高考数学选填静电题型汇编：题型51 多次使用基本不等式

1、题型51 多次使用基本不等式【方法点拨】多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.这是可多次使用基本不等式的先决条件，其目的是保证等号能同时成立.【典型题示例】例1 （2021全国高考天津卷13）若，则的最小值为_【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【解析】，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.例2 已知且，则的最小值是_.【答案】24【解析】由于，故考虑先求出的最小值，.点评：（1）“多元问题一般应减元”，这是解决多元问题的基本思路.本题中，虽然已

2、知中含有三个变量，但其地位是不同的，这里有约束条件，而变量除了“”外，没有其它的任何约束条件，系“单身狗”，故应将其分为一组-其目的是“孤立单身狗”，求出其最小值，再使用基本不等式，而两次使用基本不等式的条件没有关联；（2）在求的最小值时，观察式子的结构特征，使用了“1”的代换，其目的仍在于“化齐次”.例3 设，则 的最小值为 .【答案】【分析】所求变形为.三次使用基本不等式，第一次，在条件下，求最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件下，求最小值，为达到消的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立

3、，从而最小值能够取得.【解析】由题x+4y=1(x0，y0)， eq f(x2+y,xy)= eq f(x2+(x+4y)y,xy)= eq f(x,y)+1+ eq f(4y,x)4+1=5，当且仅当x= eq f(1,3)，y= eq f(1,6)时，“=”成立因为0ts，则 eq f(1,tst2)= eq f(4,s2(s2t)2) eq f(4,s2)，当且仅当s=2t时，“=”成立于是 eq f(x2s2+ys2,xy)+ eq f(1,tst2)5s2+ eq f(4,s2)4 eq r(5)，当且仅当x= eq f(1,3)，y= eq f(1,6)，s= eq f(2r(5)

4、,5)，t= eq f(r(5),5)时，“=”成立所以 eq f(x2s2+ys2,xy)+ eq f(1,tst2)的最小值为4 eq r(5)例4 已知a0，b0，c2，且ab2，那么eq f(ac,b)eq f(c,ab)eq f(c,2)eq f(r(5),c2)的最小值为_【答案】eq r(10)eq r(5)【分析】a、b间有制约条件“ab2”，“c”为独立变量，故将所求变形为eq f(ac,b)eq f(c,ab)eq f(c,2)eq f(r(5),c2)ceq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)f(1,ab)f(1,2)eq f(r(5),c2)，先求出eq

5、f(a,b)eq f(1,ab)的最小值即可.【解析】因为a0，b0，所以eq f(a,b)eq f(1,ab)eq f(1,2)eq f(a,b)eq f(ab2,4ab)eq f(1,2)eq f(a,b)eq f(a22abb2,4ab)eq f(1,2)eq f(5a,4b)eq f(b,4a)eq f(r(5),2)，当且仅当beq r(5)a时等号成立又因为c2，由不等式的性质可得eq f(ac,b)eq f(c,ab)eq f(c,2)eq f(r(5),c2)ceq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)f(1,ab)f(1,2)eq f(r(5),c2)eq f(r

6、(5),2)ceq f(r(5),c2).又因为eq f(r(5),2)ceq f(r(5),c2)eq f(r(5),2)(c2)eq f(r(5),c2)eq r(5)eq r(10)eq r(5)，当且仅当c2eq r(2)时等号成立，所以eq f(ac,b)eq f(c,ab)eq f(c,2)eq f(r(5),c2)的最小值为eq r(10)eq r(5).点评：本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式.【巩固训练】1.已知x0，y0，则的最小值为 2.已知，则的最小值为 3.已知，且，则的最小值为 4.设正实数，满足

7、，则实数的最小值为5.已知正数满足，则的最小值为 6. 若，则的最小值为 7.已知正数a,b满足aba+2b1，则a+12+b+22的最小值是 【答案与提示】1.【答案】【解析】所求变形为y0 ，当且仅当时，等号成立，x0，当且仅当时，等号成立，的最小值为，当且仅当，成立2.【答案】【解析】，当且仅当时，等号成立，当且仅当时，等号成立， 的最小值为，当且仅当，成立3. 【答案】【解析】先减元令，在（0,1）上递减，在（1，）上递增，所以，f（1）2当y时，有最小值：所以的最小值为2.4.【答案】【解析】由正实数，满足，化为，为求的最小值，将含“”项用“”的函数表示得：（当且仅当，“=”成立），解得实数的最小值为5.【答案】 【解析】将已知条件视为关于的一元二次方程，利用解方程分离元来实施减元.由解得，当且仅当时，取等.6. 【答案】10【提示】，再利用导数知识解决.7.【答案】22+122【解析】由平方均值不等式得a+12+b+222a+1+b+22，当且仅当a=b+1时，“=”成立由aba+2b1变形得2a