三角公式及推导(祥尽解释)(参照分析)

1、贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 思维 三角公式及推导(祥尽解释1诱导公式：常用的诱导公式有以下几组：公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kn+a)=sinacos(2kn+a)=cosatan(2kn+a)=tanacot(2kn+a)=cota公式二：设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin(n+a)=-sinacos(n+a)=-cosatan(n+a)=tanacot(n+a)=cota公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=-tanacot(-a)=-cota

2、公式四：利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系:sin(n-a)sinacos(n-a)-cosatan(n-a)-tanacot(n-a)-cota公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系:sin(2n-a)=-sinacos(2n-a)=cosatan(2n-a)=-tanacot(2n-a)=-cota公式六：贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 #思维 #贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 #思维 #n/2土a及3n/2土a与asin(n/2a)=cosacos(n/2a)=-sinatan(n/2a)=-cotacot(n/2a)=-tana的三

3、角函数值之间的关系：贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 思维 sin(n/2-a)=cosacos(n/2-a)=sinatan(n/2-a)=cotacot(n/2-a)=tanasin(3n/2+cos(3n/2+tan(3n/2+cot(3n/2+sin(3n/2-cos(3n/2-tan(3n/2-cot(3n/2-(以上kWz)a)=-cosaa)=sinaa)=-cotaa)=-tanaa)=-cosaa)=-sinaa)=cotaa)=tana诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于kn/2a(kez)的个三角函数值，当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改变；

4、当k是奇数时，得到a相应的余函数值，即sincos;cosfsin;tancot,cottan.奇变偶不变)然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把a视为锐角时，角k360+a(kz),-a、180土a,360-a所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”；第二象限内只有正弦是“”，其余全部是“”；第三象限内切函数是“”，弦函数是“”；第四象限

5、内只有余弦是“”，其余全部是“”公式七：额外的定义sin2=(sin)2cos2=(cos)2tan2=(tan)22同角三角函数基本关系1同角三角函数的基本关系式倒数关系：tanacota:1sinacsca:1cosaseca:1商的关系：sina/cosa=tana:seca/csccosa/sina=cota:csca/sec平方关系：sin2(a)+cos“2():11+tan2(a):=sec2(a)1+cot八2(a)：=esc2(a)证明：在AABC中,ABC二90.a2+b2二c2a2b2.+二1)c2c2.sin2B+sinA二1.sin2+cos2二1同角三角函数关系六角

6、形记忆法六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。3两角和差公式2两角和与差的三角函数公式sin(a+B)sin(a-3)cos(a+3)cos(a-3)=sinacosB=sinacosB=cosacos3=cosacos3+cosasin3co

7、sasin3sinasin3+sinasin3tana+tan3tan(a+3)=-1一tanatanB贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 思维 #贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 #思维 tana一tanBtan(a-B)=1+tanatanB和差公式的证明：(1)两角差的余弦,AOC=,BOC=，卩,AOB=,卩贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 思维 #贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 #思维 令AO=BO=r点A的横坐标为x=rcosA点A的纵坐标为y=rsinA点B的横坐标为xB=rcos,B点B的纵坐标为y=rsin卩BAB2(y-y)2+(x-x)2ABAB(rsin-rsin,匕+(rco

8、s,-rcosr2sin2+r2sin2,-2r2sinsin,+r2cos2+r2cos2,-2r2coscosr2(sin2+sin2,-2sinsin,+cos2+cos2,-2coscos,)r2(sin2+cos2+sin2,+cos2,-2sinsin,-2coscos,)由余弦公式r21+1-2(sinsin,+coscos，)sin,+coscos，)2r21(sinsin,+coscos,)可得AB2AC2+BC2-2ACBCcosZACBr2+r2+2rrcos(-,)2r2+2r2cos(-,)r22-2cos(-,)2r21一cos贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 思维

9、#综上得：cos(-,)=sinsin,+coscos(2)两角和的余弦cos(+,)=cos-(-,)=sinsin(-,)+coscos(-,)=-sinsin,+coscos=coscos,-sinsin,(3)两角和的正弦sin(,+卩)cos90。-(，+卩)cos(90-，)-卩sin(90-，)sin卩+cos(90-,)cosPcos,sinP+sin,cosP两角差的正弦贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 #思维 #贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 #思维 #sin(,-P)sisin,+(-P)cos,sinsin,cos(-P)贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 #思维 -cos,

10、sinP+sin,cosPsin,cosP-cos,sinP两角和的正切()sin(,+P)tan(,+P丿cosI，+P丿cos,sinP+sin,cosPcos,cosP-sin,sinPcos，sinP+sin，cosPcos,cosPcos,cosP-sin,sinPcos,cosPsinP+sin,cosPcos，-sin,sinP1cos，cosPtan,+tanP1-tan,tanP两角差的正切tan(,-P)tan,+(-P丿tan，+tan(-P)1-tan,tan(-P丿tan,-tanP1+tan,tanP贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 思维 #4二倍角公式二倍角的正弦、

11、余弦和正切公式（升幂缩角公式）表示一：sin2a=2sinacosa证明：因为sin（f+）=sin，cosp+cos，sinp，令=p=0,所以，可得：|sin20=2，sin0，cosE表示二：（以正切表示二倍角）sin20=2tan01+tan20證明：sing1、2tan0sin=sincos=cos0tan20余弦二倍角公式：贞眉页脚可一键删除贞眉页脚可一键删除 1+t仅供参考表示一：ltan2cos2a=cos2(a)-sin“2(a)=2cos“2(a)-l=l-2sin“2(a)证明：因为由和角公式：cos（|+）=cos，cosp-sin，sinp,令=p=0,所以，可得：c

12、os2=cos2sin2=2cos21=1-2sin2表示二：1-tan21+tan2證明：cos2=2cos2-1-12i1-tan2=L+tan21+tan22tanatan2a=1-tan2(a)证明：因为由和角公式：tan（f+）=1tan，令邙=，所以，可得：tan2=2tan1-tan22tan贞眉页脚可一键删除贞眉页脚可一键删除 # #贞眉页脚可一键删除贞眉页脚可一键删除 # #結論：利用tan可以將sin2,cos2,tan2表示出來，整理如下：(a)sin2=2tan1+tan2(b)cos2=1-tan21+tan2(c)tan2=2tan1-tan2贞眉页脚可一键删除贞眉

13、页脚可一键删除 # #思维l-tan2贞眉页脚可一键删除仅供参考贞眉贞脚可一键删除仅供参考思维 思维 用三角形直观表示如下：（图）6半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）1一cosa或：sin2(a/2)=21cosacos2(a/2)=1一cosatan2(a/2)=1+cosa7万能公式万能公式推导附推导：sin2a=2sinacosa=2sinacosa/(cos2(a)+sin2(a)*,(因为cos2(a)+sin2(a)=1)再把*分式上下同除cos2(a),可得sin2a=tan2a/(l+tan“2(a)然后用a/2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公

14、式可通过正弦比余弦得到。8三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式(a)sin3=3sfii4sin3證明：sin3=sin(+2)=sincos2+cossin2=sin(12sin2)+cos(2sincos)=s(12sin20)+2sin0cos20=s(12sin20)+2sin0(1sin20)=3s4sin30(b)cos3=4cos33cos證明：cos3=cos(+2)=coscos2sinsin2=cos(2cos21)sin(2sinc=c(2cos201)2sin20cos0=cd；2cos2-1)-2(1-cos2)cos=4cos33cossin3a=3sina-4s

15、in3(a)cos3a=4cos3(a)-3cosa3tana-tan3(a)贞眉页脚可一键删除仅供参考贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 思维 tan3a=1-3tan2(a)三倍角公式推导附推导：tan3a=sin3a/cos3a=(sin2acosa+cos2asina)/(cos2acosa-sin2asina)=(2sinacos“2(a)+cos“2(a)sina-sin“3(a)/(cos“3(a)一cosasin“2(a)一2sin2(a)cosa)上下同除以cos飞(a),得：tan3a=(3tana-tan3(a)/(l-3tan2(a)sin3a=sin(2aa)=sin2a

16、cosacos2asina=2sinacos“2(a)+(1-2sin“2(a)sina=2sina-2sin“3(a)+sina-2sin“2(a)=3sina-4sin3(a)cos3a=cos(2aa)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2(a)-1)cosa-2cosasin“2(a)=2cos3(a)-cosa+(2cosa-2cos“3(a)=4cos3(a)-3cosa即sin3a=3sina-4sin3(a)cos3a=4cos3（a）一3cosa三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元减4元3角（欠债了（被减成负数），所以要“挣钱”（音似“正弦”

17、）余弦三倍角：4元3角减3元（减完之后还有“余”）注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。积化和差公式推导附推导：首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*

18、cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样，我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2也可以这样证：sin,cosP=丄(2si

19、n,cosP)2=(sin,cosP+sin,cosP+cos,sinP-cos,sinP)tsin(,+P)+sin(，-P)cos,cosP=1(2cos,cosP)2=l(cos,cosP+cos,cosP+sin,sinP-sin,sinP)cos，+P)+cos(，-P)1厂2Lsin,sinP=丄(2sin,sinP)2=(sin,sinP+sin,sinP+cos,cosP-cos,cosP)cos(,+P)-cos(，-P)思维 #思维 和差化积的公式推导:好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,ab设

20、为y,那么a=(x+y)/2,b=(xy)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(xy)/2)sinxsiny=2cos(x+y)/2)*sin(xy)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(xy)/2)cosxcosy=2sin(x+y)/2)*sin(xy)/2)贞眉页脚可一键删除仅供参考贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 思维 11-辅助角公式asin,bcos=Ja2,b2sin（,p），其中tane=,q的象限由a,b的符号确定。a12任意三角形面积公式：SABC=absinC2=1aCsinB（

21、两边和其夹角正弦的乘积）13余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比证明：如FigureII,b2d2+h2(a一ccosB)2+(csinB)2a2一2accosB+c2cos2B+c2sin2B=a2一2accosB+c2(cos2B+sin2B)a2+c2一2accosBb2一a2一c2a2+c2一b2ncosB，2ac2ac(证完)14正弦定理如FigureIII,c为dABC外接圆的直径，asinAcc2r(r为ABC的外接圆半径)sinAbcc,csinBsinC贞眉页脚可一键删除仅供参考贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 思维 #abcsi

22、nAsinBsinC2r贞眉页脚可一键删除仅供参考贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 #思维 #贞眉页脚可一键删除仅供参考贞眉页脚可一键删除仅供参考思维 #思维 15海伦公式（任意三角形已知三边求面积）证明S=absinCABC2=丄ab*lcos2C2=2叫1,2ab丿a4+b4+c4+2a2b2一2a2c2一2b2c2=ab,J一24a2b27,4a2b2一a4一b4一c4一2a2b2+2a2c2+2b2c2=ab24a2b2174a2b2一a4一b4一c4一2a2b2+2a2c2+2b2c2=a2b2-44a2b2=：4a2b2-4，b4，c4，2a2b2，2a2c2，2b2c2)4a2b2

23、a+b一c)+cos20)=13sificos201(c)tan0+cot0=sinOcosO=2sin20(d)(sincos)2=s2+cos22sincO=1土sin219：三角函数公式集中记忆表：和差的三角函数sin(,P)sin,cosPcos,sinPcos(,P)cos,cosPsin,sinPtan,tanPtan(a卩)1tan,tanP倍角、半角的三角函数sin2,2sin,cos,cos2,c2，一sin2,2cos2，11一2sin积化和差公式sin,cosP-2sin(,+P)+sin(,-P)cos,sinP2sin(,+P)-sin(,-P)cos,cosP2cos(,+P)+cos(,-卩)sin,sinP-cos(,+P)-cos(,-P)2小2tan,tan2,cos,1-2sin2-2cos,2cos212将上面两式左右两边分别相除，得:,|1一c