第二篇积分变换1拉普拉斯变换

1、第二篇 积分变换内容要点拉普拉斯变换的概念拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的应用第2章 拉普拉斯变换1教学要求正确理解拉普拉斯变换的概念，知道拉氏变换的存在定理，会求一些常用函数的拉普拉斯变换，正确理解拉氏变换的线性、微分、积分、位移及延迟性质，了解初值定理与终值定理以及它们在计算拉氏变换中的应用。会用部分分式的方法及查表的方法求拉氏逆变换。掌握拉氏变换的卷积性质，会利用这一性质求一些函数的拉氏逆变换。会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分方程组。重点：拉普拉斯变换的概念、性质、应用。难点拉普拉斯变换存在定理的证明。22.1 拉普拉斯变换的概念 由上章可知，需进行傅氏变换的函数

2、应满足傅氏积分存在定理的两个条件，即(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件；(2)在无限区间 上绝对可积而傅氏变换存在两个缺点 缺点1：条件(2)过强在实际应用中，许多函数不能满足条件(2) 案例单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等，虽满足狄利克雷条件，但非绝对可积因此，对这些函数就不能进行古典意义下的傅氏变换尽管在上一节里，通过引入函数，在广义下对非绝对可积函数进行了傅氏变换，但函数使用很不方便.3 缺点2：进行傅氏变换的函数须在上 有定义 案例在物理、无线电技术、机械工程等实际应用中，许多以时间t为自变量的函数在t0时是无意义的或者是无需考虑的.因此，对这些函数也不能进行傅氏变换 由此可见，

3、傅氏变换的应用范围受到了极大的限制，必须引入一种新的变换 42.1.1 拉普拉斯积分 若时间函数 f(t) 在 t 0 有定义，则 f(t) 的拉普拉斯积分的含复参变量s的广义积分为 可以预见，上述积分是收敛的。复频函数复频率1. 拉普拉斯积分的概念5例2.1 求单位阶跃函数的拉普拉斯积分解积分在b+时，当且仅当Re(s) 0才有极限，因此6例2.2 求的拉普拉斯积分根据定义， 当时，该积分收敛，且 解（其中为任意复数）7例2.3 求正弦函数 的复频函数 解 则所以8同理可得9定理2.1 若函数f(t)满足:1, 在t 0的任一有限区间上分段连续2, 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数

4、函数, 即存在常数M 0及c0, 使得|f(t)| M ect, 0tc上一定存在, 右端的积分在Re(s)c1c上绝对收敛而且一致收敛, 并且在Re(s)c的半平面内, f(s)为解析函数.2. 拉普拉斯积分存在定理10MMectf(t)tO11证 由条件2可知, 对于任何t 值(0 t 0 (即b c +e =c1c), 则|f(t)e-st|Me-et.所以根据含参量广义积分的性质可知, 在Re(s) c1 c上拉氏变换的积分不仅绝对收敛而且一致收敛.12在下式的积分号内对s求导, 则由此可见, 上式右端的积分在半平面 Re(s) c1 c内也是绝对收敛且一致收敛, 从而微分与积分可以交

5、换13因此得这就表明, F(s)在Re(s) c内是可微的. 根据复变函数的解析函数理论可知, F(s)在Re(s) c内是解析的.14 G-函数(gamma函数)简介, 在工程中经常应用的G-函数定义为利用分部积分公式可证明15例2.4 求幂函数f(t)=tm (常数m-1)的拉氏积分为求此积分, 若令st =u, s为右半平面内任一复数, 则得到复数的积分变量u（u为复数）. 因此, 可先考虑积分16积分路线是OB直线段, B对应着sR=rRcosq+jrRsinq, A对应着rRcosq, 取一很小正数e, 则C对应se=recosq+jresinq, D对应recosq. 考察R, 的

6、情况.qaODCAt (实轴)虚轴Bv17根据柯西积分定理, 有-+=+=101de1suusCDBCABDAmDABCDummqaODCAt (实轴)虚轴Bv18qaODCAt (实轴)虚轴Bv0+-+-+-+=11coscos11)1(de1de1de1mttuusuusmtmmRrRrummDAummqqeGss19-+-+-+-+-=-=010111de1de1de1de1uusuusuusuusummRsRsummCBummBCummeeqaODCAt (实轴)虚轴Bv+=1)1(mm-Gs20qaODCAt (实轴)虚轴Bv=+-+-+sinjcoscos11de1de1qqqrR

7、rRrRummABummuusuus21+=+=-+-+-+|sin|0cos1sin0)jcos(1sinjcoscos1d|)jcos(e|1d)jcos(ejde1jdd,jcosqqqqqqqqqqrRmrRmrRmvrRmrRrRrRummvvrRsvvrRsuusvuvrRu令22+=+-+-+rRmrRmrRmrRmvvRrsvvrRsd)cos(e|1d|)jcos(e|1|sin|022222cos1|sin|0cos1qqqqqq23=+-+-+ABRRmmrRmmmrRmrRsrRsrRvrRv00dsec)cos(e|1dsec)cos(e|1dseccosd,tanc

8、os|021cos1|021cos12即上式令qqqqaaqaaqaaqaq24同理2526当令x = u2，我们有 这就得时27换成极坐标（，），其中最后这个积分变成所以得282017年5月2日星期二29 定义2.1 设函数 当 时有定义，且广义积分数为s的函数在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的参 (2-3)叫做函数的拉普拉斯变换，记作 函数 叫做 变换的像原函数2.1.2 拉普拉斯变换函数F(s)也可叫做 的像函数30例2.5 求函数的拉普拉斯变换因为 解（其中k为任意复数）所以 31采用同样的方法我们可得由前面的例题，我们可得拉普拉斯变换公式：32 例2.6 求狄立克雷函数 的拉氏变

9、换。 在具体求解运算之前，先把拉普拉斯变换中积分下限的问题加以澄清。 若函数f(t)满足拉普拉斯积分存在定理，在t=0处有界，此时积分中的下限取0+或0-不会影响其结果，但当f(t)在t=0处为函数，或包含了 函数时，拉氏积分的下限就必须明确指出是0+还是0-，因为称为0+系统，在电路上0+表示换路后的初始时刻；解33称为0-系统，在电路上0-表示换路后的初始时刻；可以证明，当f(t)在 t = 0 附近有界时，则即注意：当f(t)在t=0处包含一个函数时即34 为此，将进行拉氏变换的函数f(t)，当t 0时的定义扩大到当t 0及t = 0的任意一个领域。这样拉氏变换的定义应为为书写方便，该定

10、义仍写为原来的形式。即35解 先对 作拉氏变换的拉氏变换为用罗必达法则计算此极限，得所以 方法2：36同理 例2.7 求函数的拉普拉斯变换解注意L-的意思37注：拉氏变换中的像原函数在t0时，一律定义为f ( t )=0。这是因为拉氏变换只以区间0 t c0，c0为增长指数。要由上式积分求拉氏逆变换通常比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用留数方法来求之。45 设 除在半平面 内有限个孤立奇点 外是解析的，且当 时， ，则有即定理2.3证明略虚轴实轴46例2.8 求由定理解而为函数的两个一阶极点注意：不要遗忘 。47故例2.9 求函数的拉氏逆变换。解因为为二阶极点，为一阶极点，48所以4

11、9一般若其中和是不可约的多项式，的次数是n且大于的次数，在这种情况下满足定理的条件，也可采用求 的逆变换。501. 线性性质 若为任意常数，且 ，则证2.3 拉普拉斯变换的性质51根据逆变换的定义，不难证明第二式具体留给读者去证明 已知则同理例：例2 求 函数 的拉氏变换.解52求像原函数的部分分式法 在用拉氏变换解决工程技术中的应用问题时，经常遇到的像函数是有理分式一般可将其分解为部分分式之和，然后再利用拉氏变换表求出像原函数例1 求 的原函数。解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：53比较以上后两式的分子，可得：通过查表，可求得：参看教

12、材P270附录C 1，254 例2 求 的拉氏逆变换解 设用待定系数法求得 所以 则有 55例3 求 的拉氏逆变换 解 先将 分解为部分分式之和设用待定系数法，求得 参看教材P270附录C 1，2和像函数的位移性质56所以 于是 = =参看教材P270附录C 2、16、1557例4 求下列函数的拉氏逆变换： （1） ； （2） ； 解 （1）查表，取 可得（2）查表，取 可得 注意：582. 微分性质 性质2表明，一个函数求导后取拉氏变换，等于这个函数的拉氏变换乘以参数再减去这个函数的初值此性质可以推广到函数的n阶导数的情形 推论 若 ，则特别地，若 ，则若则（1） 像原函数的微分性质59（2

13、）像函数的微分性质证（1）根据拉氏变换的定义，得对等式右边利用分部积分法，得60所以同理以此类推，便可得61特别地，当f(t)含有脉冲函数(t)时（2）由于F(s)在Re(s)c0内解析，因而注意0右上角的负号62用同样的方法可求得利用像原函数的微分性质可以把关于f(t)的微分转为对F(s)代数运算。利用像函数的微分性质可以把求像函数的导数转为求像原函数乘以(-t)n的拉氏变换，亦可反过来求解问题。63例2.13 用微分性质求解 令 ，则即 移项并化简，即得64例1 求函数解 因为 同理, 所以,65例2.15 求函数 的拉氏逆变换。 解 由得 所以 查拉氏变换表得663.积分性质，则 证 设

14、 ，则 由微分定理，有 即 设（1）像原函数的积分性质67由可得一般地对应n重积分，我们有 由此，可以把关于像原函数的积分运算转化为对像函数的代数运算。68证 由拉氏变换的定义式出发，随后交换积分次序 （2） 像函数的积分性质69条件下是一致收敛的 上面交换积分次序的根据是 在满足 重复上述过程，可得 次70推论若令积分下限s=0，则 且积分收敛例2.16 求 解 因为 所以 顺便可得71例2.17 计算积分解 因为所以72本次习题P236 2.1.1 2.2.1 2.3.1734. 延迟性质若设为非负实数， ，时， ，则或 又当 证 由定义出发，随后令 ，可得 74利用0时，=0，积分下限可

15、改为零，故得 函数 与 相比，滞后了 个单位，若 表示时间，性质4表明，时间延迟了 个单位，相当于像函数乘以指数因子 ，如下图所示75解 由 及性质4可得例2.18 求函数的拉氏变换 76例2 已知 ，求 解 用阶跃函数表示 再利用线性定理及延迟定理，有77拉氏变换例3、求如由图所示的分段函数解 由u(ta) -u(tb) =得78解例2.19 求如右图所示阶梯函数f (t)的拉氏变换 。利用单位阶梯函数，可将这个函数表示为再利用线性性质和延迟性质可得79所以 应用延迟性质，我们还可以求周期函数的拉氏变换，即 设fT(t)(t0)是以T为周期的周期函数，如果 则说明 事实上在第k+1个周期内8

16、0 不妨设在tT上有f(t)=0，应用延迟性质得因此81解例2.20 求全波整流函数 f(t)=sint(t0)的拉氏变换 。由知82的拉氏逆变换例2.21 求函数解 因为由得知835. 位移性质，则有 其中是的增长指数证明 根据拉氏变换的定义若 该性质表明，一个函数乘以指数函数eat后的拉氏变换等于其像函数作位移a。84例5 求 解 令 =，则由 得 利用位移定理 ，即有 85例6 求 及 解 由平移性质及得 86例2.22 求 的拉氏逆变换解 由位移性质知87的拉氏变换例2.23 求函数解 由积分性质知由微分性质知88由位移性质知故89*6. 相似性质 设 ，则对于大于零的常数 C，有 证

17、 由定义出发，随后作变量代换 ，则 在实际中，常常希望改变时间的比例尺，或者将一个给定的时间函数标准化后再求它的拉氏变换，这时就要用到这个性质。90的拉氏变换例2.24 求函数解 依相似性质有依延迟性质有故917. 卷积与卷积定理定义 2.3 拉氏变换的卷积前一章我们学习了傅氏变换的卷积概念和性质，是 上绝对可积函数时，它们的卷积是 当如果当时，有则上式可写为，92因为在拉氏变换中总认为 时，因此把上式定义为拉氏变换的卷积恒为零，像函数 卷积满足交换律 卷积满足对加法的分配率 93例7 对函数计算 上的卷积 解94例2.25 设函数求解依卷积定义，有95 定理2.4 拉氏变换的卷积定理 或首先

18、由卷积定义及拉氏变换定义出发，随后交换积分次序，并作变量代换： 证96由于当时=0 ，第二个积分下限可写成零，再将 提出第二个积分号外，便有 97应用拉普拉斯变换法时经常要求解 ，若 能分解为 ，对上式作逆变换，即有 应用卷积定理，可以将复杂的卷积运算所表达的积分，改变成简单的代数乘法运算。故卷积定理常被用来将一些难于计算出的积分十分简单地加以证明。98例如在半无限长棒传导理论中占有重要地位的函数有而因此，由定理得不难推证，若则99的拉氏逆变换例2.26 求函数解 因为由卷积定理知100的拉氏逆变换例2.27 求函数解 因为由位移性质知故由卷积定理得101102的解。例2.28 求积分方程解

19、因为对积分方程两边同时实施拉氏变换得由卷积定理知故103*8. 初值定理和终值定理（1）初值定理则（2）终值定理设且存在设且存在则1042.4 拉普拉斯变换的应用 2.4.1线性微分方程及微分方程组 物理、力学以及工程上的许多问题，可以归结为求解微分方程的问题拉普拉斯变换解法主要借助于拉氏变换把常系数线性微分方程(组)转换成复变数的代数方程组根据代数方程求出像函数，然后再取逆变换即可求出原微分方程(组)的解方法简便、为工程技术人员所普遍采用下面通过例题来说明该方法的应用 例1 求方程 满足初始条件 解 设 y(t)Y(s)，对方程两边同取拉氏变换并考虑到初始条件，得的解1. 解常系数线性微分方

20、程初值问题105因此有 查表可得 这就是所求的解 例2 求方程 满足初始条件的解 解 设 y(t)Y(s)，对方程两边同取拉氏变换并考虑到初始条件，得到 y= t ,整理得 106这是含未知量Y(s)的代数方程，整理后解出Y(s)得： 取它的逆变换便可以得出所求函数y(t),故 振动问题是日常及工程技术中经常遇到的，例如机床主轴的振动，电路中的电磁振荡，减振弹簧的振动等等，一般可归结为微分方程的问题来讨论下面以无阻尼强迫振动为例说明其应用 107 例3.右图所示为一弹簧质量系统，在外力f(t)的作用下，物体在平衡位置开始运动，求其运动规律(设f(t)=(t)即一单位脉冲力)解 该系统的动力学微分方程为其初始条件为对方程两边取拉氏变换， 设y(t)Y(s)，f(t)F(s)， 并由初始条件，得到整理得 对方程两边取拉氏变换并代入初始条件得 108令 则 故 由此可知，在瞬时冲击力作用下，物体的运动为一正弦振动，振幅为 ，角频率为 (亦称固有频率) 2电路问题的拉普拉斯变换解法拉普拉斯变换可用在解电路问题中，下面考察RLC电路109 例4 在RLC电路中，串接直流电源E(下图所示)，求回路电流i(t)解 根据基尔霍夫定律，有其中 即而 将它