2022年《抛物线》典型例题12例

1、学习资料收集于网络,仅供参考抛物线典型例题 12 例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1）x 2 4 y（2）x ay 2 a 0 分析：（1）先依据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出 p,再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式,再对a 进行争论,确定是哪一种后,求p 及焦点坐标与准线方程解：（1）p2,焦点坐标是（ 0,1）,准线方程是：,y1（2）原抛物线方程为：y21x,2p1aa0 ,准线方程是：当a0时,p1,抛物线开口向右,24 a焦点坐标是1, 0 ,准线方程是：x1 4 a4a当a0时,p1,抛物线开口向左,24a焦点坐标是1, 0 ,准线

2、方程是：x1 4 a4a综合上述,当a0时,抛物线xay2的焦点坐标为14 ax1 4 a典型例题二例 2 如直线ykx2与抛物线y28x交于 A、B 两点,且 AB 中点的横坐标为 2,求此直线方程分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解 另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关,故也可利用“作差法 ”求 k学习资料学习资料收集于网络,仅供参考解法一： 设A x 1y 1、Bx2y2,就由：y2kxx2可得：k2x24 k8x40y8直线与抛物线相交,k0且0,就k1AB 中点横坐标为：x 12x 24 k282,k解得：k2或k1（舍去）故所求直线方程为：y2x2解法二： 设Ax

3、 1y 1、Bx 2y2,就有y28x 1y228x21两式作差解：y 1y2y 1y28x 1x 2,即y 1y2y 18y2x 1x2x 1x24y1y2kx 12kx22kx 1x244k4,k84故k2或k1（舍去）4 k就所求直线方程为：y2x2典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切分析： 可设抛物线方程为y22pxp0如下列图,只须证明ABMM1,2就以 AB 为直径的圆,必与抛物线准线相切证明： 作 AA1 l 于 A 1, BB 1 l 于 B M 为 AB 中点,作MM 1 l 于 M ,就由抛物线的定义可知：AA 1 AF , BB 1 BF

4、在直角梯形 BB 1 A 1 A 中：MM 1 1 AA 1 BB 1 1 AF BF 1 AB2 2 21MM 1 AB,故以 AB 为直径的圆,必与抛物线的准线相切2学习资料学习资料收集于网络,仅供参考说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦 为直径的圆与相应的准线相交典型例题四例 4（1）设抛物线y24x被直线y2 xk截得的弦长为35,求 k 值（2）以（1）中的弦为底边,以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形,当三角形的面积 为 9 时,求 P 点坐标分析：（1）题可利用弦长公式求 求 P 点坐标k,（2）题可利用面积求高,再用点到直线距离解：（1）由y2

5、4xk得：4x24k4xk20 x 1x 2212k,x 1x 2k2y2x设直线与抛物线交于A x 1y1与Bx 2y 2两点就有：4AB 122x 1x 225x 1x224 x 1x25 1kk5 12k AB35 ,5 12k35,即k4（2）S 9,底边长为 3 5,三角形高 h 2 9 6 53 5 5点 P 在 x 轴上,设 P 点坐标是 0 x 0, 就点 P 到直线 y 2x 4 的距离就等于 h,即 2 0 x2 2 01 2 4 65 50 x 1 或 x 0 5,即所求 P 点坐标是（ 1,0）或（ 5,0）典型例题五例 5 已知定直线 l 及定点 A（A 不在 l 上

6、）,n 为过 A 且垂直于 l 的直线,设 N 为l 上任一点, AN 的垂直平分线交 n 于 B,点 B 关于 AN 的对称点为 P,求证 P 的轨迹为抛物线分析： 要证 P 的轨迹为抛物线,有两个途径,一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义,二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程,可先用第一种方法,由 A 为定点, l 为定直线,为我们供应了利用定义的信息,如能证明 PA PN 且 PN l学习资料学习资料收集于网络,仅供参考即可证明： 如下列图,连结 PA、PN、NB由已知条件可知： PB 垂直平分 NA,且 B 关于 AN 的对称点为 PAN 也垂直平分 PB就四边形 PABN 为菱形即

7、有PAPNABl.PNl.就 P 点符合抛物线上点的条件： 到定点 A 的距离与到定直线的距离相等, 所以 P 点的轨迹为抛物线典型例题六例 6 如线段P 1P 2为抛物线C:y22px p0的一条焦点弦, F 为 C 的焦点,求证：112 pP 1FP 2F分析： 此题证的是距离问题,假如把它们用两点间 的距离表示出来,其运算量是很大的我们可以用 抛物线的定义,奇妙运用韦达定理,也可以用抛物 线的定义与平面几何学问,把结论证明出来证法一：F p 2, 0 ,如过 F 的直线即线段P 1P 2所在直线斜率不存在时,就有P 1FP 2Fp,11112ykxpk0 ,且P 1FP 2Fppp如线段

8、P 1P 2所在直线斜率存在时,设为k,就此直线为：2设P 1x 1,y 1,P 2x 2,y2k2p20由ykxp得：k2x2pk22x2ykxp42x 1x 2p k222k学习资料学习资料收集于网络,仅供参考2x 1 x 2 p 4依据抛物线定义有：P 1 F x 1 p, P 2 F x 1 p, P 1 P 2 x 1 x 2 p2 2就P 1 1F P 2 1F PP 11 FF P P2 2F F x 1 x 1p x 2x 2 pp x 1 x 2 xp 1 x x1 2x p2 p 22 2 2 4请将代入并化简得：1 1 2P 1 F P 2 F p证法二： 如下列图,设

9、P 、P 、F 点在 C 的准线 l 上的射影分别是 1P 、P 、 F ,且不妨设 P 2 P 2 n m P 1 P 1,又设 P 点在 F F、P 1P 1 上的射影分别是 A、B 点,由抛物线定义知,P 2Fn ,P 1Fm ,F FpP 2F又P2AFP 2BP 1,AFBP 1P 2P 1即pnnmnmnp mn2mn112mnp故原命题成立典型例题七例 7 设抛物线方程为y22px p0,过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为,求证：焦点弦长为AB2 p2 sin分析： 此题做法跟上题类似,也可采纳韦达定理与抛物线定义解决问题证法一： 抛物线y22pxp0的焦点为 p 2, 0 ,学

10、习资料学习资料收集于网络,仅供参考过焦点的弦 AB 所在的直线方程为：y tan x p 2y tan x p 由方程组 2 消去 y 得：y 2 2 px2 2 2 2 24 x tan 4 p tan p tan 0 x 1 x 2 p tan 22 2 p 1 2 cot 2设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,就 2 tanx 1 x 2 p4又 y 1 y 2 tan x 1 x 2 2 2AB 1 tan x 1 x 2 2 2 1 tan x 1 x 2 4 x 1 x 22 1 tan 2 p 21 cot 2 4 p42 2 2 2sec 4 p cot

11、1 cot 4 p 2 14sin2 p2sin即 AB 2 p2sin证法二： 如下列图,分别作 AA 、BB 垂直于准线 l由抛物线定义有：AF AA 1 AF cos pBF BB 1 p BF cos于是可得出：AF p BF p1 cos 1 cos学习资料学习资料收集于网络,仅供参考ABAFBF1pp1coscos2p1cos22psin2故原命题成立典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 P 3 , 2 3 ,它的一个焦点为 F（1,0）,对应于该焦点的准线为 x 1,过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB,如弦 AB 的长度不超过 8,且直线 AB 与椭圆 3 x 2 2

12、 y 2 2 相交于不同的两点,求（1）AB 的倾斜角 的取值范畴（2）设直线 AB 与椭圆相交于 C、D 两点,求 CD 中点 M 的轨迹方程分析： 由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线, AB 为抛物线的焦点弦,设其斜率为 k,弦 AB 与椭圆相交于不同的两点, 可求出 k 的取值范畴, 从而可得 的取值范畴,求 CD 中点 M 的轨迹方程时,可设出 即可M 的坐标,利用韦达定理化简解：（1）由已知得PF4故 P 到x1的距离d34,从而PFdx22y2曲线 C 是抛物线,其方程为y24x2无交点设直线 AB 的斜率为 k,如 k 不存在,就直线AB 与k 存在设 AB 的方程为ykx1

13、 由y24x1 可得：ky24y4k0ykx4y 1y24设 A、B 坐标分别为x 1y 1、x 2y2,就：y 1y 2k学习资料学习资料收集于网络,仅供参考AB11y 1y 228即k24123k21kk2y 1y224y 1y 24 1k2k2弦 AB 的长度不超过 8,4 12k2k由y2kx1 2得：2k23 x24 k2x2k2103x2y2AB 与椭圆相交于不同的两点,k231由k21和k23可得：1k3或3k故1tan3或3tan143或又 0,所求的取值范畴是：34（2）设 CD 中点Mx ,y、Cx 3y3、Dx4y由y2kx1 2得：2k23 x24 k2x2k2103x

14、2y2x 3x 424k23,x 3x 12k21 k22k23xx 32x422k23k2x12k3321k2352k239就212 k132即2x252353学习资料学习资料收集于网络,仅供参考kxy1y223y23 x0 2x2x2 k2322x1 2 k22 y0 x1 2化简得：3 x22y23x所求轨迹方程为：3 x2253典型例题九例 9定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线y2x上移动,求 AB 的中点到y 轴的距离的最小值,并求出此时AB 中点的坐标分析： 线段 AB 中点到 y 轴距离的最小值,就是其横坐标的最小值这是中点坐标问题,因此只要争论A 、 B 两

15、点的横坐标之和取什么最小值即可AC 、 BD ,解： 如图,设 F 是y2x的焦点, A 、 B 两点到准线的垂线分别是又 M 到准线的垂线为 MN , C 、 D 和 N 是垂足,就MN1ACBD1AFBF1AB32222设 M 点的横坐标为 x ,纵坐标为 y ,MNx1,就x3154244等式成立的条件是AB 过点 F 当x5时,y 1y2P21,故442,y 1y 22y 12y 222y 1y 22x12学习资料学习资料收集于网络,仅供参考y 1y22,y2解法较简2所以M5,2,此时 M 到 y 轴的距离的最小值为5 442说明：此题从分析图形性质动身, 把三角形的性质应用到解析几

16、何中,典型例题十例 10过抛物线y2px的焦点 F 作倾斜角为的直线,交抛物线于 A 、B 两点,求 AB 的最小值分析：此题可分2和2两种情形争论 当2时,先写出 AB 的表达式,再求范畴解： 1如,此时 AB 2 p22如,因有两交点,所以 02AB：y tan x p ,即 x y p2 tan 2代入抛物线方程,有 y 2 2 py p 20tan2故 y 2 y 1 2 4 p2 4 p 24 p 2csc 2,tan2 2 x 2 x 1 2 y 22 y 1 4 p 2 csc2tan tan故 AB 24 p 2csc 2 1 12 4 p 2csc 4tan所以 AB 2 p

17、2 2 p因,所以这里不能取 “ =”sin 2综合 12,当 时,AB 最小值 2 p2学习资料学习资料收集于网络,仅供参考说明：1此题须对 分 和 两种情形进行争论；2 22p2从解题过程可知,抛物线点弦长公式为 l 2；sin3当 时, AB 叫做抛物线的通径通径是最短的焦点弦2典型例题十一例 11 过抛物线 y 2 2 px p 0 的焦点 F 作弦 AB , l 为准线,过 A、 B 作 l 的垂线,垂足分别为 A 、 B ,就 A FB 为（）, AF B 为（）A大于等于 90 B小于等于 90 C等于 90 D 不确定分析：此题考查抛物线的定义、 直线与圆的位置关系等方面的学问,关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切解： 点 A 在抛物线上,由抛物线定义,就 AAAF12,又 AA /x轴1323,同理46,3690,而6,234180学习资料学习资料收集于网络,仅供参考A FB90选 C过 AB 中点 M 作MMl,垂中为 M ,就MM1AA BB1AFBF1AB222以 AB 为直径的圆与直线 l 相切,切点为M 又 F 在圆的外部,A