自然科学向量的内积与向量组的正交变换课件

1、定义5.5内积一、向量内积的定义及性质引例1.doc第三节 实对称矩阵的特征值和特征向量第1页，共43页。说明:1. 维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义第2页，共43页。内积的运算性质第3页，共43页。定义5.6 令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质向量的内积满足：上式称为施瓦茨不等式。(在中向量的长度就是对应点到原点的距离)第4页，共43页。单位向量：长度为1的向量称为单位向量，对于中的任一非零向量向量单位化：向量用向量的长度去除，就得到一个单位向量。这一不等式称为柯西布涅夫斯基不等式，它说明中的任意两个向量的内积与它们长度之间的关系。第5页

2、，共43页。解:单位向量夹角第6页，共43页。若一非零向量组中的向量两两正交，即： 则称该向量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法正交的概念定义5.7: 正交向量组的概念定义5.8: （一）正交向量组的概念第7页，共43页。证明:第8页，共43页。（1）正交化，取 ，（二）向量组正交化方法引例2.doc第9页，共43页。（2）单位化(规范化)，取第10页，共43页。上述正交化方法亦可这样表述：取：第11页，共43页。例: 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解: 先正交化，取施密特正交化过程第12页，共43页。再单位化，得规范正交向量组如下第13页，共43页。例解：第14页，共43页。

3、再把它们单位化，取第15页，共43页。几何解释第16页，共43页。例：解：第17页，共43页。把基础解系正交化，即合所求亦即取第18页，共43页。证明定义5.9:四、正交矩阵定理5.9: 为正交矩阵的充要条件是 的列向量都是单位向量且两两正交第19页，共43页。（按列分块）第20页，共43页。推论：若A、B是正交矩阵， 则（1）detA=1或-1：（2）AT（A-1）也是正交矩阵；（3）AB也是正交矩阵；（4）A*也是正交矩阵。 证明（1）A是正交矩阵，（2）或：第21页，共43页。（3）（4）第22页，共43页。例： 判别下列矩阵是否为正交阵第23页，共43页。解：所以它不是正交矩阵考察矩阵

4、的第一列和第二列，由于第24页，共43页。所以它是正交矩阵由于第25页，共43页。例：解第26页，共43页。1将一组向量规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将其正交化，然后再将其单位化2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：第27页，共43页。求一单位向量，使它与正交思考题第28页，共43页。思考题解答第29页，共43页。五、实对称矩阵的特征值和特征向量说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵定理5.11:实对称矩阵对应于不同特征值的 特征向量是正交的。定理5.10:对称矩阵的特征值为实数.(证明从略)第30页，共43页。于是第31页，共43页。它们的重数依次为如果 n

5、 阶实对称矩阵 A 有 m 个不同的特征值第32页，共43页。根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.第33页，共43页。解：例7：对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使 为对角阵.(1)第一步 求 的特征值第34页，共43页。解之得基础解系 解之得基础解系第35页，共43页。解之得基础解系第三步 将特征向量正交化第四步 将特征向量单位化第36页，共43页。第37页，共43页。第38页，共43页。第39页，共43页。于是得正交阵第40页，共43页。1.对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化