5.1.2 导数的概念及其几何意义 课件-山东省滕州市第一中学高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

1、5.1.2导数的概念及其几何意义 OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y新知引入定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即学习新知由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)在x=x0处的导数的一般方法:求函数的增量2. 求平均变化率3. 取极限得导数值一差、二比、三极限学习新知练习：(1)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 (2)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.36典型例题分析：先

2、求f=y=f(1x)-f(1) =6x+(x)2典型例题典型例题例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+60,求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率，因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v(2),v(6).在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别是2m/s2与-6m/s2.说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s; 在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.平均变化率 表示割线P0P的斜率学习新知P0Poxyy=f(x)割线切线T导数的几何意义: 在

3、曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x),如果当点P(x,f(x)沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0,即x0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线. (tangent line).学习新知即:这个几何意义: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在x=x0处的导数. 要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.P0P

4、oxyy=f(x)割线切线T这就是导数的几何意义学习新知解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h(t0)=0.这时,在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.(2)当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h(t1)0.这时，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减.(3)当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h(t2)0.这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.从图可以看出，直线l1

5、的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.典型例题由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f (x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时, f (x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数(derived function)(简称导数), y=f(x)的导函数有时也记作y即:学习新知例6:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;利用切线斜率的定义求出切线的

6、斜率;利用点斜式求切线方程.典型例题练习:如图已知曲线 ,求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.巩固练习例7:在曲线yx2上求分别满足下列条件的切线方程：(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)倾斜角为135.分析:解此类题的步骤为：先设切点坐标(x0，y0)；求导函数f (x)；求切线的斜率f (x0)；由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;由于点(x0，y0)在曲线yf(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标典型例题例7:在曲线yx2上求分别满足下列条件的切线方程,(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)倾斜角为135.点评:此类题的易错之处是将切点的横坐标代入导函数来求切点坐标.1求物体运动的瞬