教学课件自动控制原理

1、5-4 频率域稳定判据 自动控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需解决的首要问题，奈奎斯特稳定判据（简称奈氏判据）和对数频率稳定判据是广泛应用的两种频域稳定判据。由于频域稳定判据是根据开环系统的频率特性曲线判断闭环系统的稳定性，因此也可称之为几何稳定判据。 应用频域稳定判据不需要求取闭环系统的特征根，而是由开环系统的频率特性绘制开环系统的频率特性曲线，也可以利用实验的方法获得开环系统的频率特性曲线，进而分析闭环系统的稳定性。 这种方法之所以在工程上获得了广泛的应用，其主要原因是：在系统的微分方程或传递函数未知的情况下，就无法利用劳斯稳定判据或根轨迹法判断闭环系统的稳定性，这时可以利用实验方法

2、测出其系统的开环频率特性曲线，应用频域稳定判据就可以分析闭环系统的稳定性。 另外，频域稳定判据不仅能回答闭环系统是否稳定，而且还能指出系统的稳定储备稳定裕度，以及提高和改善系统动态性能（包括稳定性）的途径。一、奈氏判据的数学基础 复变函数中的幅角原理是奈奎斯特稳定判据的数学基础，幅角原理用于控制系统的稳定性分析首先需要选择辅助函数。1辅助函数F(s)系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为 选择复变函数F(s)为闭环特征多项式和开环特征多项式之比，并称之为辅助函数，即 辅助函数F(s)具有如下特点：(1)F(s)的零点为闭环传递函数的极点，F(s)的极点为开环传递函数的极点；(2)F(s)的零

3、点和极点的数目相同；(3)F(s)和G(s)H(s)只差常数1。 2幅角原理系统的开环传递函数为：其辅助函数是：在s平面上任取一点，如 则在F(s)平面上的象为： S平面F(S)平面 设F(s)的零极点分布如左下图所示，如果在s平面上任选一条不穿过F(s)的任一零点和极点的封闭曲线 ，通过F(s)的映射关系，则在F(s)平面上必有对应的一条封闭曲线 ，见右下图。 由F(s)的表达式可知，辅助函数F(s)的相角为 当s沿封闭曲线 变化时，F(s)的相角变化为幅角原理： 设s平面上的封闭曲线 包围了F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿 顺时针运动一圈时，在F(s)平面上，F(s)沿 曲线按逆时针方

4、向包围坐标原点的圈数R满足下式：二、奈奎斯特稳定判据 闭环系统的稳定性取决于系统闭环传递函数的极点即辅助函数F(s)的零点位置，为了应用幅角原理确定s右半平面上F(s)的零点数，选择封闭曲线 按顺时针方向包围了s平面的整个右半平面，即封闭曲线 是由图中所示的虚轴和半径R半圆组成。 幅角原理表达式中的P和Z则分别表示辅助函数F(s)位于右半s平面的极点和零点数。 鉴于辅助函数F(s)的第三个特点，从下图中可以看出，F(s)曲线按逆时针方向包围坐标原点的圈数R就是开环传递函数G(s)H(s)曲线按逆时针方向包围点(-1, j0)的圈数。 FGH001(-1, j0) 按顺时针方向包围了s平 面的整

5、个右半平面的 曲线 由三部分组成。第一部分是正虚轴，即 第二部分是半径为无穷大的右半圆；第三部分是负虚轴，即 在此，幅角原理表达式R = P Z 中的R、P和Z分别有如下含义：R奈氏曲线即s沿虚轴-j到+j取值，频率特性G(j)H(j)的幅相曲线逆时针包围临界点(-1, j0)的圈数； P辅助函数F(s)的右半s平面极点数，即开环传递函数在右半s平面的极点数；Z辅助函数F(s)的右半s平面零点数，即闭环传递函数在右半s平面的极点数。奈氏判据 反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点(-1, j0)的圈数 R 等于开环传递函数右半s平面极点数 P ，即R=P ；否则闭环系统不稳定，闭

6、环正实部特征根的个数 Z 为： 例7 若两个单位反馈系统的开环传递函数分别为三、开环系统含有积分环节时奈氏判据的应用小半圆的表达式为 开环系统含有积分环节时的幅相曲线的绘制方法为：开环系统中v=1、2、3的幅相曲线 为了简单起见，用奈氏判据判断闭环系统的稳定性时，通常只需要绘制从0到+时的开环幅相曲线，然后按其包围(-1, j0)点的圈数N(逆时针方向包围N为正，顺时针方向包围N为负)和开环传递函数在右半s平面的极点数P，根据公式 ，确定闭环特征方程正实部根的个数。若Z等于零，闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定。 通过确定开环幅相曲线在(-1, j0)点左侧负实轴上的穿越次数而获得N的方法。

7、如果用 表示正穿越次数与半次正穿越次数的和，用 表示负穿越次数与半次负穿越次数的和，则开环幅相曲线逆时针包围(-1, j0)点的圈数为例9例10 已知系统开环传递函数为试用奈氏判据判断当 时系统的稳定性。解 稳定不稳定临界稳定四、对数频率稳定判据 对数频率稳定判据实际上是奈奎斯特稳定判据的另一种形式，它是利用开环系统的对数频率特性来判别闭环系统的稳定性。由于开环对数频率特性又可以通过实验获得，因此，在工程上获得了广泛的应用。 将奈奎斯特稳定判据引申到Bode图上，以Bode图的形式表现出来，就成为对数频率稳定判据。 两种特性曲线之间存在的对应关系： 幅相频率特性图上的单位圆对应对数频率特性图上

8、的0分贝线，即对数幅频特性曲线的横坐标。 幅相频率特性图上的负实轴对应于对数相频特性图上的-180线。对数频率稳定判据表述如下： 一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数Z，可以根据开环传递函数右半s平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频特性曲线与-180线的正负穿越数之差 确定，Z=P - 2N。Z为零，闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定。例11 用对数频率稳定判据判断系统的稳定性5-5 稳定裕度 控制系统稳定与否是绝对稳定性的概念。 对一个稳定的系统而言，还有一个稳定的程度，即相对稳定性的概念。 相对稳定性与系统的动态性能指标有着密切的关系。 在设计一个控制系统

9、时，不仅要求它必须是绝对稳定的，而且还应保证系统具有一定的稳定程度。只有这样，才能不致因系统参数变化而导致系统性能变差甚至不稳定。 由于位于临界点附近的开环幅相曲线对系统稳定性影响很大。因此开环幅相曲线靠近(-1, j0)点的程度表征了系统的相对稳定性，它距离(-1, j0)点越远，闭环系统的相对稳定性越高。 系统在频域的相对稳定性即稳定裕度常用幅值裕度和相角裕度来表征。一、稳定裕度的定义1.幅值裕度 系统开环相频特性为 时，系统开环频率特性幅值的倒数定义为幅值裕度。即对于稳定的系统，幅值裕度h1对于不稳定的系统，幅值裕度h1， h(dB)0对于不稳定的系统，幅值裕度h1， h(dB)02.相

10、角裕度 系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性的相角与180之和定义为相角裕度。即 相角裕度 的物理意义是：对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后 度，则系统将处于临界稳定状态。相角裕度从负实轴算起，逆时针为正，顺时针为负。对于稳定的系统，其相角裕度为正，对于不稳定的系统，其相角裕度为负，对于稳定的系统， ，必在-180线以上。 对于不稳定的系统， ，必在-180线以下。 二、稳定裕度的计算1.幅值裕度的计算 方法1：将系统的开环幅相频率特性化为实部和虚部表示，令虚部等于零，求出相位穿越频率 ，代入实部求出与实轴的交点坐标，便可以求解幅值裕度。方法2：根据系统的相频特性 ，用试探

11、法求出相位穿越频率 ，便可以求解幅值裕度。2.相角裕度的计算 截止频率 的确定对计算系统的相角裕度至关重要，求解 较方便的方法是先由开环幅相频率特性绘制对数幅频特性 曲线，由 与0dB线的交点确定。然后便可以求解相角裕度。例12 某单位反馈系统的开环传递函数为计算系统的相角裕度和幅值裕度。解 计算相角裕度计算幅值裕度等式两边取正切： 5-6 闭环系统的频域性能指标 利用开环频率特性分析和设计控制系统是很方便的，但在全面分析系统的控制性能时也常常需要知道系统闭环频率特性的形状和性能指标。 闭环系统的幅频特性曲线的一般形状如图所示。 在图中，闭环幅频特性曲线的低频部分变化比较平缓，但随着的增加，M

12、()不断增大，出现谐振峰值以后将以较大的陡度衰减至零。 闭环幅频特性的特点常用几个特征量来表示，即谐振峰值、谐振频率、带宽频率和剪切速度。这些特征量又称为频域性能指标，它们在很大程度上能间接地反映系统时域响应的品质，与时域性能指标直接有关。 1.谐振峰值 谐振峰值是闭环系统幅频特性的最大值，它反映了系统的相对稳定性。2.谐振频率 谐振频率是闭环系统幅频特性出现谐振峰值时所对应的频率，它在一定程度上反映了系统瞬态响应的速度。谐振频率越大，瞬态响应越快。 3.带宽频率 系统的带宽反映了系统对噪声的滤波特性，同时也反映了系统的响应速度。带宽越大，瞬态响应速度越快，但对高频噪声的过滤能力越差。4.剪切

13、速度剪切速度是指在高频时频率特性衰减的快慢。在高频区衰减越快，对于信号和干扰两者的分辨能力越强。 一、开环频率特性与闭环频率特性的关系单位反馈系统的开环频率特性为闭环频率特性 工程上常采用尼柯尔斯图线，直接由开环频率特性曲线绘制闭环频率特性曲线，这种方法比较方便实用。二、尼柯尔斯图线 尼柯尔斯图线是绘制在对数幅相坐标中，是由闭环频率特性的等 M 轨迹和等轨迹构成的曲线簇，如图所示。 图中横坐标为开环相频特性 度，纵坐标为开环对数幅频特性 dB。 采用尼柯尔斯图线，由开环频率特性确定闭环系统频率特性时，首先要绘制出开环系统的对数幅相频率特性曲线，然后将其重叠在尼柯尔斯图线上，那么开环对数幅相频率

14、特性曲线与等M轨迹和等轨迹的交点，就给出了每一个频率点上闭环系统频率特性的幅值M和相角的数值。 如果开环对数幅相频率特性与等M轨迹相切，则切点就是闭环频率响应的谐振峰值，切点的频率就是谐振频率。第五章小结本章重点： 通过本章学习，应重点掌握频率特性的基本概念、典型环节及系统开环频率特性曲线的绘制和分析方法、控制系统稳定性的频域分析法、系统稳定裕度的概念和计算方法。 线性定常系统在正弦函数作用下，系统的频率响应与输入正弦信号的复数比称为系统的频率特性。 频率特性是传递函数的一种特殊形式，将系统(或环节)传递函数中的复数s 换成纯虚数j，即可得出系统(或环节)的频率特性。 频率特性图形因其采用的坐标不同而分为幅相特性(极坐标图)、对数频率特性(Bode图)和对数幅相特性(Nicols图)等形式。 各种形式之间是互通的，每种形式有其特定的适用场合。 开环幅相特性在分析闭环系统的稳定性时比较直观，理论分析时经常采用；伯德图在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最方便，实际工程应用最广泛。 奈奎斯特稳定判据是频域法的重要理论基础。利用奈氏稳定判据，除了可判断系统的稳定性外，还可引出相角裕度和幅值裕度的概念，对于多数工程系统而言，可以利用相