随机变量的数字特征

1、 例 检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只, 测得使用寿命(单位：小时)如下: A: 2000 1000; B: 1500 1500 1000 1000 1000; 试比较这两批灯泡质量的好坏.计算得: 平均寿命分别为:A:1200, B:1200, 观察得: A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小,所以,B产品质量较好.数学期望方差随机变量的数字特征某商场准备搞一场促销活动 .统计资料表明,若在商场内搞活动,可获经济效益3万元;在商场外搞活动,不遇到雨天可获经济效益12万元,雨天则带来经济损失5万元.若设在商场外搞促销活动获经济效益为随机变量X,其概率分布为P(X=12)=0.6,

2、P(X=-5)=0.4商场外搞促销活动的平均经济效益为120.6-50.4=5.2万元平均效益的计算方法就是离散型随机变量数学期望的计算方法.一、数学期望定义 设离散型随机变量X的概率分布为P(X=xn)=pn,n=1,2,.,若级数 绝对收敛,则称该级数为X的数学期望,记为EX=若非绝对收敛,即级数发散,则称X的数学期望不存在.例如X -1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3则EX=-10.2+00.1+10.4+20.3=0.8注意 数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均. 1、 离散型随机变量的数学期望计算可得若X服从参数为p的0-1分布,则EX=p;若XB(n,

3、p),则EX=np;若X服从参数为的泊松分布,则EX= .例1. 某种产品的每件表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有0.8个疵点.规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元;疵点数大于1个不多于4个为二等品,价值8元;疵点数超过4个为废品,求(1)产品废品率;(2)产品价值的平均值.解 (1) 设X表示每件产品上的疵点数,则X服从=0.8的泊松分布,EX=0.8,产品的废品率为 (2) 设产品的价值为随机变量Y,则Y的概率分布为Y 10 8 0P P(X1) P(14) EY=10P(X1)+8P(14)= 9.61元例2. 某电子元件使用寿命X使用寿命在500小时以下为废品,产值0元;50

4、0到1000小时之间为次品,产值10元;1000到1500小时之间为二等品,产值30元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求产品的平均产值.解 设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40,P(Y=0)=P(X500)=1-e-0.5P(Y=10)=P(500X1000)=e-0.5-e-1类似可得:P(Y=30)=e-1-e-1.5 , P(Y=40)=e-1.5EY=0 (1-e-0.5)+10 (e-0.5-e-1 )+30( e-1-e-1.5 )+40 e-1.5=15.65(元)定义 设X是连续型随机变量,Xf(x),若绝对收敛,则称该积分为X的数学期望,记为:EX= 例3.

5、若X服从a,b区间上的均匀分布,求EX.所以EX=解 否则称X的数学期望不存在.2、连续型随机变量的数学期望例4. 设随机变量X服从参数为的指数分布,求EX.解 X的概率密度函数为所以,EX=类似计算可得: 若XN(,2), 则EX= . 例5. 设随机变量Xf(x),EX=7/12,且求a与b的值,并求分布函数F(x).解 解方程组得 a=1,b=1/2当x0时,F(x)=0;当0 x0有证明 (连续型)所以其等价形式为例12. 设X用切比雪夫不等式证明证明EX=n+1EX2=(n+1)(n+2)所以,DX=EX2-(EX)2=n+1这里,=n+1例10. 设证明 两边对x求导,令一阶导数等

6、于0,得 解得 x=EX 又因为所以 x=EX时f(x)有最小值,最小值为 f(EX)=E(X-EX)2=DX1. 已知随机变量X服从二项分布,且E(X)= 2.4, D(X)=1.44, 则二项分布的参数n,p的值为（ ） n=4,p=0.6 n=6, p=0.4 n=8,p=0.3 n=24,p=0.12. 设X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望E(X2)=( ) 18.4课堂练习求EX和DX.3. 设X的密度函数为所以, EX=1,DX=2=1/2解 3.4. 设X是一随机变量，E(X)=，D(X)=2(,0常数)，则对任意常数C，必有（

7、 ）。解E(X-C)2=EX2-2CX+C2=EX2-E(2CX)+C2=EX2-2C E( X)+C2=(EX)2+DX -2C E( X)+C2=2+ 2-2C+C2= 2+(-C)2而E(X-)2=E(X-EX)2=DX=2所以,(4)正确.5. 设求 Z= 1/Y 的数学期望E（Z）.解 EZ=E(1/Y)=EZ6. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿灯的路口,每个信号灯为红或 绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿 两种信号显示的时间相等.以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数.求X的概率分布与E1/(1+X）.解 X的取值为0,1,2,3P(X=0)=1/2P(X=1)=1/21/2=1/4P(X=2)=1/21/21/2=1/8P(X=2)=1/21/21/2=1/8X的概率分布为X 0 1 2 3P 1/2 1/4 1/8 1/8(2)E1/(X+1)=11/2+1/21/4+1/31/8+1/41/8=67/967. 设X与Y同分布，X的概率密度为 已知事件 A=X和 B=Y独立,且P(A+B)=3/4.求常数； 求E(1/X2).解 (1)由已知得:P(A)=P(B),A,B独立,所以,P(A+B)=P(A)+P(