2022年《数学归纳法》教学设计

1、数学归纳法【教材分析 】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制一般高级中学教科书数学 选修 2-2 其次章第 3 节的内容,依据课标要求,本书该节共 2 课时,这是第一课时,其主要内容是数学归纳法的原理及其应用；2、位置作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上,介绍了数学归 教材通过剖析生活 纳法,它是一种用于关于正整数命题的直接证法；实例中包蕴的思维过程揭示数学思想方法,即借助“ 多米诺骨牌” 的 设计思想,揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系；【教学目标 】1、学问与技能：（1）明白归纳法,懂得数学归纳法的原理与实质,把握数学归纳法 证题的两个步骤；（2）会证明简洁的与正整数有关的命

2、题；2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境, 使同学处于积极摸索, 大胆质疑的氛 围,提高同学学习爱好和课堂效率,让同学经受学问的构建过程,体 会类比的数学思想；3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学,使同学领会数学思想和辩证唯物主义观点,激发同学学习热忱,提高同学数学学习的爱好,培育同学大胆猜想,当心求证的辩证思维素养, 以及发觉问题、 提出问题的看法和数学交 流才能；【教学 重点】借助详细实例明白数学归纳法的基本思想,把握它的基本步骤,运用它证明一些简洁的与正整数 题；【教学难点 】n（n 取无限多个值）有关的数学命（1）同学不易懂得数学归纳法的思想实质,详细表现在不明白其次 个步骤的作

3、用,不易依据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时,在“ 归纳递推” 的步骤中发觉详细问题的 递推关系；【教学方法 】运用类比启示探究的数学方法进行教学；【教学手段 】借助多媒体出现多米诺骨牌等生活素材帮助课堂教学；【教学程序 】第一阶段：创设问题情境,启动同学思维221情境1、法国,数学家费马观察到：25722416553715 ,22117,2231归纳猜想：任何形如22 n1（nN ）的数都是质数,这就是著名的费马猜想；半 个 世 纪 以 后 , 数 学 家 欧 拉 发 现 , 第5个 费 马 数F 522516416700417不是质数 , 从而推翻了费马的猜想；“ 不完全归纳有时是

4、错误的”（培育同学大胆猜想的意识和数学概括才能概括才能是思维能力的核心鲁宾斯坦指出： 思维都是在概括中完成的 心理学认为“ 迁移就是概括” ,这里学问、技能、思维方法、数学原理的迁移,我找的突破口就是同学的概括过程 ）情境 2 、数列 a n已知 a 1 ,1 a n 1 a n n N * , 通过对 n ,1 2 3, , 4 前 41 a n项归纳,猜想 a n 1 可以让同学通过数列的学问加以验证“ 不n完全归纳有时是正确的”；通过对上述两个情形的探究可以发觉用“ 不完全归纳法”得到的结论不肯定牢靠；为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法,从而引入本节课的新课内容一数学归纳法

5、；其次阶段：搜寻生活实例,激发学习爱好1、“ 多米诺骨牌” 嬉戏动画演示：探究“ 多米诺骨牌” 全部倒下的条件引导同学摸索并分析“ 多米诺骨牌” 全部倒下的两个条件；第一块骨牌倒下；任意相邻的两块骨牌,前一块倒下肯定导致后一块倒下；强调条件的作用： 是一种递推关系（第 k 块倒下,使第 k+1 块倒下）；2、类比“ 多米诺骨牌”的原理来验证情境2 中对于通项公式a n1 的 n猜想；“ 多米诺骨牌” 原理第一块骨牌倒下；aa k如第 k 块倒下,就使得第k+1 块倒下验证猜想 假如nk时,猜想成立；即a k1 ,就 kn1验证猜想成立当nk1时,ak1111k1k11即nk1时猜想成立kk3、

6、引导同学概括 , 形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：1 证明当 n 取第一个值n 时结论正确；（归纳奠基）2 假设当 nk kN ,kn 时结论正确 , 证明当 nk1 时结论也正确（归纳递推）完成这两个步骤后 , 就可以肯定命题对从 都正确这种证明方法叫做数学归纳法n 开头的全部正整数 n第三阶段：巩固认知结构,充实认知过程例1. 用数学归纳法证明2 12232n2nn1 2 n1 6证明：（1）当 n=1 时,左边121,右边111 211 ,等式成立；6（2）假设当 n=k 时,等式成立,即122232k2kk1 2k1 6就当 n=k+1时,左边 =1 2223 3k

7、2k12k1 k2 k1 6k1 kk1 2 k1 k1 21661k1 2k27k61k1 k1 12 k1 166=右边由（1）、（2）可知, nN 时,等式成立；师生共同总结：1、数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,的问题；它适用于与自然数有关 2 、两个步骤、一个结论缺一不行,否就结论不能成立；3、在证明递推步骤时,必需使用归纳假设 ,进行恒等变换；4、完成第 1 、2）步骤的证明后,要对命题成立进行总结；练习： 用数学归纳法证明等式成立；探究 : 已知数列114,417,71,3 n213 n1 ,10设Sn为数列前 n项和,运算 S1, S 2 ,S3 ,S4, 依据运算结果,猜想

8、Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明；解: 可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数一样,分母可用项数 n表示为 3n+1,可以猜想Snn13n证明过程由同学自主完成；【课堂小结 】（1）数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题；（2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：1 验证 n=n0（n0为命题答应的最小正整数）时,命题成立2 假设 n=k（kn0）时命题成立,证明n=k+1 时命题成立,由 1 和 2 对任意的 nn0, n N* 命题成立；（3）本节课通过从“ 多米诺骨牌” 讲起,借助这个嬉戏的设计理念,揭示了数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系；（4）本节课使用数学归纳法只证明白与正整数有关的等式成立的问 题,在以后的学习中, 我们将会遇到使用数学归纳法证明与正整数有 关的不等式及几何问题, 也会遇到 n0的取值不是 1 的情形；在下一节 课我们仍将通过详细的例子使同学们明白为什么在使用数学归纳法 证明时两个步骤缺一不行；【作业 】1. 习题 2.3 A 组 1.2.3 2. 摸索：平面内有 n 条直线,其中任意两条不平行,任意三条不共 点,设 fn 为 n 条直线的交点个数,求证：证明： 1 n=1时,f 1=1 等式成立fk1kk1 成立 2 假设 n=k 时, 等式成立即2那么当 n=k+1时,依据（ 1）和（ 2）,可知等式对任何【