立体几何的动态问题翻折问题

1、立体几何的动态问题之二翻折问题立体几何动态问题的基本类型:点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等一、面动问题（翻折问题）：（一）学生用草稿纸演示翻折过程：（二）翻折问题的一线五结论一线：垂直于折痕的线即DF 1AE.五结论：1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变;2）/D，HF是二面角D- H - F的平面角；3）D在底面上的投影一定射线DF上；4）点D，的轨迹是以H为圆心，DH为半径的圆;5）面ADE绕AE翻折形成两个同底的圆锥.二、翻折问题题目呈现：（一）翻折过程中的范围与最值问题1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD中，AD=AB=

2、.2，CD=CB= # ,且AD 1 AB， 现将 ABD沿对角线BD翻折成AABD，则在AABD折起至转到平面BCD的过程中， 直线AC与平面BCD所成最大角的正切值为 .解：由题意知点A运动的轨迹是以E为圆心,EA为半径的圆，当点A运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tan小CB =豆。3【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯 的错误1进行分析，找出错误的原因。22、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD中，ZBAD=60,线段AD, BD的中点分别为E, F。现将 ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是B.C.气专分析：这

3、是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查 了空间立体几何线线角的求法。方法一：特殊值法（可过F作FH平行BE,找两个极端情形）方法二：定义法：利用余弦定理：cos ZFHC = FH 2 + FC2-质2 = 5 _ 4 如有 3 , CH V 恒2 FHF 4 344 bccos e e -!,异面直线be与cf所成角的取值范围是气专方法三：向量基底法：BEFC = 1( BA + BD )心=-BAFC = 1( BF + FA)FT 222 Tcos = 1cos2方法四：建系3、（2015年浙江理8）如图，已知AABC , D是AB的中点，ECD，所成二面角A CD -

4、B的平面角为a，则(BA. ZArDB a C. ZACB a)D. /A CB a方法一：特殊值方法二：定义法作出二面角，在进行比较。方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。4、（14年1月浙江省学业学考试题）如图在RtAABC中，AC=1, BC=x, D是斜边AB的中点，将ABCD沿直线CD翻折，若在翻折过程 中存在某个位置，使得CB1AD,则x的取值范围是（A ）(0,艘B.修 2方法一：利用特殊确定极端值C. (、,；3 2 展D. (2, 4方法二：在ADAB中利用余弦定理转化为ZBDA的函数求解。方法三：取BC的中点E,连接EA,ED在ADEA中利用两边之和大于第三边求解。

5、（二）翻折之后的求值问题5、（2016届丽水一模13）已知正方形ABCD ,E是边AB的中点，将ADE沿DE折起至ADE，如图所示，若ACD为正三角形，2、尽56、（2016届温州一模8）如图，在矩形ABCD中,则ED与平面ADC所成角的余弦值是AB = 2 , AD = 4，点E在线段AD上且AE = 3，现分别沿BE,CE将险BE,MCE翻折，A.B.C.D.使得点D落在线段AE上，则此时二面角D - EC - B的余弦值为（D ）三、课后练习1、（2012年浙江10）已知矩形ABCD, AB=1, BC=十2。将 ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（B ）存在某个位

6、置，使得直线AC与直线BD垂直.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.对任意位置，三对直线AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直A2 （2009年浙江17）如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段 EC（端点除外）上一动点，现将 AFD沿AF折起，使平面ABD1平面ABC,在平面ABD内过点D作DK1AB,K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是（2,1）E C3、(16年浙江六校联考)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为正方形边上的动点 现将 ADE所在平面沿AE折起，使点D在平面ABC上的射 影H在

7、直线AE上，当E从点D运动到C，再从C运动到B， 则点H所形成轨迹的长度为 兀4、(2010年浙江19改编)如图，在矩形abcd中，点E，F分别在2.线段 AB，AD 上，AE = EB = AF = 3 FD = 4 .沿直线 EF 将 AAEF 翻 折成AA EF ,使平面A EF 1平面BEF .点M, N分别在线段FD, BC 上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，则线 段FM的长为5、(16届金华十校一模17)如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=1，BF=3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B 在平面CDEF上的射影H

8、在直线DE上.(I )求证:CD1BE;求线段BH的长度；求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值.17.解：(1)由于BH1 平面CDEF，二BH 1 CD，又由于CD 1 DE，BH DE = HCD 1 平面DBE，二 CD 1 BE.法一：(2)设BH = h，EH = k，过F作FG垂直ED于点G，因为线段BE，BF在 翻折过程中长度不变，根据勾股定理：BE 2 = BH 2 + EH 2f5 = h 2 + k 2=林,曰h = 2n (，可解得 0, z 0)8y由于F(2,2,0)，be = 0，BF = 34 + (y - 2)2 + z2 = 9 I z = 2,解得y二1,

9、于是B(0,1,2)，所以线段BH的长度为2.从而FB =(-2,-1,2)，故EA =1FB = (-2,- 1,2) FA = FE + EA = (-8,-7,2)33 3 33 3 3设平面EFCD的一个法向量为n =(0,0,1)，设直线AF与平面EFCD所成角的大小为则 s in。=2,1339立体几何的动态问题之三 最值、范围问题1、（2006年浙江理14）正四面体ABCD的棱长为1,棱AB/平面a,则正四面体上的所有点在平面a内的射影构成的图形面积的取/一干值范围是./2、（2008年浙江理10）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足， 若点P在平面a内运动使得ABP的面积为定值

10、，则动点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线A3、（15届高考模拟卷文）如图，已知球0是棱长为1的正方体ABCD A1 B1C1气的内切球，则平面ACD1截球0的截面面积为C4、（2014年金华高二十校联考文10）圆柱的轴截面ABCD是边长为2 的正方形，M为正方形ABCD对角线的交点，动点P在圆柱下底面内（包 括圆周），若直线BM与直线MP所成角为45，则点P形成的轨迹为（）A.椭圆的一部分B.抛物线的一部分C-双曲线的一部分D.圆的一部分5 （2014 浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P

11、沿墙面上的射线CM移动，此人 为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角。的大小.若AB=15 m, AC = 25 m,zBCM=30,则tan。的最大值 .（仰角。为直线AP与平面ABC所成 角）6 （2015 浙江卷8）如图1110，斜线段AB与平面。所成的角为 60, B为斜足，平面。上的动点P满足ZPAB=30,则点P的 轨迹是（）A.直线B.抛物线C.椭圆。.双曲线的一支 TOC o 1-5 h z 式题（1）如图，平面。的斜线AB交。于B点，且与。所成的角为。，, /平面。内有一动点C满足ZBAC = 6若动点C的轨迹为椭圆，则。农 / 的取值范围为（2）在正四面体ABCD

12、中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD 所成的角为。，则cos a的取值范围是.7、（2014年7月浙江学考第25题）在棱长为1的正方体ABCD-A BCD中，E、F分别是棱AD、C D的中 11111111点，N为线段B1C的中点，若P、M分别为D、EF的动点，则PM+PN的最小值为18、（16届嘉兴一模文15）边长为1的正方体ABCD - A B C D将其对角线AC与平面a垂直，则正方体ABCD - ABC D在平面 a上的投影面积为.9、（16届高考模拟卷理）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,底面ABCD的对角线BD在平面a内，则正方体在平面a内的投影构

13、成 的图形面积的取值范围是.10、（16届高考模拟卷理）将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则 a的最大值为（）A 2 -而 D 2* -插 c 2拓-2.应3巨-2.再 TOC o 1-5 h z ABCD663311、（ 16 届宁波一模理 14）在 AABC 中，/BAC = 10, AACB = 30。，将直线 BC 绕 AC旋转得到Bf ,直线AC绕AB旋转得到AC1，则在所有旋转过程中，直线B1C与直线AC1 所成角的取值范围为:.11112、（16届金华十校一模理14）在四面体ABCD中，已知AD1BC,

14、AD=6, BC=2，且AB = AC =2，则V四体配的最大值为BD CD四面体BCDA. 6B. 2、.1TC. 2J5D.8AD = 6,BC = 2，13、（15年上海高考题改编）在四面体ABCD中，已知ADBC ,AB + BD = AC + CD = t(t =7,+3)，)c)A. 2夕,+3B.3,+8)则V最大值的取值范围是四面体ABCDC. M,+8） D.2,+3）【答案】B.【解析】试题分析：设/ADC =。，设AB = 2，则由题意AD = BD =1，在空间图形中，设A B =在AACB中，AD 2 + DB 2 AB 212 +12 - 122 - 12cos ZADB =2 AD x DB2 x 1x12在空间图形中，过A作AN 1 DC，过B作BM1 DC，垂足分别为N，M过 N 作 NP,MB，连结 AP，二 NP1 DC则ZAA NP就是二面角A - CD B的平面角，/A NP = a在 RtAAND 中，DN = AD cos ZADC = cos9，AN = AD sin ZADC = sin 9 同理，BM = PN = sin9，DM = cos9，故BP = MN = 2cos9，显然BP 1面ANP，故BP 1 AP在 RtAABP 中，aP2 = AB2 - BP2