概率论与数理统计教学课件第二章

1、第二章随机变量及其分布 一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布 三、随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其分布 五、随机变量的函数的分布第一节为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规律, 第二章 有必要将随机试验的结果数量化。随机变量 对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。 人们作随机试验时，常常不是关心试验结果本身，而是对和试验结果联系着的某个数感兴趣。引例 将一枚硬币连抛三次，事件A1为“恰有一次出现正面”，A2为至少有一次出现正面，求P(A1)，P(A2)e: 样本点引例2 测量某灯泡的寿命,令定义：设E是随机试验，它的样本空间为X=X(e)是定义在样本空间上的实值单值函数，

2、称 X 为随机变量。注：如果e本身是数，则令 X = X(e) = e，那么X就是一个随机变量。随机变量定义在样本空间上,定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。2. 随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定的概率；而普通函数却没有。 随机变量的分类：随机变量非离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量其它 随机变量函数和普通函数的区别：1. 定义域不同离散型随机变量及其分布 第二章 一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量第二、三节定义1.若随机变量X的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称X是离散型随机变量。定义2.设离散型随机变量的所有可能取值为,其中事件

3、的概率：一、离散型随机变量的定义eg: 引例1，X=0，1，2，3;火车站候车人数，X=0,1,2, 称为X的概率分布或分布律。分布律也可用如下表格的形式表示：性质：解: 依据分布律的性质P(X =k)0, a0 ,从中解得即例1设随机变量X的分布律为：k =0,1,2, ,试确定常数a .例2、袋中有2个白球和3个黑球,每次从中任取1个,直到取到白球为止，X取球次数，求(1)无放回，(2)有放回情况下X的分布律。解:(1)1234(2) X=1，2，3，, k =1，2，3，例3.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率允许汽车通过,变量表示汽车停车次数(设各信号灯的工

4、作是相互独立的）,求的分布律。解由题意可知的分布律为，则将带入可得的分布律为. (01)分布定义1.如果随机变量的分布律为则称服从参数为的(01)分布。二、常用的离散型随机变量及其分布（重点）（0 1）分布的分布律也可写成注：如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从(0 1)分布的随机变量。 1.伯努利概型 n重独立试验在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。 伯努利概型设随机试验E只有两种可能结果，且,将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验为n重伯努利试验，或称n重伯努利概型。.二项分布n重伯努利试验中, X 事件A发生的次数所以注

5、：定义2.如果随机变量的分布律为则称服从参数为其中记为2、二项分布的二项分布,特别,当时,二项分布为这就是（01）分布，常记为 古典概型与伯努利概型不同，有何区别？请思考： 对于固定n 及 p，当k 增加时, 概率 P( X = k ) 先是随之增加直至达到最大值 , 随后单调减少.当(n+1) p 不为整数时，二项概率P ( X = k ) 在 k =(n+1) p达到最大值；n=10, p = 0.7kPk3、二项分布的图形特点:当(n+1) p 为整数时，二项概率P ( X= k ) 在 k = (n +1) p 和 k = (n+1) p-1处达到最大值.n=13, p = 0.5Pk

6、k0例1、设100件产品中有95件合格品，5件次品，先从中随机抽取10件，每次取一件，X10件产品中的次品数， (1)有放回的抽取，求 X的分布律；(2)无放回的抽取，求 X的分布律；(3)有放回的情况，求10件产品中至少有2件次品的概率。解：(1)A 取得次品，P(A)=0.05,k=0,1,2,3,4,5(3)注：明确告知有放回抽样时，是n重贝努利试验；若没有告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小，可以当作放回抽样。 例2 一大批产品中一级品率为0.2，现随机抽查20只，问20只元件中恰好有为一级品的概率为多少？解设表示20只元件中为一级品的只数，这个试验可以看作伯努利试验。例3

7、 某人射击命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率？解 设表示击中的次数，则所以分布律则所求概率本例题的实际意义： 不可忽视小概率事件，小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件. 反过来看，如果一个人射击400次，击中竟不到两次，由于很小，故怀疑“命中率0.02”是否为真，即他的命中率不到0.02。例4：设发行的彩票中奖率是0.001，假定发行的彩票数量巨大，以至于不论别人是否中奖均不会改变你抽奖时的中奖率。求买n 张彩票能中奖的概率pn 。此外由于中奖率是千分之一，问买1000张彩票中奖概率是否接近于1？彩票中奖问题解：设表示 n 张彩票中中奖的票数，则即则 n

8、 张彩票能中奖的概率为n10002000300040005000pn0.6320.8650.9500.9820.993解：设表示 n 张彩票中中奖的票数，则即买3000张彩票中奖率已达到95%，再多买2000张中奖的概率仅增加了4.3%！例5 80台同类型设备，各台工作相互独立，发生故障的概率，有两种配备维修工人的方法：4个人每人负责20台；3个人共同负责80台。问那种方案好?(比较发生故障而不能及时维修的概率)解 设表示“第一个人维护的20台中同时发生故障的台数”，表示“第i个人维护的20台中发生故障而不能及时维修”，由题意可得 第一个人维护的20台中发生故障而不能及时维修的概率为4个人维护

9、的80台中发生故障而不能及时维修的概率 设表示“80台同时发生故障的台数”则3人维护的80台中发生故障而不能及时维修的概率总之即第种方案的工作效率高。定理1（泊松Poisson定理) 设是一常数，n是正整数，若，则对任一固定的非负整数证明 由得对于任意固定的故有.泊松分布若随机变量 X 的分布律称服从参数为的泊松分布,记为其中 是常数 ,注：二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当时，即为（01）分布；当时，二项分布近似于泊松分布。泊松分布的图形特点：当 n 很大，p 很小时，泊松定理表明：泊松分布是二项分布的极限分布，参数 = n p 的泊松分布二项分布就可近似看成是 在实际计算中,当 n

10、20, p 0.05时, 可用上述公式近似计算; 而当 n 100, np 10 时, 精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二项分布 Possion 公式 k n=10 p=0.1n=20 p=0.05n=40 p=0.025n=100 p=0.01=np=1 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为

11、概率论中最重要的几个分布之一。泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。泊松分布的应用 排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客数 生物存活的个数 放射的粒子数 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊解: 由题意,求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.例1有产品15000件，其中次品 150件，今抽取100件，求有2件是次品的概率。解法一 超几何分布解法二 二项分布为次品率，Xb(100,0.01)解法三 泊松分布例2随机变量的分布函数 第二章 一、分布函数的概念二、分布函数的性质第四节三、离散型分布函数的求法为X

12、 的分布函数。设 X 是一个随机变量，定义1的函数值的含义：上的概率.分布函数一、分布函数的概念是任意实数，则称函数表示 X 落在可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。(1)(2)同理，还可以写出二、分布函数的性质 单调不减性： 右连续性： ，且，则上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。解:例1. 已知随机变量X 的分布律为求分布函数当 时, 当 时, 当 时, 所以，解 (1) 当时， 当时，则例2 设随机变量X 的分布律为求(1) X 的分布函数；(2) 当时，则 当时，为必然事件，则所以离散型的分布函数为阶梯函数；xk为间断点；(2)一般地，设离散型随机变

13、量的分布律为由概率的可列可加性得的分布函数为例3 已知离散型随机变量 X 的分布函数为求 X 的分布律。解 X 的可能取值为 3，4，5。所以 X 的分布律为试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.例4 设有函数 F(x) 解 注意到函数 F(x)在 上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的分布函数.或者例5、 向0,1区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标.特别,令解：长度成正比，求 X的分布函数.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间当 时,当 时,当 时,作 业P42 习题2.42，3连续型随机变量及其分布 第二章

14、 一、连续型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量第五、六节一、连续型随机变量的定义定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负，使对任意实数x,有则称 X为连续型随机变量，称为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。常记为函数1. 概率密度2. 概率密度的性质 非负性 归一性由于可由下图表示f (x)x面积为1这两条性质是判定一个函是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件。数 对于任意实数，有这是因为这里事件并非不可能事件，但可见由，不一定能推出由，不一定能推出称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件. 对于任意的数有f (x)x连续型随机变量 X 落在某区间上的概

15、率在该区间上的改变量在该区间上的积分(与端点是否在内无关)图中阴影部分 分布函数上连续，且密度函数不唯一（在个别点的值可不同）。 若概率密度在点处连续，则有即如果把概率理解为质量， 故 X 的密度上的概率与区间长度之比的极限。这里，相当于线密度。区间在这一点的值，恰好是 X 落在这表示 X 落在小区间上的概率近似地等于若不计高阶无穷小，有：在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。的高度反映了随机点集中在该点附近的密集程度.要注意的是:密度函数并不是的概率.但是这个高度越大，则X 取附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线f(x)0 x1在某点处 的高度例

16、1、设连续型随机变量 X的概率密度为求 A的值，解：例2、求常数 a,b,及概率密度函数 f (x)。解：例3、，求A , B 及 f (x)。解：注：例4设 X 是连续型随机变量，其概率密度为求 常数 A； ； X的分布函数。解 由得则 当时，当时，得当时，所以由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.例5 设随机变量X的概率密度函数为：求随机变量X的分布函数。解：根据连续型随机变量的分布函数的积分表示得综上得分布函数为：分布函数离散型r.v的分布函数连续型r.v的分布函数分布函数的性质概率分布律概率密度随机变量的统计规律作 业P46 习题2.52，4 二、常用的连续型随机变量定义、

17、 若 连续型随机变量 X 的概率密度为：则称 X 服从 a, b上的均匀分布，X U a, b1、均匀分布记作：f (x)的图形分布函数为:abxF (x) 01图形如下因为由此可得，如果随机变量 X 服从区间上的均匀分布，则随机变量 X 在区间上的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。均匀分布的概率背景解依题意， X U 0, 30 以7:00为起点0，以分为单位随机变量 例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X 是7:00 到 7:30 之间的均匀,试求他候

18、车时间少于5分钟的概率.所求概率为：即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3。例2、 设随机变量X 服从1，6上的均匀分布，求一元二次方程有实根的概率。解因为当时，方程有实根，故所求概率为从而2、 指数分布定义、若随机变量X 的概率密度为：指数分布。为常数，则称随机变量X服从参数为其中的分布函数：概率密度的图形解(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两.电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布例3(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。年的概率为多少？由已知得 X 的概率密度为由、结果得：指数分布具有无记忆性，即若 X (),则故又把指数分布称为“永远年轻”的分布。指数分布的“无

19、记忆性”事实上命题解 (1)例4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生 故障的次数 , 求 相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布; 设备已正常运行小时的情况下，再正常运行 10 小时的概率.即(2)由指数分布的“无记忆性”例4 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟)X 服从参数为的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行5次， 以 Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率解Y是离散型，其中现在 X 的概率密度为 正态分布例：在大量重复试验中，得到一组数据，这组数据虽然有波动，但总是以某个常数为中心。偏离

20、中心越近的数据越多；偏离中心越远的数据越少。取值呈“中间大、两头小”的格局，即取值具有对称性。此随机变量是一个服从正态分布的随机变量。正态分布的重要性正态分布可以作为许多分布的近似分布大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布。正态分布有许多良好的性质.正态分布在十九世纪前叶由高首次露面。德莫佛最早发现了二项分布概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的斯加以推广和应用，所以通常称为高斯分布。德莫佛高斯. 正态分布的定义定义1 设连续型随机变量的概率密度为其中为常数，则称 X 服从参数为的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为定义2 当时，X 的概率密度为则称 X 服从标准正态分布，记为的图

21、形如下图所示以上钟形曲线叫做正态曲线，故满足以下特性。x0. 正态分布概率密度的几何形态（性质）证？计算（利用高数知识）令，则设，故，故代入得可以直接引用 曲线关于对称，有（如下图）这表明对于任意 当时，f (x) 取得最大值x离越远，f (x) 的值就越小。 曲线在处有拐点；曲线以轴为渐近线， 若 固定，而改变的值，则 f (x) 的图形沿 x 轴平行移动，但不改变其形状，因此定。（如右图）的图形的位置完全由参数所决决定了图形中峰的陡峭程度， 正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，是不同的正态分布。称为形状参数。. 正态分布的分布函数 设，X 的分布函数是 而，即 X 服从标准正态分布的分布的分布函数为x0 x-x当x 时,可直接查表求当x 0 时，当a 0 时，故解 先求 Y =2X +8 的分布函数设随机变量X 具有概率密度：例4试求Y =2X +8 的概率密度 得 Y =2X +8 的概率密度为例5 已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 fY (y)解：分布函数法yy当 y 0 时，故设X U(-1,1)，求Y=X 2的分布函数与概率密度。练习1解 由已知得当y0时，; 当y1时，当0y1时，练习2解: 由题意可知的取值范围为 定理 设随机变量 X 具有概率密度则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为其中 h(y) 是 g(x