专题十-与几何图形有关的探究题

1、 / 14专题十 与几何图形有关的探究题图形变化问题【例1】 (2016沈阳)在4ABC中，AB =6, AC = BC = 5,将 ABC绕点A按顺时针 方向旋转，得到 ADE,旋转角为“(0 v ”V 180 ),点B的对应点为点 D,点C的对应 点为点 E， 连接 BD ， BE.(1)如图，当“=60时，延长BE交AD于点F.求证： ABD是等边三角形；求证：BFXAD , AF = DF;请直接写出 BE 的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当/ DAG = ZACB ,且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE + CE的值.分析：（1）

2、由旋转性质知 AB=AD, /BAD =60即可得证；由BA = BD , EA = ED 根据垂直平分线的性质即可得证；分别求出BF, EF的长即可得答案；（2）由等量代换可证/BAE = /BAC,根据三线合一可得 CEXAB ,从而可得 CE=2CH = 8, BE = 5,即可得 答案.解：ABC绕点A顺时针方向旋转 60得到 ADE ,，AB =AD ,/BAD =60 , ABD是等边三角形由得 ABD是等边三角形，AB = BD, ABC绕点A顺时针方向旋转60得 到 AADE, AC = AE , BC=DE,又.AC = BC,，EA = ED, .点 B, E 在 AD 的

3、垂直平 分线上，BE是AD的垂直平分线，二,点F在BE的延长线上，/.BFIAD , AF = DF由知 BFXAD , AF = DF, ，AF = DF=3, -. AE=AC = 5, ，EF=4, .在等边三 角形 ABD 中，BF = AB sin/ BAF = 6X 坐=3木，. . BE= BF EF= 3#4(2)如图， / DAG = / ACB , / DAE = / BAC ,/ ACB + / BAC + / ABC = / DAG + Z DAE +Z ABC = 180 ,又/ DAG + / DAE + / BAE = 180 , . . / BAE = / AB

4、C ,1-，AC = BC = AE, BAC=/ABC , . / BAE = / BAC , . AB，CE,且 CH = HE =CE, -AC = BC, .AH = BH =)B=3,贝UCE = 2CH = 8, BE = AE=5, ，BE + CE = 13几何图形中的动点问题【例2】(2016达州) ABC中，/ BAC = 90 , AB = AC ,点D为直线BC上一动点(点 D不与B , C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形 ADEF ,连接CF.(1)观察猜想如图1,当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为 垂直 ;BC, CD, CF 之间的数量关系为BC=C

5、D + CF ;(2)数学思考如图2,当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予 证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸如图3,当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB1= 272, CD = BC,请求出GE的长.分析：(2)根据正方形的性质得到 / BAC = ZDAF =90,推出 DAB FAC,根据全 等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论；(3)过A作AH BC于点H ,过 E作 EMLBD 于点 M, ENLCF 于点 N,先求出 AH , DH ,证 ADHDEM( AAS)得 到EM =

6、DH , DM = AH ,由等量代换得到 CN = EM , EN = CM ,根据等腰直角三角形的性 质得到CG = BC=4,根据勾股定理即可得到结论.解：(2)CF，BC 成立；BC = CD+CF 不成立，CD = CF+BC.证明：:正方形 ADEF , .AD=AF,/ BAC =/ DAF = 90 , . . / BAD = / CAF ,可证 DAB FAC(SAS), ./ABD =/ACF , . / BAC =90 , AB = AC , . . / ACB = / ABC =45 .Z ABD =180 -45 = 135, ./ BCF=Z ACF - Z ACB

7、 = 135 -45 = 90, CF BC. v CD = DB + BC, DB = CF, .1. CD= CF+ BC(3)过 A 作 AH BC 于点 H,过 E 作 EM，BD 于点 M , EN CF 于点 N, / BAC = 一11190 , AB = AC , BC = 72aB =4, AH=2BC = 2, CD = 4BC= 1, CH=BC = 2, . DH =3,由(2)证彳B BCXCF, CF = BD=5,二.四边形 ADEF 是正方形，AD = DE, Z ADE = 90 , 1.BCXCF, EM BD , ENXCF, .四边形 CMEN 是矩形，

8、. NE = CM , EM = CN , . /AHD =/ADC =/EMD =90 , . . / ADH + / EDM = / EDM + / DEM = 90 , . / ADH=/DEM,可证 ADHDEM( AAS), /. EM = DH = 3, DM = AH =2, . CN = EM=3, EN = CM = 3, /ABC =45 ,，/BGC=45 , .BCG 是等腰直角三角形 , CG=BC = 4, .-.GN=1, EG =GN2+EN2 =710几何图形中的动线问题【例3】(2016广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC = 2,边BC在其所在

9、的直线上平移，将通过平移得到的线段记为 PQ,连接PA, QD,并过点Q作QOLBD,垂 足为O,连接OA , OP.(1)请直接写出线段 BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA, OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设y=SPB, BP = x(0WxW2),求y与x之间的函数关系式， 并求出y的最大值.分析：（2）证AOBPOQ,可得AO与OP的数量与位置关系；（3）根据等腰直角三角形的性质可得 OE的长，根据三角形的面积公式可得二次函数 ，根据二次函数的性质可得 答案.解：（1）四边形APQD为平行四边形（2）OA = OP, OAO

10、P.证明：.四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=PQ, Z ABO = ZOBQ =45 , 1 OQXBD ,，/PQO = 45 , . . / ABO = / OBQ = / PQO= 45 , . OB = OQ,可证 AOB POQ（SAS）, .,.OA = OP, / AOB = / POQ, ./ AOP = / BOQ =90 , .-.OA OP TOC o 1-5 h z .-._.x+2过点O作OEBC于点E.如图1,当P点在B点右侧时，则BQ = x+2,OE=-2，1 x 21- 1丫=22x,即 y= 4（x+1）2 4,又 0WxW2, .当 x=2 时，y

11、 有取大值为 2;如 图 2,当 P 点在 B 点左侧时，则 BQ = 2 x, OE：2, . .y=2/AB2-AH2 =，42 32 =中, .CF=T7,，DF 的最大值=DC CF=4巾2.（导学号 ）（2016黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点。是坐 标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，ZOAB =900且 OA = AB , OB, OC的长分别是一元二次方程 x2-11x+30=0的两个根（OB OC）.（1） 求点A 和点 B 的坐标；（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O, B重合），过点P的直线l与y轴平行， 直线l交

12、边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t,线段QR的 长度为m,已知t = 4时，直线l恰好过点C,当0vtv3时，求m关于t的函数关系式；（3）当m=3.5时，请直接写出点 P的坐标.解：(1)二.方程 x211x+30=0 的解为 Xi=5, X2=6,，OB = 6, OC=5,B 点坐标为(6, 0),作AM，x轴于点M , / OAB = 90且OA = AB,.AOB为等腰直角三角形， 1，OM =BM =AM =OB = 3, . A 点坐标为(3, 3)(2)作CN，x轴于点N, t=4时，直线l恰好过点 C,，ON=4,在RtAOCN中，CN 3=OC

13、2 ON2 = -52 42 = 3,，C点坐标为(4, 3),可求直线OC的斛析式为y= x, 33直线 OA 的解析式为 y=x, -.P(t, 0)(0 t 3), ，Q(t, t), R(t, -t), /. QR = t-(-4t) = ；t,即 m = 4t(0vt .m = t + 6 (2t 9) = 一 ? t+15,若m=3.5,则5t+15 = 3.5,解得t = 23,此时P点坐标为(23, 0).综上所述，满 足条彳的P点坐标为(2, 0)或(23, 0)53.（导学号 ）（2016扬州）已知正方形 ABCD的边长为4, 一个以点A为顶点的45角 绕点A旋转，角的两边

14、分别与边 BC, DC的延长线交于点 E, F,连接EF.设CE=a, CF = b.如图1,当/EAF被对角线AC平分时，求a, b的值；(2)当 AEF是直角三角形时，求a, b的值；(3)如图3,探索/ EAF绕点A旋转的过程中a, b满足的关系式，并说明理由.解：(1)二.四边形ABCD是正方形，/BCD =90 , .AC是正方形ABCD的对角线，ACB = /ACD =45 ,/ ACF = / ACE , /EAF 被对角线 AC 平分，. / CAF =/CAE,可证 ACFACE(ASA), ，AF=CE, CF=CE, / CE=a, CF=b, ，a=b, AF = CE

15、, ./ AEF = Z AFE , /EAF = 45 , AEF = / AFE = 67.5 , -.CE = CF, /ECF = 90 , ./ CEF=Z CFE = 45 , . . / AEC = / AFC = 22.5 , ,. /CAF=/CAE = 22.5 , ./ CAE = Z CEA, /. CE = AC = 472,即 a= b= 4W(2)当 AEF是直角三角形时，若/AEF =90 , 二Z EAF = 45 , ./ AFE = 45 , .AEF 是等腰直角三角形 ，AE = EF, : / AEB + ZBEF = 90, Z AEB +Z BAE

16、 = 90, / BEF = / BAE ,可证 ABE ECF(AAS), .AB = EC, BE=CF, IP a=AB =4, b= BE = BC+CE= 8;若 / AFE = 90,同的方法知 CF =4, CE = 8, a= 8, b= 4(3)ab=32.理由：如图，:AC 是正方形 ABCD 的对角线，/ EAF =45/ ACD = 45 ,ZACF = 135, /ACE = 135,又/ ACD = / CAF + / AFC , / EAF = / EAC + / FAC , . / AFC = / EAC ,又./ ACF = / ACE= 135 , /.A

17、ACFA ECA , 卷=|, ECXCF = AC2=2AB2=32, . ab= 321.(导学号)(2016随州)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了 “中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1,图2,图3中，AM , BN是4ABC的中线，AM BN于点P,像 ABC这样的三角形均为“中垂 三角形”.设 BC = a, AC=b, AB = c.【特例探究】(1)如图 1,当 tan/PAB=1, c=472时，a=_45_, b = _4_;如图 2,当/PAB=30 , c= 2时，a= _/7_, b = _/73_；【归纳证明】(2

18、)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2, b2, c2三者之间的关系，用等式表示出来，并 利用图3证明你的结论.【拓展证明】(3)如图4, ?ABCD中，E, F分别是 AD , BC的三等分点，且AD = 3AE , BC = 3BF, 连接 AF, BE, CE,且 BECE 于点 E, AF 与 BE 相交点 G, AD =375, AB =3,求 AF 的长.解：(2)a2+b2= 5c2.证明：连接MN. . AM , BN是中线， 1 .MN /AB, MN = /AB, MPNA APB,MP PN 1-AP PB1 2设 MP=x, NP=y,贝UAP = 2x, BP = 2

19、y,a2= BC2= 4BM 2 = 4(MP2+ BP2)= 4x2+ 16y2,b2= ac2= 4an 2= 4(PN2+ AP2) = 4y2+ 16x2 ,c2= AB2= AP2+ BP2 = 4x2+4y2,a2 + b2 = 20 x2+20y2= 5(4x2+ 4y2)= 5c2由 AAS 可证 AGEA FGB,，BG=FG,取AB中点H,连接FH并延长交DA的延长线于点 P,同理可证4 APHBFH , .AP=BF, PE= CF = 2BF,即 PE/ CF, PE= CF,四边形CEPF是平行四边形，FP/ CE, BEXCE,FP BE,即 FHBG,.ABF是中

20、垂三角形，由(2)可知 AB2+AF2=5BF2,- AB=3, BF=；AD=也，.9 + AF2=5X (洞2, /.AF = 4.（导学号 ）（2016河南）（1）发现：如图1,点A为线段BC外一动点，且BC=a, AB =b.填空：当点 A位于 CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 _a + b .（用含a, b的式子表示）（2）应用：如图2,点A为线段BC外一动点，且BC = 3, AB = 1 ,分别以AB, AC为 边，作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE,连接CD, BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值.（3）拓展：如图3

21、,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2, 0）,点B的坐标为（5, 0）, 点P为线段AB外一动点，且PA=2, PM = PB, /BPM =90,请直接写出线段 AM长的 最大值及此时点 P的坐标.解：（2） CD = BE,理由：ABD 与 ACE 是等边三角形，AD=AB, AC = AE , / BAD = / CAE = 60 ,/ BAD + / BAC = / CAE + / BAC ,即/ CAD = / EAB ,可证 CADEAB（ SAS）, . CD = BE线段BE长的最大值=线段 CD长的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值 时，点D在CB的延长线上，.最

22、大值为 BD + BC = AB + BC = 4（3）如图1,连接BM ,将4APM绕着点P顺时针旋转90得到 PBN,连接AN,则 APN是等腰直角三角形，PN=PA= 2, BN=AM , /A的坐标为（2, 0）,点B的坐标为 （5, 0）, OA = 2, OB = 5,，AB = 3,线段AM长的最大值=线段 BN长的最大值，当点N在线段BA的延长线上时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN, /AN = *AP = 2m，.最大值为2*+3.如图2,过P作PEx轴于E, APN是等腰直角三1角形，PE= AE=2AN=V2, .-.OE = OA-AE = 2-V2,，P（2 也，也）.（导学号 ）（2016葫芦岛）如图，在4ABC中，/BAC = 90 , AB = AC ,点E在 AC上（且不与点 A, C重合），在4ABC的外部作 CED,使/CED = 90 ,