x则 m 2、若 x 2(m 3) 16是关于 x则 m 【变式练习】1 已知 a2 b2 12,ab 2.求a(a b)2;(a b)2的值.2已知 a b 4,ab 2.求a2 b2;(a b)2的值.2223 已知 a b 4,a b12.求ab;(a b)的值.2224已知 a b 4,ab 2.求ab ;(a b)的值.5已知 a b 4,a2 b2 12.求ab;(a

20、 b)2的值.56已知 a b 4,a b 2.求a2 b2;ab的值.3逆用一 2 一 ，一 一什 m 2 n 8n 160 mlmn1、若，则 m ，n .2k=3、多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则2、4、已知 x(x 1) (x y)xy的值.5、已知x yxy122yi2的值4配方法例题 1:已知：x2+y2+4x-2y+5=0 ,求 x+y 的值.【变式练习】1 1.已知 x2+y2-6x-2y+10=0，求 x y 的值.已知 x2+y2+6x+8y+25=0,求 x2-y 2的值.已知：x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0 ,求：x+y+z 的值.5xy4.

21、已知：x2+y2+ 4 =2x+y,求：x y 的值.2_25 解方程(1 3x)(2x 1)13(x 1)(x 1)6 如果 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63 ，求 a+b 的值 .c2 ab bc ca 的值7 已知： a b 3,b c 4 ，求： a2 b2考点连接 题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用解方程：2x 1 2x 13 x 2 x 27x 1 x 1题型二：应用完全平方公式求值、八 ，ctm2 n2和m n 古设 m+n=1Q mn=24,求的值。1 28 12) 99 101 10001题型三：巧用乘法公式简算3 22 1 24计算： ( 1 ) 3 21

22、 2题型四：利用乘法公式证明对任意整数n,整式3n 1 3n 13 n 3 n是不是10的倍数？为什么?题型五：乘法公式在几何中的应用.一 一 2, 22已知 ABC的三边长a, b, c满足a b c ab bc ac 0 ,试判断 abc的形状。整式的除法.同底数哥的除法法则：同底数哥相除，底数，指数.即 产一？二amtl(aw0,m,n都是正整数，并且m n)零指数嘉：任何不等于0的数的0次嘉都等于 .即a0 1,其中要求a不能为。【经典例题】.3 0.100.y0 (y 0)30.x2 1 0 若 3x1 1，则*=.628885. x x(3). m m(4). ( b) ( b)53/3、3/23.2(5). (ab) ( ab)(6)( a )( a )?( a )2.若3m 5, 3n4 ,求 32m n2单项式除以单项式，把系数、同底数哥分别相除，作为商式的因式，对于只在被除式