工学第5章-常微分方程课件

1、常微分方程及差分方程第一节 微分方程的概念第二节 常见的一阶微分方程第三节 高阶微分方程第四节 欧拉方程第五节 微分方程的应用第六节 差分方程简介第1页，共59页。微分方程简介 方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等。用微积分描述运动，便得到微分方程。例如描述物质在一定条件下的运动变化规律；某个物体在重力作用下自由下落时距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行的轨道等。微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布贝努利、

2、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。第2页，共59页。微分方程简介常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。第3页，共59页。微分方程简介利用微分方程可以精确地表述事物变

3、化所遵循的基本规律，有了解方程的方法。它也就成了最有生命力的数学分支。常微分方程的特点：求通解 与特解 常微分方程的应用：自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研 究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就。第4页，共59页。第一节 微分方程的概念一.实例例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标,求此曲线方程.设曲线方程为 y = y(x),则例2. 质量为m的物体垂直上抛, t =0 时,初始位移和初速度分别为求物体的运动规律.设运动

4、方程为S=S(t),则两次积分分别得出:条件代入:第5页，共59页。二. 概念1. 微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例)未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章内容2. 阶:未知函数的最高阶导数的阶数.例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程.n阶方程一般形式:必须出现3. 解:如果将函数 y=y(x) 代入方程后恒等,则称其为方程的解.如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同通解不含任意常数的解特解必须独立n阶方程通解一般形式:第6页，共59页。4. 定解条件或初值条件:确定通解中任意常数值的条件.定解条件的个数要和阶数相同,才能

5、确定唯一特解！.5. 几何意义:通解积分曲线族特解积分曲线例:验证 是 的通解对 用隐函数求导法得:故 是方程的解,且含有一个任意常数.通解第7页，共59页。第二节 几种常见的一阶微分方程本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型.一阶微分方程的一般形式我们研究的形式一、可分离变量的微分方程(1)解法:1.分离变量:2.两边积分:3.得出通解:只写一个任意常数第8页，共59页。例:任意常数,记为C绝对值号可省略定解条件代入:C=2故特解为:第9页，共59页。二.齐次方程如果方程(1)可化成:齐次方程解法:令 化成可分离变量方程.例:第10页，共59页。*可化为齐次方程的方程 解法：若 则先令 求

6、出解 再作变量代换 于是原方程化为齐次方程.若作变量代换，原方程化为可分离变量的方程.第11页，共59页。 例 解方程(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0.解得x0=1,y0=1第12页，共59页。三.一阶线性方程一般形式:(2)(3)一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程自由项方程(3)是可分离变量方程,其通解为:方程(2)的通解常数变易法设(2)的通解:代入方程(2):第13页，共59页。则方程(2)的通解:(4)注:1. 一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4) 计算皆可;.2. 公式(4)中不定积分只求一个原函数即可;3.非齐次方程的特解齐次方程的通解非齐次方程解的

7、结构例:第14页，共59页。例: 求方程 满足初始条件 的特解.将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程:由 得:故所求特解为:第15页，共59页。四.伯努利方程一般形式:当 n= 0 或1时,这是线性方程.当 时,可以化成线性方程:两端同除以令则关于 z 的线性方程求出通解后再还原回 y第16页，共59页。例:两端同除以令代入通解为第17页，共59页。五.全微分方程对于微分方程则通解为全微分方程注:(1).当P(x,y),Q(x,y)在单连域D内具有一阶连续偏导数,且时,上述方程为全微分方程.(2).(3). 对于非全微分方程,有时可以找到函数 , 使得全微分方程积分因子(4). 观

8、察法往往很实用.第18页，共59页。例:因为全微分方程取解法一:解法二:第19页，共59页。例:非全微分方程由于则 是积分因子,同乘以积分因子并积分得通解:易知 也是积分因子例:非全微分方程变形则 是积分因子,第20页，共59页。注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型例:视 x 为 y 函数,可化成线性方程通解为:第21页，共59页。思考第22页，共59页。第23页，共59页。第24页，共59页。第三节 高阶微分方程一、可降阶的微分方程-变量代换法两边积分:连续积分n次得出含有n个任意常数的通解.1. 型方程再积分:例:逐次积分得:第25页，共59页。2. 型方程令 ,则方程变为:解出这

9、个一阶方程的通解:则原方程的通解为:例:令 ,则方程变为:解得:第26页，共59页。例:令 ,则因为则因为所求特解为:第27页，共59页。3. 型方程令 ,方程变为:解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解:则原方程的通解为:例:则令 ,则方程变为:即:或者第28页，共59页。的通解为:其通解为:即其通解为:例:令 ,则方程变为:即:此题看作类型二和类型三皆可,经过尝试用前者简单第29页，共59页。练习第30页，共59页。第31页，共59页。二、 高阶线性微分方程解的结构一般形式:当 时,当 时,n阶线性非奇次方程n阶线性奇次方程下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.第32页，共5

10、9页。1. 二阶线性奇次方程解的结构一般形式:显然, y = 0 是(2)的解.平凡解讨论非平凡解:定理. 如果 是(2)的两个解,则 也是(2)的解,其中 为任意常数.证明:由于 是(2)的两个解,所以将 代入(2)的左端:第33页，共59页。则 也是(2)的解.注意: 不一定是通解.例如:是(2)的解,则 也是(2)的解.此时不是通解函数的线性相关和线性无关设 为定义在 I 上的 n 个函数,如果存在n个不全为零的常数 ,使得线性相关否则,线性无关第34页，共59页。例如:线性相关在任意区间I上:取线性无关要使 ,必须对于两个函数:如果它们之比为常数,则线性相关;否则,线性无关定理5.3.

11、1 若 是(2)的两个线性无关的特解,则 是(2)的通解, 为任意常数.例如:是它的特解,线性无关通解第35页，共59页。2. 二阶线性非奇次方程解的结构一般形式:定理5.3.2 若 是(3)的一个特解, 是(3)对应的奇 次方程(2)的通解,则 是(3)的通解.则 是(2)的通解.而 是(3)的一个特解证明:由于Y是(2)的的通解,所以将 代入(3)的左端:注意: Y 中含有两个任意 常数,因此 y 是通解.第36页，共59页。注:当(3)式的自由项为几项之和时,特解如何求出?证明:定理5.3.3 若 分别是 的特解,则 是方程的特解.将 代入(4)的左端:则 是(4)的解.第37页，共59

12、页。第38页，共59页。3. 二阶常系数线性奇次方程一般形式:p,q为常数分析由方程特点假设将 代入(1)得:当 满足(2)时, 是(1)的一个特解.特征方程特征根根据特征根的三种不同情形,方程(1)的通解有三种情形.第39页，共59页。1.特征根为相异实根 :是(1)的两个线性无关的特解,则(1)的通解为2.特征根为二重根 :是(1)的一个特解,求另一个线性无关的特解.设 代入方程(1):取得到另一个线性无关的特解则(1)的通解为第40页，共59页。线性无关特解3.特征根为共轭复根:是(1)的两个特解,则(1)的通解为例:则通解为第41页，共59页。例:则通解为则特解为例:则通解为第42页，

13、共59页。注:上述解法可推广到 n 阶常系数线性奇次方程:特征方程第43页，共59页。例:则通解为4. 二阶常系数线性非奇次方程一般形式:p,q为常数由解的结构可知, (4)的通解是:故只要求出(4)的一个特解 .待定系数法n 次多项式与指数函数乘积待定多项式第44页，共59页。(1).当 不是特征根时:因此取(2).当 是特征单根时:因此 是 m次多项式, 是m+1次多项式,第45页，共59页。例:求 的一个特解. 由于 不是特征根,则设将 代入方程得:则一个特解为(3).当 是特征重根时:因此 是 m次多项式, 是 m+2 次多项式,第46页，共59页。由于 是特征单根,则设将 代入方程得

14、:则一个特解为因此通解为:例:求 的通解. 则对应的奇次方程的通解为第47页，共59页。2. 型此时设特解为:不是特征根是特征根证明略m 次多项式第48页，共59页。例:求 的一个特解. 则设将 代入方程得:则一个特解为例: 求 的通解. 则对应的奇次方程的通解为第49页，共59页。由于 是特征根,则设将 代入方程得:则一个特解为因此通解为:第50页，共59页。题型解析第51页，共59页。第52页，共59页。第53页，共59页。第54页，共59页。第55页，共59页。第56页，共59页。第四节 欧拉方程和常系数线性微分方程组1.欧拉（Euler）方程的解法形如 其中为常数.特点：各项未知函数导数的阶数恰等