高中数学必须第二册（苏教版）课后习题第九章平面向量：第9章测评

1、高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案，成套的课件，成套的试题，成套的微专题 期待你的加入与分享高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案，成套的课件，成套的试题，成套的微专题 期待你的加入与分享第9章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若OA=(-1,2),OB=(1,-1),则AB等于()A.(-2,3)B.(0,1)C.(-1,2)D.(2,-3)答案D解析因为OA=(-1,2),OB=(1,-1),所以AB=OB-

2、OA=(1+1,-1-2)=(2,-3).2.设e1,e2为基底向量,已知向量AB=e1-ke2,CB=2e1-e2,CD=3e1-3e2,若A,B,D三点共线,则实数k的值是()A.2B.-3C.-2D.3答案A解析易知DB=CB-CD=-e1+2e2=-(e1-2e2),又A,B,D三点共线,则DBAB,所以k=2.3.已知A(2,-3),AB=(3,-2),则点B和线段AB的中点M的坐标分别为()A.B(5,-5),M(0,0)B.B(5,-5),M72,-4C.B(1,1),M(0,0)D.B(1,1),M72,-4答案B解析设B(x,y),则AB=(x-2,y+3)=(3,-2),所

3、以x-2=3,y+3=-2,解得x=5,y=-5.即B(5,-5),所以AB中点M72,-4.4.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a等于()A.-1B.0C.1D.2答案C解析因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),则(2a+b)a=11+0(-1)=1.5.已知向量a=32,sin ,b=sin ,16,若ab,则锐角为()A.30B.60C.45D.75答案A解析ab,sin2=3216=14,sin =12.又为锐角,sin =12,=30.6.若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(a-b)(3a+2b

4、),则a与b的夹角为()A.2B.4C.3D.6答案B解析由(a-b)(3a+2b),得(a-b)(3a+2b)=0,即3a2-ab-2b2=0.|a|=223|b|,设a与b的夹角为,3|a|2-|a|b|cos -2|b|2=0,83|b|2-223|b|2cos -2|b|2=0,cos =22.又0,=4.7.在ABC中,P是AB上一点,且CP=23CA+13CB,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M.若CM=tCP,则实数t的值为()A.12B.23C.45D.34答案D解析因为A,M,Q三点共线,所以可设AM=AQ(R).又因为CM=tCP=t23CA+13CB=23tCA+13t

5、CB,所以AM=CM-CA=23t-1CA+13tCB,AQ=CQ-CA=12CB-CA.将它们代入AM=AQ,得23t-1CA+13tCB=12CB-CA.由于CA,CB不共线,所以23t-1=-,13t=12,解得t=34,=12.8.已知点O是ABC内一点,满足OA+2OB=mOC,SAOBSABC=47,则实数m为()A.2B.-2C.4D.-4答案D解析由OA+2OB=mOC得13OA+23OB=m3OC,设m3OC=OD,则13OA+23OB=OD,A,B,D三点共线.如图所示,OC与OD反向共线,|OD|CD|=mm-3,SAOBSABC=|OD|CD|=mm-3=47,解得m=

6、-4.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列式子可以化简为PQ的是()A.AB+(PA+BQ)B.(AB+PC)+(BA-QC)C.QC+CQ-QPD.PA+AB-BQ答案ABC解析A项中,AB+(PA+BQ)=(AB+BQ)-AP=AQ-AP=PQ;B项中,(AB+PC)+(BA-QC)=(AB-AB)+(PC+CQ)=PQ;C项中,QC+CQ-QP=-QP=PQ;D项中,PA+AB-BQ=PB-BQPQ.10.定义两个非零平面向量的一种新运算a*b=|a|b|sin,其中表示a,

7、b的夹角,则对于两个非零平面向量a,b,下列结论一定成立的有()A.a在b上的投影向量为asinB.(a*b)2+(ab)2=|a|2|b|2C.(a*b)=(a)*bD.若a*b=0,则a与b平行答案BD解析由投影向量的定义可知,A显然不成立;(a*b)2+(ab)2=|a|2|b|2sin2+|a|2|b|2cos2=|a|2|b|2,故B成立;(a*b)=|a|b|sin,(a)*b=|a|b|sin,当0时不成立,故C不成立;由a*b=0,得sin=0,即两向量平行,故D成立.11.设点M是ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若AM=12AB+12AC,则点M是边BC的中点

8、B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上C.若AM=-BM-CM,则点M是ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,则MBC的面积是ABC面积的12答案ACD解析A项,AM=12AB+12AC12AM-12AB=12AC-12AM,即BM=MC,则点M是边BC的中点,所以A正确;B项,AM=2AB-ACAM-AB=AB-AC,即BM=CB,则点M在边CB的延长线上,所以B错误;C项,如图,设BC的中点为D,则AM=-BM-CM=MB+MC=2MD,所以C正确;D项,AM=xAB+yAC,且x+y=122AM=2xAB+2yAC,2x+2y=1,设AD=2AM,所以AD=

9、2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以MBC的面积是ABC面积的12,所以D正确.12.若a,b,c均为单位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)0,则|a+b-c|的值可能为()A.2-1B.1C.2D.2答案AB解析因为a,b,c均为单位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)0,所以ab-c(a+b)+c20,所以c(a+b)1,所以|a+b-c|=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc=3-2c(a+b)3-2=1,所以选项C,D不正确,故选AB.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若三点A(2,2),B(m,0),C(0,

10、n)(mn0)共线,则1m+1n的值为.答案12解析AB=(m-2,-2),AC=(-2,n-2),依题意,有(m-2)(n-2)-4=0,即mn-2m-2n=0,又mn0,所以1m+1n=12.14.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力,则合力的坐标为.答案41(5,4)解析F1=(2,3),F2=(3,1),所以合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),所以合力的大小为52+42=41(N).15.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)b,c(a+b),则c=.答案-79,-73解析设c=(x,y),则c

11、+a=(x+1,y+2).又(c+a)b,2(y+2)+3(x+1)=0.又c(a+b),a+b=(3,-1),3x-y=0.联立解得x=-79,y=-73.16.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(PA+PB)PC的最小值是.答案-12解析因为点O是AB的中点,所以PA+PB=2PO,设|PC|=x,则|PO|=1-x(0 x1),所以(PA+PB)PC=2POPC=-2x(1-x)=2x-122-12.所以当x=12时,(PA+PB)PC取到最小值-12.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

12、步骤.17.(10分)已知两个非零向量a和b不共线,OA=2a-3b,OB=a+2b,OC=ka+12b,kR.(1)若2OA-3OB+OC=0,求k的值;(2)若A,B,C三点共线,求k的值.解(1)2OA-3OB+OC=0,2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0.a0,k+1=0,k=-1.(2)A,B,C三点共线,BC=AB,R,OC-OB=(OB-OA),(k-1)a+10b=-a+5b.a,b不共线,k-1=-,10=5,解得k=-1.18.(12分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|b|=25,且ab,求b的坐标;(2)若

13、|c|=10,且2a+c与4a-3c垂直,求a与c的夹角.解(1)设b=(x,y),因为ab,所以y=2x.又因为|b|=25,所以x2+y2=20.由联立,解得b=(2,4)或b=(-2,-4).(2)由已知(2a+c)(4a-3c),得(2a+c)(4a-3c)=8a2-3c2-2ac=0,由|a|=5,|c|=10,解得ac=5,所以cos =ac|a|c|=22,0,所以a与c的夹角=4.19.(12分)如图所示,在ABC中,AQ=QC,AR=13AB,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P.(1)用AB和AC分别表示BQ和CR;(2)如果AI=AB+BQ=AC+CR,求实

14、数和的值;(3)在(2)的条件下,确定点P在边BC上的位置.解(1)由AQ=12AC,可得BQ=BA+AQ=-AB+12AC.AR=13AB,CR=CA+AR=-AC+13AB.(2)将BQ=-AB+12AC,CR=-AC+13AB代入AI=AB+BQ=AC+CR,则有AI=AB+-AB+12AC=AC+-AC+13AB,即AI=(1-)AB+12AC=13AB+(1-)AC.AB与AC不共线,1-=13,12=1-,解得=45,=35.(3)设BP=mBC,AP=nAI.由(2)知AI=15AB+25AC,BP=AP-AB=nAI-AB=n15AB+25AC-AB=2n5AC+n5-1AB=

15、mBC=mAC-mAB,mR,nR.AB与AC不共线,-m=n5-1,m=2n5,解得m=23,n=53,BP=23BC,即BPPC=2,点P是BC的三等分点且靠近点C处.20.(12分)已知在ABC中,C是直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上一点,且AE=2EB,求证:ADCE.证明以C为坐标原点,以CA,CB所在的直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,a),E(x,y).D是BC的中点,D0,a2.又AE=2EB,即(x-a,y)=2(-x,a-y),x-a=-2x,y=2a-2y,解得x=a3,y=2a3,即Ea3,2a3.AD=0,a2-(

16、a,0)=-a,a2,CE=OE=a3,23a,ADCE=-aa3+23aa2=-13a2+13a2=0.ADCE,即ADCE.21.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cos ,t).(1)若aAB,且|AB|=5|OA|,求向量OB的坐标;(2)若aAB,求y=cos2-cos +t2的最小值.解(1)AB=(cos -1,t),aAB,2t-cos +1=0.cos -1=2t.|AB|=5|OA|,(cos -1)2+t2=5.由,得t2=1,t=1.当t=1时,cos =3(舍去),当t=-1时,cos =-1,B(-1,-1),OB=(-1,-1).(2)由(1)可知t=cos-12,y=cos2-cos +(cos-1)24=54cos2-32cos +14=54cos2-65cos +14=54cos -352-15,当cos =35时,ymin=-15.22.(12分)在ABC中,已知A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),ADBC于点D.(1)求点D的坐标;(2)求证:AD2=BDDC.(1)解设点D坐标为(x,y),则AD=(x-2,y-4),BC=(5,5),BD=(x+