概论与统计教学课件第四章-随机变量的数字特征

1、第四章、随机变量的数字特征第一节：数学期望第二节：方差第三节：协方差及相关系数第四节：矩、协方差矩阵 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 考察居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入， 又要研究贫富之间的差异程度； 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .而所谓的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点。

2、在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数、原点矩和中心矩第一节 数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质引例：某射手射击10次， 射击成绩如下：1.1 离散型随机变量的数学期望击中环数 xi 次数 8 9 10 3 1 6则他每次射击平均命中的环数为： 若令 fi 表示频率，则上式可表示为 由概率的统计定义知道，在大量试验下， 频率 fi稳定于概率 pi，以频率为权数的加权平均值从而稳定于第一节 数学期望定义1.1：设离散型随机变量 X 的概率函数为 P (X =xk ) = pk k=1, 2, 若级数 绝对收敛，则称此

3、级数的和为 X 的数学期望。简称期望或均值。记作 EX，即如果级数 发散，则称 X 的数学期望不存在。说明 级数 的和应与求和次序无关，因而要求绝对收敛.以概率为权数的加权平均值离散型随机变量数学期望的求法-用定义例1：已知随机变量 X 分布如表 所示, 求: EX.EX = 60.7 + 5.40.1 + 50.1 + 40.06 + 00.04 = 5.48解：例2：掷一枚均匀的骰子，用 X 表示出现的点数，求 EX.解：X 的概率函数为 P(X=k)=1/6 ，k=1, 2, 3, 4, 5, 6EX= 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04P 6 5.4 5 4 0X例3 （0-1

4、）分布的数学期望X服从0-1分布，其概率分布为XP0 11-p p若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则EX = p概率函数为：例4 泊松分布的数学期望若X 服从参数为 的泊松分布， 则EX = 例5 二项分布的数学期望设 X B(n, p)，概率函数为若X 服从参数为 n,p 的二项分布， 则EX = np记为定义1.2：设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x)，若积分 绝对收敛，则称积分 为 X 的数学期望。1.2 连续型随机变量的数学期望数学期望的求法-用定义例1:计算在区间a, b上服从均匀分布的随机变量 X 的数学期望.解：均匀分布的数学期望位于区间 a , b 的中点.X

5、的密度函数为 例2：设随机变量 X 服从参数为 的指数分布, 求 X 的数学期望.解：X 的密度函数为 指数分布的数学期望为 .例3：设 X N ( , 2), 求 X 的数学期望.解：正态分布的数学期望为 .例4：设随机变量 X 服从柯西 (Cauchy) 分布，其密度函数为由于1.3 随机变量函数的数学期望 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.

6、 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .一维随机变量函数的数学期望的求法定理1.1：设 X 是一随机变量, Y = g(X)，g(x) 是连续函数,(2) 若 X 为连续型随机变量，其密度函数为 f ( x )，(1) 若 X 为离散型随机变量，其概率函数为求 E Y 时,可以不求Y=g(X ) 的分布,而直接利用X 的分布.例1：设随机变量 X 的分布列为求：EX2，E(2X-1).解：P 1/8 1/4 3/8 1/4X -1 0 2 3解：例2:设X f(x)

7、=,Y = 4X + 1, 求: EY.解：例3:设X f(x)=,Y = sinX , 求: EY.二维随机变量函数的数学期望的求法定理1.2：设 (X, Y) 是二维随机变量, 随机变量 Z = g(X, Y), g(x, y)是二元连续函数，(1) 若 (X, Y ) 为二维离散型随机变量，其联合分布为(2)若 (X ,Y)为二维连续型随机变量, 其联合密度函数为 f ( x , y ) , 且解：求：E(X- Y)，EXY.例1：设 (X, Y) 的联合分布为Y X 0.10.20.1013210.20.10.3E(X- Y) = (0-1)0.1 +(0-2)0.2 +(0-3)0.

8、3E(XY) = (0 1)0.1 +(0 2)0.2 +(0 3)0.3+(1 1)0.2 +(1 2)0.1 +(1 3)0.1= 0.7 +(1-1)0.2 +(1-2)0.1 +(1-3)0.1= -1.7 解：例2：设 (X,Y) 的联合密度为求：E(-3X+2Y), EXY.EXYE(-3X+2Y)（1）设(X , Y )为二维离散型随机变量，其分布律为 P (X = x i ，Y= y j ) = p i j (i , j = 1, 2, )其边缘分布律为定理1.3则(2)若 (X ,Y)为二维连续型随机变量, f ( x , y ) , f X(x) , f Y(y) 分别为(

9、X ,Y)的概率密度与边缘概率密度，则解：例(P92例10）：设 (X,Y) 的联合密度为求：Z=X，Z=XY，Z=max(X,Y)的数学期望.EZ=EXYEZ=EXEZ=Emax(X,Y)性质1：常数的期望就是这个常数本身, 即 E(C) = C.1.4 数学期望的性质证： 常量 C 可看作仅取一个值 C 的随机变量,且取值 C 的概率为 1,即 X 的分布为 P(X = C) = 1, 其数学期望为推论：E(EX) = EXE(C) = C 1 = C性质2：随机变量 X 与常量 C 之和的数学期望等于 X 的期望与 这个常量 C 的和，即 E(X + C) = EX + C.证：X为离散

10、型时:X为连续型时:设 X 的分布为 pk , 则设 X 密度函数为 f(x) , 则性质3：常量 C 与随机变量 X 的乘积的期望等于 C 与 X 的期望的乘积，即 E(CX) = CEX.证：性质4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期 望的同一线性函数，即 E(kX+b) = kEX + b.证： E(kX+b) = E(kX) + b = kEX + bX为离散型时:X为连续型时:设 X 的分布为 pk , 则设 X 密度函数为 f(x) ,则性质5：两个随机变量之和(差)的数学期望等于这两个随机变量数学期望之和(差) , 即 E (X Y) = EX EY.证： (X, Y

11、)为离散型时: 设 (X, Y) 的联合分布为 pij , 边缘分布分别为 pi(1) 和 pj(2) , 则 (X, Y)为连续型时：设 (X, Y) 的联合密度函数为 f (x, y), 边缘密度函数分别为 f X (x)和 f Y (y), 则推论: 设随机变量 Xi (i=1, 2, , n), 有更一般地，有对任意常数 Ci (i=1, 2, , n) 及随机变量 Xi (i=1, 2, , n), 有特别地，即 n 个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量，其期望值等于这 n 个随机变量期望的算术平均数。性质6：两个相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积, 即 E(XY

12、) = EX EY证： (X, Y)为离散型时:设 (X, Y) 的联合分布为 pij , 边缘分布分别为 pi(1) 和 pj(2) , 则 (X, Y)为连续型时：设 (X, Y) 的联合密度函数为 f (x, y), 边缘密度函数分别为 f X (x)和 f Y (y), 则数学期望性质的应用举例例1：设随机变量 X 的分布列为求：E(2X-1).解：P 1/8 1/4 3/8 1/4X -1 0 2 3解：例2:设X f(x)=,Y = 4X + 1, 求: EY.或EX = 90.3+100.5+110.2 = 9.9例3：两相互独立的随机变量 X, Y 的分布如下面两表所示。EY2

13、 = 620.4+720.6 = 43.80.20.50.3P11109X0.60.4P76Y求：E(X+Y) 、 E(XY) 和 EY 2E(XY) = EX EY = 9.96.6 = 65.34E(X +Y) = EX + EY = 9.9+6.6=16.5EY = 60.4+70.6 = 6.6解：因 X 与 Y 相互独立，所以 解：利用性质：求：E(X-Y).例4：设 (X, Y) 的联合分布为Y X 0.10.20.1013210.20.10.30.40.30.3P321Y 0.40.6P10X EX =00.6+10.4=0.4 EY =10.3+20.3 +30.4=2.1 E

14、(X-Y)=EX- EY=0.4-2.1=-1.7X与Y的分布为：按公式解：E(X- Y) = (0-1)0.1 +(0-2)0.2 +(0-3)0.3 +(1-1)0.2 +(1-2)0.1 +(1-3)0.1= -1.7 例5 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车次数，设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立，求X的数学期望.若设则 X= X1+X2+X10i=1,2，10因为任一旅客不在第i站下车的概率为9/10 ，所以，20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20 ，而在第i站有人下

15、车的概率为1-(9/10 )20 ，即于是所以小结： 本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义. 这一节，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 接下来的一节中，我们将学习随机变量另一个重要的数字特征：方差第二节 方差 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看

16、到这个数字特征就是我们这一节要介绍的方差 能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.2.1方差的定义定义：如果随机变量 X 的数学期望 EX 存在，称 X - EX 为 随机变量 X 的离差.定义2.1：设 X 是随机变量，且 EX 存在，若 E(X-EX)2存在，则称 E(X-EX)2 是 X 的方差，记作 DX 或 VarX，即 离差平方的数学期望DX=VarX=E(X-EX)2若X的取值比较分散，则方差DX较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .若X的取值比较集中，则方差DX较小；

17、因此，DX是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。若X的取值比较分散，则方差DX较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .若X的取值比较集中，则方差DX较小；因此，DX是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。X为离散型，分布率PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=X-E(X)2 的数学期望 .方差的计算X为连续型，X概率密度f(x)计算方差的一个简化公式:证： DX = E(X-EX)2= EX2 - 2XEX + (EX)2= EX2 - E(2XEX) + E(EX)2= EX2 - 2EXE(X

18、) + (EX)2= EX2 - (EX)2DX = EX 2 - (EX)2展开利用期望性质解： EX = 0.2 EX2 = (-10)20.2+(-5)20.2+120.2+520.2+1020.2 =50.2DX = EX2 - (EX)2 = 50.2 - 0.22 = 50.16例1：X 有如下分布律:求：DX .0.20.20.20.20.2P1051-5-10X 2x 0 x 0, 令随机变量则X 的标准化随机变量.P99 Ex2方差性质的应用举例例: 设XB(n,p)，证明：EX=np，DX=npq.且 Xi 服从参数为 p 的 0-1 分布，作 n 重贝努里实验, 每次试验

19、中事件 A 发生的概率为 p, 随机变量 X 表示“n重贝努里试验中事件 A 发生的次数”, 则 XB(n, p).假设第 i 次试验时事件 A 发生的次数为 X i ,因此有 EXi = p , DXi = pq , X1, X2, , X n 独立则 X = X 1+ X 2 + + X n ,例: 设XN(,2)，求：DX.解 令随机变量又EY=0,所以，例如,常见随机变量的分布及其期望值和方差分布名称概率函数或密度函数期望方差0 1 分布二项分布几何分布普哇松分布P(X=k) = (1-p) k -1p (k =1,2,)P(X=k) = pkq1-k (k = 0, 1)ppq常见随

20、机变量的分布及其期望值和方差分布名称概率函数或密度函数期望方差均匀分布指数分布正态分布例1: 假定每个人的生日在各个月份的机会是相同的，求 3 个人的生日在第一季度的平均人数.解：每个人的生日在第一季度的概率用 X 表示三个人中生日在第一季度的人数，则 X B(3, ) , 例2: 设 X 的概率函数为 ， 求 EX 及 DX .解：即 X 服从参数为 的几何分布，例3: 设 X 的密度函数为 求 E(2X+1) 及 D(2X+1) .解：X 服从参数为 的指数分布，E(2X+1) = 2EX+1 = 5D(2X+1) = 4DX = 16例4: 设 X 的密度函数为 ， 求 EX 及 DX

21、.解：则 X N(1 , 1/2) ,EX = 1, DX = .第三节 协方差及相关系数 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数3.1 协方差定义3.1 设二维随机变量 (X, Y) , 若 E(X- EX)(Y- EY) 存在, 称它为X 与 Y 的协方差. 记作 Cov(X, Y), 即显然： Cov(X, X) = DXCov(X, Y)= E(X - EX)(Y - EY)协方差的定义D(XY)=DX+DY2E(X-EX)(Y-EY)说明证明：

22、 Cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY) = E( XY XEY YEX + EXEY ) = E(XY) E(XEY) E(YEX) + E(EXEY) = EXY - EXEY1o 若 X 与Y 独立，则 Cov(X ,Y) = 02o 对 X与 Y 有: D(X Y) =DX+DY 2Cov(X ,Y)协方差的计算公式Cov(X, Y) = EXY - EXEY性质4： Cov(X1+ X2, Y) =Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)协方差的性质性质2： Cov(X,Y) = Cov(Y, X) 性质3： Cov(aX, bY) = abCov(X,Y)设 a , b

23、, c 都是常数，Cov(X,Y) = E (X- EX)(Y- EY)性质5： D(X Y) = DX + DY 2Cov(X,Y)性质1： Cov(X, X) = DX D(aX bY) = a2DX + b2DY 2abCov(X,Y)性质6：若X 与 Y 独立， 则Cov(X,Y)= 0 .例1：设二维随机变量 (X, Y) 的联合分布如右表所示, 求 Cov(X, Y).XY -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8X -1 0 1P 3/8 2/8 3/8Y -1 0 1P 3/8 2/8 3/8解: X, Y 的边缘分布：EX

24、 = (-1)3/8 + 02/8 + 13/8 = 0,Cov(X, Y) = E(XY) - EXEY = 0但 P(X= 0, Y= 0) P(X=0) P(Y=0), X与Y不独立. X 与Y 独立Cov(X, Y) = 0EY = 0= 0？解：由定理1.3，得例2：设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合密度为： 求： Cov(X, Y).定义3.11：对于二维随机变量 (X, Y), Cov(X, Y)存在, 且DX 0, DY 0, 则称 为 X 与 Y 的相关系数,记作 X,Y 或简记作 .即：3.2 相关系数Cov(aX,aY) = a2Cov(X,Y)相关系数的定义例1

25、：已知 DX = 25 , DY = 36 , = 0.4 ,求 D(X+Y) , D(X-Y) , D(2X+3Y).解:D(X + Y) = DX + DY + 2Cov(X , Y) = 25 + 36 + 212 = 85D(X - Y) = DX + DY - 2Cov(X , Y) = 25 + 36 - 212 = 37D(2X +3Y) = 4DX + 9DY + 12Cov(X , Y) = 100 + 324 + 1212 = 568例2：设二维随机变量 (X , Y) 的联合分布如右表所示, 求 X ,Y 解：可求出X ,Y的边缘分布：X 1 2P 0. 3 0.7Y -

26、1 0 1P 0.3 0.6 0.1 EX = 10.3+20.7 = 1.7 , EY = -0.2Cov(X ,Y) = E(XY) - EX EY = - 0.5 -1.7(- 0.2) = - 0.16X Y -1 0 1 1 0 0.2 0.1 2 0.3 0.4 0相关系数的性质性质 1：设随即变量 X 与 Y 的相关系数为 , 则 | | 1.性质 2：设 是 X 与 Y 的相关系数，则 | | = 1 的充要条件是 X 与 Y 以概率 1 存在线性关系. 即存在常数 a , b, 使得 P (Y = aX + b) = 1| | = 1 = 1 完全正相关称 X 与 Y 完全线

27、性相关 = -1 完全负相关| | 1X 与 Y 之间线性相关的程度将随着 | | 的减少而减弱。| | = 0称 X 与 Y 不相关或零相关.由此可见相关系数 是刻划随机变量之间线性关系强弱的特征数即 X 与 Y 不线性相关.注1: = 0 表明 X 与 Y 无线性关系 , 而不是 X 与 Y无任何关系(独立).分析：独立无任何关系无线性关系无非线性关系 = 0注2：对随即变量 X 与 Y ，下列结论是不相关的等价命题： X 与 Y 不相关( =0)D(XY) = DX+DYEXY = EXEYCov(X ,Y) = 0注3: X 与 Y 独立 ，则 X 与 Y 不相关（ = 0 ）. 但反之不一定成立.特别地：若 (X, Y) N( 1, 2, 12, 22, ) 时,X 与 Y 独立 X 与 Y 不相关（ = 0 ）例: 设随机变量 0 , 2 上的均匀分布, 又有 X = sin , Y = cos , 求： XY . 解： 的密度函数为: X Y = 0结论： X Y = 0, 即 X 与 Y 不相关，但明显有 X2 + Y 2 = 1 ， 这说明了 X 与 Y 存在非线性关系，这时 X 与 Y 不独立.小结 这一节我