正弦余弦函数定义

1、关于正弦余弦函数的定义第一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月1. 掌握任意角的正弦、余弦函数的定义(重点)2.识记正弦、余弦函数每个象限的取值符号（重点）3.掌握正弦、余弦函数的计算与应用(难点)第二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月在Rt三角形中，锐角正弦、余弦函数是如何定义？对边邻边斜边（一）回顾旧知OMP第三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月XYP（x,y）M（二）、探究1-任意角的正弦、余弦函数定义讨论：sin 与cosr=1sin=cos=O纵坐标横坐标单位圆= = y= x= 第四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月xyOP(x,y)A(1,0)xyO

2、P(x,y)A(1,0)xyOP(x,y)A(1,0)思考：终边落在不同象限任意角sin、cos的值还是y,x值吗？sin= =ycos= =x第五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月一、任意角的正弦函数、余弦函数定义： 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：（1）y 叫做的正弦，记作sin， 即y=sin； （2）x 叫做的余弦，记作 cos，即x=cosOP(x,y)yxM第六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月探究2：正弦、余弦函数的取值符号 三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限+你有什么办法记住这些信息？ 纵坐标横坐标思考：当角的终边分别在第一、第二

3、、第三、第四象限时，角的正弦、余弦函数的正负号是什么？第七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月练一练判断下列各式的符号：（1）sin105.cos 230；（2）sina . cosa0,cos 2300 sin105.cos 2300 因为sina.cosa0,cosa0 或者sina 0 所以当sina0,cosa0，a 为第二象限角 当sina 0，a为第四象限角 第八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月探究3：入股已知角终边上一点P（x,y）,而这个点不是终边与单位圆的交点,它的三角函数定义还成立吗?自由探讨MQ(u,v)N解：取终边OP与单位圆交于一点Q（u,v）,过Q点

4、作QNON; 得到 OPM OQN因此有：OQ=QN=yMPOPv=sin =y1同理可证：y=cos余弦函数也成立xyOP(x,y)第九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月新知应用： 已知任意角 终边上有一点P（5,-12），求角的正弦函数值、余弦函数值.解 因为点P（5,-12） 在角的终边上， 所以 y=5, x=-12 可知r= =13 则sin= cos=-12第十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月思考：如何利用正弦、余弦定义进行各种计算？1.找出与圆相交的点的坐标值P（x,y）2.算出原点与交点之间的距离r=3.利用正弦余弦定义代值计算： sin= cos= 4.得到

5、正弦、余弦函数yx第十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月变式题1-能力提升已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若点P（4,y）是角终边上的一点，且sin = 则y= ( )A.-8 B.-4 C.+8 D.+ 4第十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月这一课你学到了什么？1.正弦函数、余弦函数是如何定义的？2.正弦余弦函数的在象限里的取值符号如何？3.如何通过定义去应用计算？课后作业：课本P17页，练习2.3.4.5 要求：写在课本上第十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例2：在直角坐标系的单位圆中，(1) 画出角 (2) 求出角的终边与单位圆的交点坐标；（

6、三）定义应用 例24a=4a=解：（1）如图所示，以原点为角的订单，以x轴的正半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交于点P，a=MOP= ， 即为所求角。44第十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月（2）设角a的终边与单位圆交于点P(u,v)由于 ，点P的坐标在第四象限，则4a=u=cos( )=4v=sin( ) =422所以点P的坐标为（ ，- ）22第十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月变式题2：已知角a的终边过点P（12,a）且tana=5/12,求sina+cosa的值。解析：根据三角函数定义， tan=a/12=5/12所以 =5, P(12,5) ,这时 r=13

7、所以 sina =5/13,cosa =12/13.从而 sina+cosa=17/13第十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月探究1-直角坐标系中的任意角呢？x(1,0)OP(u,v)yx如图,在直角坐标系中，作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆（该圆称为单位圆），设任意角为，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)。讨论：任意角的sin 与cos函数值又是什么？M（二）、第十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月探究1-直角坐标系中的任意角呢？x(1,0)OP(u,v)yx如图,在直角坐标系中，作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆（该圆称为单位圆），设

8、任意角为，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)。讨论：任意角的sin 与cos函数值又是什么？M（二）、第十八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月x(1,0)OP(u,v)yMxxyOP(u,v)A(1,0)对于给定的角，点P的横、纵坐标都是唯一确定的，所以，正弦、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数。问题3：对于给定的角a,点P的横、纵坐标都是唯一的，那么正、余函数又是一个什么函数呢？如果我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，则得到任意角的正弦函数y=sinx ;余弦函数y=cosx。 第十九张，PPT共三十六页，创作于2022年6

9、月问题4： 上述定义中，正、余弦函数的定义域与值域在分别是什么？因为： x表示任意角的大小，所以定义域为：全体实数R； 而在单位圆中显然y1,1，故值域为：1,1y=sinxy=cosx第二十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月得出结论： 正弦、余弦函数是以角度为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数的函数。又因为角的集合之间可以建立一一对应关系，故它们也看成以实数为自变量的函数。第二十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 在给定的单位圆中，对于任意角（正角、负角）的三角函数定义都成立，那么对于零角，它是否还成立？xyOP(u,v)A(1,0)问题讨论：成立第二十二张，P

10、PT共三十六页，创作于2022年6月 设是一个任意的象限角，那么当在第一、二、三、四象限时，sin的取值符号分别如何？cos的取值符号分别如何？（三）第二十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月变式题1： 已知角 终边上一点P 求角的正弦函数值、余弦函数值.解 因为点P 在角的终边上， 所以 可知 则sin= cos=第二十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月以原点O为圆心，以单位长度(r=1)为半径的圆叫作单位圆x(1,0)OP(u,v)yMx当点P(u,v)就是 的终边与单位圆的交点时,坐标系内锐角三角函数会有什么结果？由三角形相似知识可知,比值 与点P(u,v) 在终边上的

11、位置无关,只与角 有关.第二十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.函数定义域角(弧度数) 实数一一对应三角函数可以看成是自变量为实数的函数第二十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月从象限出发来记忆：（sin a,cos a）“一正正，二正负，三负负，四负正“记忆法则：课堂练习-巩固提升1.判断下列各式的符号：（1）sin 105.cos230（2）cos3.tan(-2/3 )(1) (2) 第二十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月010-1010-101 在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角

12、，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表 观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗？（五）拓展延伸第二十八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 观察右图，在单位圆中，由任意角的正弦函数、余弦函数定义不难得到:终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin(x+2k) =sinx, k z 终边相同的角的余弦值相等，即 cos(x+2k) =cosx, k z 第二十九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加 2 的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正弦函数值、余弦

13、函数值均是随角的变化呈周期性变化的.我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数.第三十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 正弦函数、余弦函数是周期函数，称 2k(k z,k0)为正弦函数、余弦函数的周期. 例如，-4,-2,2,4等都是它们的周期.其中 2 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期.第三十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T ，对定义域内的任意一个x值，都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.二、周期函数第三十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月判断分析：若函数y=sinx是周期函数，且f(/4+/2)=f(/2),为什么/2不是它的周期？第三十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解析：根据周期函数的定义:对定义域内的任意