概率和数理统计PPT

1、关于概率与数理统计PPT第一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 二 二维随机变量的分布 1 二维随机变量的联合分布定义2.5 设（ X，Y）为二维随机变量，对于任意的x，y， 二元函数 F(x ,y)=p(Xx ,Yy) 称为（ X，Y）的分布函数。或称为 X与Y的联合分布函数 联合分布函数的几何含义： 联合分布函数在点(x , y)处的函数值F(x , y) 就表示随机点落在以(x ,y)为顶点的左下方的无穷矩形区域 (- u x , - x1时，F(x2 , y) F(x1 , y) 对任意固定的 x，当 y2 y1时，F(x , y2) F(x , y1) 第二张，PPT共三十三

2、页，创作于2022年6月oxx1 x2 yy1 y2 (2) 对任意的 x 和 y 都有：0 F(x , y) 1(x , y) xyo (3) 对 x 和 y ， F(x , y) 都是右连续的 (4) 当 x1 x2 ， y1 y2 时，有 P(x1X x2 , y1 0，则 称为在Y=y j 条件下随机变量X的条件分布（或条件概率函数）同样，对于固定的 i ，若 P (X = x i ) 0，则称为在X=x i 条件下随机变量Y的条件分布（或条件概率函数）第十一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月在 X =2的条件下,Y的条件分布为：=1/3例：（ X , Y）的联合概率分布11Y

3、X01/ 121/ 61/ 61/ 61/ 61/ 1201/ 62332P(X=2)=1/6+1/6+1/6=1/2 在Y =1时 , X 的条件分布解：1 P(Y|X=2)Y 1/31/31/332=1/3=1/3求：在X =2时 , Y 的条件分布 在Y =1的条件下, X的条件分布为1 P(X|Y =1)X 2/31/30324 随机变量X , Y的独立性离散型随机变量X , Y 独立的充要条件是对一切 i , j = 1, 2, 都有 pi j = pi（1） pj（2）如上例：随机变量 X , Y不相互独立。即： P(X = x i ,Y= y j )=P (X = x i ) P

4、(Y= y j ) (i , j = 1, 2, )因： P(X=1,Y=1)=0P(X =1 )=1/4, P(Y=1 )=1/4 P(X=1,Y=1) P (X =1 ) P(Y=1 )第十二张，PPT共三十三页，创作于2022年6月二维连续型随 机 变 量第十三张，PPT共三十三页，创作于2022年6月定义2.7： 设二维随机向量(X ,Y)的分布函数为 F(x , y)。 如果存在非负可积函数 f (x , y)，使得2.6.3 二维连续型随机变量则称 (X , Y) 为二维连续型随机变量，f (x, y) 称为 (X , Y ) 的联合概率密度函数，或简称联合密度。1 联合密度函数

5、二维连续型随机变量的联合密度的基本性质(1) f (x, y) 0 x , y R(2)第十四张，PPT共三十三页，创作于2022年6月给出联合密度 f (x, y) 后，事件 (X ,Y) G的概率都可用二重积分表示，然后化为累次积分计算 OxyabG 1(x) 2(x)当 G 为长方形时，OxyabGcd将“”改为“”上式仍然成立。例：(均匀分布)设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度： f (x, y) =c, ( x , y) G 0 , 其他求： 常数 c 解第十五张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例：设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度： f (x, y) =ce - 3

6、(x + y), 0 x + , 0 y +0 , 其他求：(1) 常数 c ; (2) 联合分布函数 F(x , y) ; (3) (X ,Y)落入右上图所示三角形区域 G 内的概率。解OxyG11x+y=1c = 9(2)当 0 x + , 0 y + 时当 x , y 不都大于0 时=(x , y) xyo第十六张，PPT共三十三页，创作于2022年6月求：(1) 常数 c ; (2) 联合分布函数 F(x , y) ; (3) (X ,Y)落入右上图所示三角形区域 G 内的概率。例：设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度： f (x, y) =ce - 3(x + y), 0 x +

7、, 0 y +0 , 其他解：(3)Oxy1y=1-x1x1- x 0 0 1 第十七张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 设二维连续型随机变量(X ,Y)联合密度为 f (x , y) ，则其边缘分布函数为若记则显然 fX (x) 0，并且对任意实数 x，都有f X (x) 是 X的密度函数，称 fX (x) 是 (X ,Y)关于X 的边缘密度函数。 把称为(X ,Y)关于Y的边缘密度函数。 2 边缘密度函数求：边缘密度函数 例：设(X ,Y)具有概率密度： f (x, y) =9e - 3(x + y), 0 x ，y 0时 fX (x) =3e - 3x , 0 x +0 , 其他

8、 fY (y) =3e - 3y , 0 y R时当 x R时 0 x R 0 y R第十九张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 二维正态分布 若二维连续型随机向量 (X,Y) 的联合密度为其中 1 , 2 , 10, 20 ,| |1均为常数，则称 (X , Y) 服从参数为 1 , 2 ,1 , 2 , 的二维正态分布，记作 (X , Y) N ( 1 , 2 , 12 , 22 , ) 。可求出边缘密度函数为：表明，二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。 X N ( 1 , 12 ) Y N ( 2 ,22 ) 第二十张，PPT共三十三页，创作于2022年6月称为在Y=y 条件下X

9、 的条件分布（或条件密度函数）。3 条件密度函数称为在X =x 条件下Y的条件分布（或条件密度函数）。 设二维连续型随机变量(X ,Y)联合密度为 f (x , y) ，边缘密度函数为fX (x) , fY (y) 第二十一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月解： 0 其他例：设 (X, Y) f (x, y)=求：条件密度函数 f (x | y)， f (y | x) 0 其他 0 其他对于满足 y 0，则： 0 其他 0 其他对于满足 x 0，则：第二十二张，PPT共三十三页，创作于2022年6月4 连续型随机变量的独立性 设二维连续型随机变量(X ,Y)联合密度为 f (x , y

10、) ，边缘密度函数为fX (x) , fY (y) ，若f (x , y)= fX (x) fY(y) ，则X ,Y独立例：设 (X, Y) f (x, y)=判断X，Y是否独立 0 其他解： 0 其他 0 其他f (x , y) fX(x) fY(y) ，则X，Y不独立例：设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度： f (x, y) =9e - 3(x + y), 0 x + , 0 y +0 , 其他 fX (x) =3e - 3x , 0 x +0 , 其他 fY(y) =3e - 3y , 0 y +0 , 其他f (x , y)= fX (x) fY (y) ，则X ,Y独立第二十三张

11、，PPT共三十三页，创作于2022年6月例：因为随机变量 X 与 Y 独立，所以对任意实数 x , y 都有设随机变量 X 与 Y 独立，且都服从正态分布，其密度函数为求：(X ,Y) 的联合密度函数。解： (X,Y)N( 1, 2, 12, 22 , 0) 此例说明：若X N( 1,12)，Y N( 2,22)，且X 与Y 独立，则(X,Y) N( 1, 2,12,22 ,0)；若(X,Y) N( 1, 2,12,22,0)，则X 与Y 独立。所以，二维正态随机变量 X 与Y 独立的充要条件是 = 0。第二十四张，PPT共三十三页，创作于2022年6月2.6.5 二维随机变量函数的分布 若存

12、在二元函数 z = g(x, y)，使得对二维随机变量 (X ,Y)的每一取值 (x, y)，随机变量Z 的相应取值为 z = g(x, y)，则称随机变量Z是随机变量 (X ,Y ) 的函数，记作Z = g(X ,Y )。由 (X ,Y ) 的分布求出 Z=g(X ,Y )的分布呢？ 例： Z=X+Y结论 ： 当随机变量 X 与 Y 独立，边缘分布唯一确定联合分布.定理2.3 当随机变量 X 与 Y 独立，则g(X )与h(Y ) 独立.第二十五张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 例：对一块长方形的土地进行测量，用随机变量 X 与 Y 分别表示其长与宽的测量值。已知 (X, Y) 的

13、联合分布如表 6，求土地的面积 Z 的概率函数。 因为 Z=XY ，所以 Z 的可能取值是 20, 20.4, 21, 21.42。解：于是，Z 的概率函数如表 7 所示。20 20.4 21 21.420.2 0.3 0.4 0.1ZP表7 P(Z=20)=P(X=5, Y=4)=0.2 Y X5 4 4.20.2 0.4表65.10.3 0.1 P(Z=20.4)=P(X=5.1, Y=4)=0.3 P(Z=21)=P(X=5, Y=4.2)=0.4 P(Z=21.42)=P(X=5.1,Y=4.2)=0.11 二维离散型随机变量函数的分布第二十六张，PPT共三十三页，创作于2022年6月

14、 例：已知 (X ,Y ) 的联合分布如表 求Z= X + Y 的概率函数。 因为 Z=X + Y ，所以Z 的可能取值是 1,2,3,4,5解：于是， Z 的概率函数如表所示。1 2 3 4 50.1 0.25 0.27 0.38 0ZP表7 P(Z=1)=P(X=0, Y=1)=0.110Y X00.020.180.20.050.20.150.10.11232 P(Z=2) =P(X=0, Y=2)+P(X=1, Y=1)=0.2+0.05=0.25P(Z=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=1, Y=2)+P(X=2, Y=1) =0.15+0.1+0.02=0.27 P(Z=4)=P

15、(X=1, Y=3)+P(X=2, Y=2)=0.2+0.18=0.38 P(Z=5)=P(X=2, Y=3)=0第二十七张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 例：若随机变量 X 与 Y 相互独立，它们都取非负整数值，概率函数分别为 P ( X = k ) = a k (k = 0, 1, 2, ) P ( Y = k ) = b k (k = 0, 1, 2, )求 Z = X + Y 的概率函数。解：(r = 0, 1, 2, ) 此即求独立离散型随机变量和的分布的公式，称为离散型独立随机变量和的卷积公式，亦称为褶积公式。=a 0br+ a 1br-1+ a r b0第二十八张，PP

16、T共三十三页，创作于2022年6月 例：设随机变量 X 与 Y 相互独立，XB(n, p)，YB(m, p)求 Z = X + Y 的分布。 因为 XB(n , p)，YB(m , p)，所以有解：所以，Z = X + Y B (n + m , p)特别当X,Y独立,且 X B (1 , p) ,Y B (1 , p)，即服从同一0-1分布。则X+Y B (2 , p)。结论：(97页) 相互独立的服从同一0-1分布的随机变量的和服从 二项分布。第二十九张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例：设 XP( 1) 与 YP( 2)，且 X 与 Y 独立 求 Z=X+Y的概率函数。 由于泊松分

17、布的随机变量 X 与 Y 可取所有非负整数，故其和Z=X+Y 也只取所有非负整数。对任一非负整数 r ，有：解：这是参数为 1+ 2 的泊松分布。即 Z=X+YP ( 1+ 2)。 这说明两个相互独立的服从泊松分布的随机变量的和仍服从泊松分布，其参数为这两个分布的参数之和。这个事实，通常被称作泊松分布具有可加性。(97页)第三十张，PPT共三十三页，创作于2022年6月2 二维连续型随机变量函数的分布 设二维连续型随机变量(X,Y) 的联合密度函数为 f (x, y)， Z=g(X,Y),求Z的密度函数h(z)。方法第三十一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为 f (x, y)， Z= X+Y,求 Z 的密度函数。