竞赛论文评审的优化配置

1、2008年东南大学大学生数学建模竞赛暑假培训论文3题目：竞赛论文评审的优化配置参赛队员1参赛队员2参赛队员3姓名虞海宇张悠纯仉尚航学号060063270800630606006304学院电子科学与工程学院自动化学院电子科学与工 程学院专业电子科学与技 术工业自动化电子科学与技 术年级06级06级06级竞赛论文评审的优化配置摘要本文针对数学建模竞赛论文评审问题，综合考虑参赛学校的参与力度与往年 成绩，论文的数量与水平，评审人的数量与水平，以及评审过程中出现的例如评 审速度不一评审宽严程度不一等因素，提出了参赛校的评审人数分配方案，论文 与评审人分组审阅方案以及可行的最优评卷方案，保证了评阅的公正

2、性时效性稳 定性和灵活性，实现了竞赛论文评审的优化配置，具有一定的现实实践意义。在参赛校的评审人数分配方案中，对K=3,J=40，直接计算总评审人数不为整 数。经过研究分析，我们将该问题简化为公平席位分配问题，并提出了公平分配 方法的两大理想化原则，再结合题给约束条件采用LINGO优化软件对所构建的数 学模型进行求解得到可行的分配方案如下：排名为1，2，3，4，5的本科院校各有2人参与评审，排名为6，7，8，9, 10，13，16，21，22，32，33，34，36，37，38，39 的本科院校各有 1 人参与 评审，排名为 14，18，19，20，46，47，49，50，51，52，53，5

3、4 的高职高专 类院校各有1人参与评审。总评审人数为38人。再将评审人的审阅速度不一这一重要因素加入考虑范围，基于评审速度服从 正态分布中间大两头小这一特点，我们采用正态分布N (40, 42)来描述该评审速 度，并通过理论计算和计算机模拟两种方法对已提出的参赛校评审人数分配方案 进行分析，证明在评审人的审阅速度不一的情况下，该分配方案仍满足要求。在满足各评审人的工作任务尽可能少，每组论文总体水平一致，评审论文的 回避原则，一个评审人只评审ABCD其中一类论文，本科生和高职高专生的能力 存在差异，往年各学校参赛的成绩可作为其递交论文水平的参考等条件的情况 下，我们建立了数学模型并得出论文和评审

4、人分组审阅方案如下：上半区的学校有：1，4，5，7，9，11，12，16，18，20，23，24，26，27, 29，31，34，35，38，41，43，44，47，48，49，50，52，54，57，58，参赛 总队数502，含评委18人；其余学校分在下半区，参赛总队数438，含评委20 人。上半区A组论文173份，B组论文175份，C组的论文71份，D组的论文 83份。下半区A组论文168份，B组的论文有144份，C组的论文71份，D组 论文55份。最后，针对评审人宽严尺度不一的问题，我们将寻求最优的评卷方案转化为 寻求最优标准分转化方法，并提出了统计学方法和层次分析法两种转化方法，并 针

5、对层次分析法过于复杂的算法作出改进，缩短了工作时间，将评审过程中的偶 然误差和系统误差加入考虑范围。通过这两种方法转化得到论文的标准分后即可 进行排序和分类。问题重述针对江苏赛区大学生数学建模竞赛论文评审问题，已知赛区组委会根据各校 的参赛情况及其它因素聘请若干来自参赛学校的专家参与评审，评审时将参赛论 文按赛题分成若干组，评审人也分成若干组。假设总共有M篇论文，每篇论文至 少需要经K名评审人评阅，每个评审人一天可以评阅J篇论文，需要解决的问题 如下：评审是匿名的，假如评审工作必须 2天内完成，根据已给数据，对 K=3,J=40，确定总评审人数，并给出一个参赛校的评审人数分配方案，并对方案 的

6、公平性作出说明。要求每个学校至多2人，有些近年才参赛的学校不邀请评审 人，高职高专类（只做C，D题）评审人数不低于30%，少数历年竞赛成绩优秀 的学校可以适当增加评审人数，但不能超过2人，所给数据表格中的的序号是根 据历年参赛成绩编号的。根据往年的经验，30 J Ux,则A的相对不公平程度可用，12可用2 X2 1 I来表示。制定席位分配方案的原则是使这两个相对不公平度尽可yi x 1能小。即 一一 一*一 时，这一席应该分给A方，反之则分给B方。 x (x + 1) x (x + 1) 2211上述方法当推广到有m方分配席位时，设第i方人数为y ,已占有席位为xi = 1,2,., m，则当

7、总席位增加1席时，计算Q =- i = 1,2,., m，应将这一 i i席分给Q值最大的一方。这种席位分配方法称为Q值法。Q值法适用于处理剩余席位，但对于总评审人数不明的情况下直接分配存在 明显问题。后文我们将在已给出总评审人数的情况下采用Q值法决定评阅ABCD 四类论文的评审人数。下面我们将提出两个衡量公平分配的理想化原则，然后采 用LINGO优化软件计算出最优分配方案。设第i方人数为y , i = 1,2,., m，总人数M =丈y ,待分配的席位为N，理想化的席位分配结果为X ,满足N =丈x。记q = Ny / M , q不全为整数时，记 iiiiii = 1x = x (N, y，

8、y )，q , q 分别为q向上取整和向下取整，公平分配方法应i i1mi - i +i该满足的理想化原则如下：原则一 q x q ， i = 1,2,., mi- i i+原则一二 x = x (N, y ,., y ) KM，解得N 35.25 ；得到问题一的数学模型如下：60Obj : min F = Z (q - x )2i = 1stmin(2,) x, 35.25=min( N* 七,2)M二 x 0.3 Ni = 46x14+乙xii = 17= 0, i = 55, 56, 57, 58, 59, 60 xi采用LINGO优化软件对上述模型求解得到可行最优方案如下，Variab

9、leValueReduced CostS38.000000.000000X(1)2.000000-0.2344067X(2)2.000000-0.2344067X(3)2.0000000.5315472X(4)2.0000001.097505X(5)2.0000001.501760X(6)1.0000000.000000X(7)1.0000000.3102704X(8)1.0000000.3102704X(9)1.0000000.000000X(10)1.0000000.5528235X(11)0.000000-1.366321X(12)0.000000-1.285470X(13)1.0000

10、000.2294193X(14)1.0000001.037930X(15)0.000000-1.042917X(16)1.0000000.3911214X(17)0.000000-1.042917X(18)1.0000000.9570788X(19)1.0000000.9570788X(20)1.0000000.9570788X(21)1.0000000.5528235X(22)1.0000000.5528235X(23)0.000000-1.447172X(24)0.000000-0.9620662X(25)0.000000-0.9620662X(26)0.000000-0.9620662X

11、(27)0.000000-1.042917X(28)0.000000-0.8812151X(29)0.000000-1.042917X(30)0.000000-1.123768X(31)0.000000-1.204619X(32)1.0000000.4719725X(33)1.0000000.4719725X(34)1.0000000.4719725X(35)0.000000-1.123768X(36)1.0000000.3911214X(37)1.0000000.4719725X(38)1.0000000.5528235X(39)1.0000000.5528235X(40)0.000000-

12、1.366321X(41)0.000000-1.204619X(42)0.000000-1.204619X(43)0.000000-1.042917X(44)0.000000-1.042917X(45)0.000000-1.042917X(46)1.0000000.9570788X(47)1.0000000.9570788X(48)0.000000-1.204619X(49)1.0000000.7145256X(50)1.0000000.7953767X(51)1.0000000.8762277X(52)1.0000000.8762277X(53)1.0000000.9570788X(54)1

13、.0000001.037930排名为1, 2, 3, 4, 5的本科院校各有2人参与评审，排名为6, 7, 8, 9, 10, 13, 16, 21, 22,32,33,34,36,37,38,39 的本科院校各有 1 人参与评审，排名为 14, 18,19,20,46,47,49,50,51, 52, 53, 54 的高职高专类院校各有1人参与评审。总评审人数为38人。问题2理想情况下各评审人评阅速度相差近似为零，但在实际情况下，各评审人评 阅速度为一概率事件。由题给条件可知，该评阅值J满足30 J 50，且集中在 40左右，与正态分布两头小中间大的特点相吻合。因此考虑用满足正态分布的 常态

14、随机值对38名评审人评阅速度模拟。对于正态分布N (,b 2)，当 = 0, b = 1时称为标准正态分布。密度函数(X) 在X = p时达到极大，当b 一定时不同，则(X)对称轴不同，当固定时b值 越小，(X)的图形就越尖越狭，b值越大，(X)的图形就越平越宽。对于满足 该分布的常态随机值，b的大小表示分布的分散程度。b越大则分散程度越大。 而p则表示分布大部分质量所集中的地点，在p周围团聚大部分质量。事实上， 对任一服从N (p,b 2)的随机变量E有P (pb X p+b ) W 0.6826 P (p - 2 b X p + 2 b ) w 0.9544P (p 3b x i=1940

15、 *32即在评审速度存在差异的情况下，问题1中的评审人人数以及分配方案依然 满足要求，故不做调整。问题3及问题4问题3及问题4的分析中要求给出论文与评审人的合理分组方案。可参考的 条件有：各评审人的工作任务尽可能少；每组论文总体水平一致；评审论文的回 避原则，即评审人不得评审本校的参赛论文；一个评审人只评审ABCD其中一类 论文；本科生和高职高专生的能力存在差异；往年各学校参赛的成绩可作为其递 交论文水平的参考。考虑将论文和评审人分为8组，首先根据评审论文的回避原则将参赛学校分 为两大组，来自第一组参赛学校的评审人审阅第二组参赛学校递交的论文，来自第二组参赛学校的评审人审阅第一组参赛学校递交的

16、论文。然后根据ABCD类论 文将每大组再细分为四小组。采用问题1中的Q值法求出ABCD类论文各自所需的评审人数。341q = floor (亦*38) = 13319q = floor (*38) = 12142q = floor (* 38) = 5138q = floor (* 38) = 5 q + q + q + q = 35剩余三个席位。分别计算出Q = i = 1,2,., m，可得， x (x. + 1)341213 *14=638.9319 212 *13=652.3142 2Q =如6 = 672.1138 2 =634.8 5*6Qc Qb Qa Qd根据Q值法的规则，AB

17、CD类论文各自所需的评审人数为14，13，6，5。而对于论文分组中出现的论文水平不均问题，我们考虑将参赛学校分为三组，再分组考虑。第一组参赛学校：往年竞赛成绩优秀的6个学校，序号1，2, 3, 4, 5, 6 第二组参赛学校：除1-6外其他27个参与评审的院校，序号7, 8, 9, 10,13,49,26,58,14, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 32, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 46, 47,50, 51, 52, 53, 54第三组参赛学校：未参与评审的院校，序号11, 12, 15, 17, 23, 24, 25, 27,28,29,30,31,

18、35,40, 41,42,43,44,45 ,48,55,56,57,59,60用集合表示如下，Q = 1,2, 3, 4, 5, 6Q = 7, 8, 9,10,13,14,16,18,19,20, 21, 22, 32, 33, 34, 36, 37, 38, 39,46, 47, 49, 50, 51,52, 53, 54Q = 11,12,15,17, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 35, 40, 41, 42, 43,44, 45, 48, 55, 56, 57, 58, 59, 60将上述三个集合分别分为两个大组，表示为PQu。，Q =。

19、Q，R u。, R =。 R。各集合的长度满足length(P ) = 3, length (P ) = 3, length(Q1)= 14length(Q ) = 13, length (R ) = 13, length (R ) = 14,S , S , S分别表示分组后各组的评审人数，则有2B 2C 2Dlengthlength+R)=S+22AS+S =141AS+2AS=131BS+2BS=61CS+2CS=5i1A1D 2 D(P2 + Q 21BS2B+S1C+S2C+S1D+S2 D基于上述分组建立以下优化模型:约束条件1各评审人的工作任务尽可能少iAiAiAzyiBJ1AiC

20、icQ1S1A+ z y+ziC,J1BJ1CiAicQ1Sz1C+ z y性R1性P1iAJ2AzyiCJ2C即满足J = (J约束条件2+ziDLbicQ1S1B+ z yiDiB+zyAiBicQ1S1D+ z yiB+z性R1icQ2S2A+ z y +iCyczyiDi-Q2S2B+ z y +z yiDiDic Q2S2C)2 + (J-J2B)22D)2每组论文总体水平一致iQ2S2D+ (J1D - J2。广尽可能小。即满足I = a (P - P )2 +以(Q - Q )2 +以(R - R )2尽可能小。112212312目标函数OBJ： min H = I +人J在实际

21、求解模型时，我们是分步骤进行的。第一步：将各区评审人细分到A，B，C，D各题本例取 s = 7, s = 7, s = 3, s = 3, t = 7, t = 6, t = 3, t = 212341234第二步：随机产生P,Q向量第三步：在第二步的基础上，计算一次H值第四步：重复第二、第三步第五步：比较多次随机模拟的结果，选择H值最小的。下面是较好的方案（人=100）上半区的学校有：1，4，5，7，9，11，12，16，18，20，23，24，26，27, 29，31，34，35，38，41，43，44，47，48，49，50，52，54，57，58，参赛 总队数502，含评委18人；其余

22、学校分在下半区，参赛总队数438，含评委20 人。上半区A组的论文有173，B组的论文有175，C组的论文71，D组的论文 83。下半区A组的论文168, B组的论文有144, C组的论文71，D组的论文55。从以上数据可以看出前六所往年成绩优秀的学校，被平均的分到了上下半 区。而且其他学校也是按编号比较平均的分到上下半区之中，充分体现了公平原 则。经计算，上下半区分配到的老师平均批阅的试卷分数为:A组B组C组D组评审人数上半区74.175718320 （来自下半区）下半区72727182.518 （来自上半区）再考虑每位评审人应当评审的试卷数。我们认为对于每一组（一共8组）的评审人来说，试卷

23、的分配是随机的。而为了达到评审人批阅试卷最少的目的，数量应该最平均。由以上分析我们得到结果（平均）：上半区：A组：6位评审改74份，1位评审改75份；B组：每位评审改75份；C组：每位评审改71份；D组：每位评审改83份。下半区：A组：每位评审改72份；B组：每位评审改72份；C组：每位评审改71份；D组：1位评审改82份，1位评审改83份。问题5在问题5中我们将给出可行的最优评卷方案。对于类似数学建模这样涉及大 量答卷的比赛，最优评卷方案必须满足（1）保序性，排名顺序与论文反映的各参 赛队的真实水平一致；（2）稳定性，对于评审过程中出现的随机误差与系统误差 的干扰有一定的自处理能力；（3）能

24、够准确地进行补残，由于工作量和工作时间 的限制，每个评审人能够评阅的论文数量有限，每篇论文也只有若十个评审人评 阅，评审人对论文的评审结果具有残缺性；（4）容忍不一致现象，每个评审人评 审的宽严尺度不一致，需要构架一定的标准统一其中的偏差；（5）对数据可依赖 程度给出较为精确的描述。首先增加以下假设：存在一个客观标准，可以根据它衡量任意两份论文的优劣。可以用一个绝 对名次或分数来描述在此标准衡量下的论文质量。这是任何一种排序算法的基 础。各评审人在整个评审过程中评审的宽严尺度保持一致，所评阅的论文是随 机选取的，基本反映了赛区论文的水平，即是总体的抽样。故每位评委评审的论 文成绩服从正态分布。

25、各评委独立进行评阅。每个评委都有胜任评审工作的素质和经验，他们对 同一份论文的评阅具有较高的一致性。绝对名次具有传递性，即若已知A优于B，B优于C，则A优于C。由每位裁判单独的评判结果得到的名次与绝对名次一致。在上述假设的基础上我们首先提出变量替换后的标准分比较模型。尽管评审人的宽严程度不一致直接导致了评分的标准存在差异，但在实现标 准确定的情况下，所有评审人的评审结果均可通过某一特定方法转换成符合既定 标准的评审结果。对于任何一种标准分转化方法，都可得到可行评卷方案。首先.将论文和评审 人分别分组，评审人根据分配方案评审试卷并给出分值；其次统计论文得到的三 个评审结果（假设K=3），根据标准

26、分转换公式得到三个标准分，取平均值，该 平均值即为论文得到的最终评审结果；最后统计每篇论文的最终评审结果，按照 高低排序。再按5%，7%，9%，11%，13%，55%从好到差分类。由此，寻求最优的评卷方案简化为寻求最优的标准分转化方法。统计学方法根据统计学原理，正态分布中的变量替换可将一般的正态分布函数化为标准 正态分布函数，以消除评审宽严尺度的差异。由于标准正态分布函数的平均值恰 好是。其标准差恰好是L因此可以作为对任何正态分布都不变的参考点和等 值单位。利用该转换将各评审人对论文的评审结果转化为标准分。当K=3时，由于各评审人的宽严程度不一致，若简单的将三个评审人的评审 结果取平均值作为排

27、名依据会给结果带来较大的误差，不能保证评审的公平性。 由增加的假设可知，统计评审人，评审的论文成绩及相应的气，气值，成绩x服从 N（ 口，七）。用x.表示第i个评审人给第j篇论文的评分，用Z.表示每篇论文的 标准分（或称为Z分数），它代表分数xij与平均分七的距离和标准差的比值。 则标准分的计算公式是：x 一日ijbi将每一个分数X标准化，得到相应的Z。设每篇论文由三位评审人n, p ,q评 审，则每篇论文的最终标准分为：z =气 + Zp 十 一j3，由前述分析可知Z . N （0,1）。查表得：前5%（5%， 12%）（12%， 21%）（21%， 33%）（33%， 46%）（46%，100%）Z 分数 Z1.64(1.17,1.64)(0.80,1.17)(0.44,0.80)(0.10,0.44)Z0.10Z .可根据以上表格和变量替换得到。该方法可应用于各参赛论文成绩不符合正态分布的情况。在大多数情况下， 考试或竞赛成绩被认为基本服从于正态分布，但在1987年美国著名教育家B.S. 布卢姆对学生成绩应服从正态分布进行了批判：“正态分布