2015秋仁爱集合论自然数-基数序数

1、 第四章 自然数什么是自然数？ 自然数是人类最基本的数学观念之一西方阿拉伯数字： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9标准阿拉伯文： 中文数字： 零， 一， 二，三，四，五，六，七，八，九罗马数字： 梵文数字： 玛雅数字：自然数的概念自然数原本是一个原始（原子）概念。作为现代数学的基础，集合论将自然数这一数学中最基本的概念纳入到其描述体系当中。自然数的本质本质上看，自然数是用来和现实事物一一对应的一组符号，它有两个主要作用：计数和排序，在形式化理论中分别对应了基数理论和序数理论。从本质上看，所谓自然数，其实是满足下列特性的一列符号： (1) 它们中有一个为首的符号； (2)

2、 每个符号都有且仅有一个直接的后继符号； (3) 为首的符号不是任何符号的直接后继；(4) 没有两个符号具有相同的直接后继；(5) 自然数仅指这列符号中的符号。 自然数的本质及公理化定义（集合论）皮亚诺（G. Peano，1858 年 1932 年）用 5 条皮亚诺公理刻画自然数概念： (1) 它们中有一个为首的符号； e M (2) 每个符号都有且仅有一个直接的后继符号，且没有两个符号具有相同的直接后继； F为后继函数，F是单射的 (3) 为首的符号不是任何符号的直接后继； e ran F(4) 这个序列的任何一部分不能够完成这个序列的全部功能； 若AM，e A ，若A对F是封闭的，则 A=

3、M(5) 自然数仅指这列符号中的符号。 M在F下是封闭的自然数的本质及公理化定义（集合论）皮亚诺（G. Peano，1858 年 1932 年）用 5 条皮亚诺公理刻画自然数概念： e M F为后继函数，F是单射的 e ran F 若AM，e A ，A对F是封闭的，则 A=M M在F下是封闭的 满足以上条件按的 称为一个皮亚诺系统 （定义4.1）两个关键问题后继函数F和种子e 称 A 为集合 A 的直接后继，如果 A AA 例 4.1 空集的后继序列与一般集合的后继序列有何不同？ 空集的后继序列中，每一个集合都以前面所有的集合为元素。换句话说，每一个集合都可视为前面所有集合的一个“累积”。因此

4、可以利用空集的后继序列来完成自然数的集合论描述。自然数的集合论描述0 = 1 = 0+ = 0 = 2 = 1+ = 0, 1 = , 3 = 2+ = 0, 1, 2 = , , , N = (n-1)+ = 0, 1, 2, , n-1 自然数的集合论描述自然数的第5公设是数学归纳法的基础。（P72上半部分）即：S是依赖于自然数的一个命题，若该命题对0成立，且当该命题对n成立时，则对n+1也成立。那么S对所有自然数都成立。自然数的集合论描述自然数是种子为，函数为后继的特殊皮亚诺系统其他的所有皮亚诺系统都可以与自然数相对应，这一特点称之为自然数上的递归定理（定理4.8） 第五章 基数希尔伯特

5、大旅馆悖论假设有一个拥有无限多个房间的旅馆，且所有的房间均已客满。如果又来了一个新客人，你能让他住进来吗？如果来了无穷多个新客人，你还能让他住进来吗？希尔伯特大旅馆悖论由于希尔伯特的这一悖论违反了我们的直觉，因而经常被用于反对实无穷的存在，如美国哲学家威廉莱恩柯莱格（William Lane Craig）就曾这样来证明上帝的存在：“ 尽管在数学上这种旅馆（或任何无限的事物）并非是不可能的，但从直觉上这样的事物永远不可能存在，不仅如此，任何实无穷都不可能存在。如果一个时间序列能够无限地回退到过去那就会建立起一个实无穷，既然实无穷不存在，那时间就必然有个“起点”。每个事物都有其发生的原因，而时间起

6、始的原因不可能是其他事物，只能是上帝。”希尔伯特大旅馆悖论 在无穷集合的世界中，集合的大小，或者说集合的元素的个数是一个全新的问题。集合元素个数相等：“等势” P81 定义5.1给定两个集合A，B。若A和B之间存在双射函数（一一对应），则称A和B的势相等，记做A B例 5.1 集合的“等势”Z Nf = Z N集合的“等势”NN Nn = 2 (为奇数)n = 2 - 1 = 2 (2+1) - 1 集合的“等势”N Q集合的“等势”(0,1) R集合的“等势”定理 5.2， 5.3定理 5.4 康托尔定理 (1) N R (2) A P(A) 0 0. a01, a02, a03, a04, 1 0. a11, a12, a13, a14, 2 0. a21, a22, a23, a24, 3 0. a31, a32, a33, a34, 4 0. a41, a42, a43, a44, X = 0. b1, b2, b3, b4b1 a01b2 a12b3 a23b4 a44有穷集与无穷集 P83 定义5.2与某个自然数n等势的集合为有穷集，否则为无穷集集合元素的个数：基数 P83 定义5.2集合A的基数（元素个数）用cardA表示（1） card A = card B A B（2） 对于有穷集合，其基数为与之等势的自然数 card A = n