三角函数大题汇编附答案

1、三角函数大题汇编(附答案)1.已知函数f(x)cos x(sin xcos x)eq f(1,2).(1)若0eq f(,2)，且sin eq f(r(2),2)，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间1解：方法一：(1)因为0eq f(,2)，sin eq f(r(2),2)，所以cos eq f(r(2),2).所以f()eq f(r(2),2)eq f(1,2) eq f(1,2).(2)因为f(x)sin xcos xcos2xeq f(1,2)eq f(1,2)sin 2xeq f(1cos 2x,2)eq f(1,2)eq f(1,2)sin 2xeq f(1

2、,2)cos 2xeq f(r(2),2)sin，所以Teq f(2,2).由2keq f(,2)2xeq f(,4)2keq f(,2)，kZ，得keq f(3,8)xkeq f(,8)，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.方法二：f(x)sin xcos xcos2xeq f(1,2)eq f(1,2)sin 2xeq f(1cos 2x,2)eq f(1,2)eq f(1,2)sin 2xeq f(1,2)cos 2xeq f(r(2),2)sin.(1)因为0eq f(,2)，sin eq f(r(2),2)，所以eq f(,4)，从而f()eq f(r(2),2)sineq f

3、(r(2),2)sineq f(3,4)eq f(1,2).(2)Teq f(2,2).由2keq f(,2)2xeq f(,4)2keq f(,2)，kZ，得keq f(3,8)xkeq f(,8)，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.2已知函数f(x)eq r(3)sin(x)的图像关于直线xeq f(,3)对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若feq f(r(3),4) ,，求cos的值2解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而eq f(2,T)2.又因为f(x)的图像关于直线xeq f(,3)对称，所以2eq

4、f(,3)keq f(,2)，k0，1，2，.因为eq f(,2)eq f(,2)，所以eq f(,6).(2)由(1)得feq r(3)sin(2eq f(,2)eq f(,6)eq f(r(3),4)，所以sineq f(1,4).由eq f(,6)eq f(2,3)得0eq f(,6)eq f(,2)，所以coseq f(r(15),4).因此cossin sinsincoseq f(,6)cossineq f(,6)eq f(1,4)eq f(r(3),2)eq f(r(15),4)eq f(1,2)eq f(r(3)r(15),8).3 已知函数f(x)sin(x)acos(x2)，

5、其中aR，.(1)当aeq r(2)，eq f(,4)时，求f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若f0，f()1，求a，的值3解：(1)f(x)sineq r(2)coseq f(r(2),2)(sin xcos x)eq r(2)sin xeq f(r(2),2)cos xeq f(r(2),2)sin xsin.因为x0，所以eq f(,4)x，故f(x)在区间0，上的最大值为eq f(r(2),2)，最小值为1.(2)由eq blc(avs4alco1(fblc(rc)(avs4alco1(f(,2)0，,f（）1，)得eq blc(avs4alco1(cos （12asin ）

6、0，,2asin2sin a1.)又eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，知cos 0，所以eq blc(avs4alco1(12asin 0，,（2asin 1）sin a1，)解得eq blc(avs4alco1(a1，,f(,6).)4已知向量a(m，cos 2x)，b(sin2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图像过点和点.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图像向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图像，若yg(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间4解：(1)由题意知，f(x)msin 2xncos

7、 2x.因为yf(x)的图像过点和点，所以eq blc(avs4alco1(r(3)msinf(,6)ncosf(,6)，,2msinf(4,3)ncosf(4,3)，)即eq blc(avs4alco1(r(3)f(1,2)mf(r(3),2)n，,2f(r(3),2)mf(1,2)n，)解得meq r(3)，n1.(2)由(1)知f(x)eq r(3)sin 2xcos 2x2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).由题意知，g(x)f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2x2f(,6).设yg(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)由题意知

8、，xeq oal(2,0)11，所以x00，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)将其代入yg(x)得，sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,6)1.因为0c.已知eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()2，cos Beq f(1,3)，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值5解：(1)由eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()2得cacos B2，又cos Beq f(1,3)，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B，又b3，所以a2c292213.解eq blc(avs4alco1(ac6，,a2c21

9、3，)得eq blc(avs4alco1(a2，,c3)或eq blc(avs4alco1(a3，,c2.)因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin Beq r(1cos2B)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)sup12(2)eq f(2r(2),3).由正弦定理，得sin Ceq f(c,b)sin Beq f(2,3)eq f(2 r(2),3)eq f( 4 r(2),9).因为abc，所以C为锐角，因此cos Ceq r(1sin2C)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4 r(2),9)sup12(2)eq f(7,9).所以cos

10、(BC)cos Bcos Csin Bsin Ceq f(1,3)eq f(7,9)eq f(2 r(2),3)eq f(4 r(2),9)eq f(23,27).6ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C2ccos A，tan Aeq f(1,3)，求B.6解：由题设和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故3tan Acos C2sin C.因为tan Aeq f(1,3)，所以cos C2sin C，所以tan Ceq f(1,2).所以tan Btan180(AC)tan(AC)eq f(tan Atan C,tan Atan C1)1，所以B

11、135.7已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，feq f(4,5)coscos 2，求cossin的值7解：(1)因为函数ysin x的单调递增区间为eq blcrc(avs4alco1(f(,2)2k，f(,2)2k)，kZ，由eq f(,2)2k3xeq f(,4)eq f(,2)2k，kZ，得eq f(,4)eq f(2k,3)xeq f(,12)eq f(2k,3)，kZ.所以，函数f(x)的单调递增区间为eq blcrc(avs4alco1(f(,4)f(2k,3)，f(,12)f(2k,3)，kZ.(2)由已知，得sineq blc(rc)

12、(avs4alco1(f(,4)eq f(4,5)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)(cos2sin2)，所以sincoseq f(,4)cos sineq f(,4)eq f(4,5)eq blc(rc)(avs4alco1(cos cosf(,4)sin sinf(,4)(cos2 sin2 )，即sin cos eq f(4,5)(cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，得eq f(3,4)2k，kZ，此时，cos sin eq r(2).当sin cos 0时，(cos sin )2eq f(5,4).由是第二象限角，得c

13、os sin 0，此时cos sin eq f(r(5),2).综上所述，cos sin eq r(2)或eq f(r(5),2).8已知函数f(x)cos xsineq r(3)cos2xeq f(r(3),4)，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值8解：(1)由已知，有f(x)cos xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sin xf(r(3),2)cos x)eq r(3)cos2xeq f(r(3),4)eq f(1,2)sin xcos xeq f(r(3),2)cos2xeq f(r(3),4)eq f(1,4)sin 2

14、xeq f(r(3),4)(1cos 2x)eq f(r(3),4)eq f(1,4)sin 2xeq f(r(3),4)cos 2xeq f(1,2)sin，所以f(x)的最小正周期Teq f(2,2).因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，feq f(1,4)，feq f(1,2)，feq f(1,4)，所以函数f(x)在区间上的最大值为eq f(1,4)，最小值为eq f(1,2). 9设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值； (2)求sin的值9解： (1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B，由余弦定

15、理得cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(sin A,2sin B)，所以由正弦定理可得a2beq f(a2c2b2,2ac).因为b3，c1，所以a212，即a2 eq r(3).(2)由余弦定理得cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(9112,6)eq f(1,3).因为0A，所以sin Aeq r(1cos2A)eq r(1f(1,9)eq f(2 r(2),3).故sinsin Acoseq f(,4)cos Asineq f(,4)eq f(2 r(2),3)eq f(r(2),2)eq f(r(2),2)eq f(4r(2),6).10.如图12，在AB

16、C中，Beq f(,3)，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADCeq f(1,7).(1)求sinBAD； (2)求BD，AC的长图1210解：(1) 在ADC中，因为cos ADCeq f(1,7)，所以sin ADCeq f(4 r(3),7).所以sin BADsin(ADCB)sin ADCcos Bcos ADCsin Beq f(4 r(3),7)eq f(1,2)eq f(1,7)eq f(r(3),2)eq f(3 r(3),14).(2)在ABD中，由正弦定理得BDeq f(ABsin BAD,sin ADB)eq f(8f(3r(3),14),f(4 r(3),7)

17、3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B8252285eq f(1,2)49，所以AC7.11 在ABC中，A60，AC4，BC2eq r(3)，则ABC的面积等于_112eq r(3)解析 由eq f(BC,sin A)eq f(AC,sin B)，得sin Beq f(4sin 60,2r(3)1，B90，C180(AB)30，则SABCeq f(1,2)ACBCsin Ceq f(1,2)42eq r(3)sin 302eq r(3)，即ABC的面积等于2eq r(3).12. 设函数f(x)sinxsin，xR.(1)若eq f(1,2)，求f(x)的最大值及

18、相应的x的取值集合；(2)若xeq f(,8)是f(x)的一个零点，且010，求的值和f(x)的最小正周期12解：(1)f(x)sin xsinxeq f(,2)sin xcos xeq r(2)sinxeq f(,4).当eq f(1,2)时，f(x)eq r(2)sineq f(x,2)eq f(,4).又1sineq f(x,2)eq f(,4)1，所以f(x)的最大值为eq r(2)，此时eq f(x,2)eq f(,4)eq f(,2)2k，kZ，即xeq f(3,2)4k，kZ，所以相应的x的取值集合为xeq blc|(avs4alco1(xf(3,2)4k，)kZ.(2)依题意得

19、，feq f(,8)eq r(2)sineq f(,8)eq f(,4)0，即eq f(,8)eq f(,4)k，kZ，所以8k2.又010，即08k210，所以eq f(1,4)k1.又kZ，所以k0，所以2，所以f(x)eq r(2)sin2xeq f(,4)，故f(x)的最小正周期为.13已知函数f(x)cos2sin2x.(1)求f的值；(2)若对于任意的x，都有f(x)c，求实数c的取值范围13解：f(x)eq f(1cos2xf(,3),2)eq f(1cos 2x,2)eq f(1,2)cos2xeq f(,3)cos 2xeq f(1,2)eq f(1,2)cos 2xeq f

20、(r(3),2)sin 2xcos 2xeq f(1,2)eq f(r(3),2)sin 2xeq f(3,2)cos 2xeq f(r(3),2)eq f(1,2)sin 2xeq f(r(3),2)cos 2xeq f(r(3),2)sin2xeq f(,3).(1)feq f(,12)eq f(r(3),2)sineq f(,6)eq f(,3)eq f(r(3),2)sineq f(,2)eq f(r(3),2).(2)由x0，eq f(,2)，知2xeq f(,3)eq f(,3)，eq f(4,3)，所以当2xeq f(,3)eq f(,2)，即xeq f(,12)时，f(x)ma

21、xfeq f(,12)eq f(r(3),2)，所以c的取值范围为eq f(r(3),2)，.14.在ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，且a2sin A，eq f(cos B,cos C)eq f(2a,c)eq f(b,c)0.(1)求c的值； (2)求ABC面积的最大值14解：(1)eq f(cos B,cos C)eq f(2a,c)eq f(b,c)0，ccos B2acos Cbcos C0，sin Ccos Bsin Bcos C2sin Acos C0，sin A2sin Acos C0.sin A0，cos Ceq f(1,2)，Ceq f(2,3)，ceq f(a

22、,sin A)sin Ceq r(3).(2)cos Ceq f(1,2)eq f(a2b23,2ab)，a2b2ab3，3ab3，即ab1，当且仅当ab1时，取等号，SABCeq f(1,2)absin Ceq f(r(3),4)，ABC面积的最大值为eq f(r(3),4). AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 5在ABC中,a=3,b=2,B=2A.( = 1 * ROMAN I)求cosA的值; ( = 2 * ROMAN II)求c的值.解:( = 1 * ROMAN I)因为a=3,b=2,B=2A. 所以在ABC中,由正弦定理得.所以.故. ( = 2

23、* ROMAN II)由( = 1 * ROMAN I)知,所以.又因为B=2A,所以.所以. 在ABC中,. 所以. 16已知向量, 设函数. () 求f(x)的最小正周期. () 求f(x) 在上的最大值和最小值. 解:() =. 最小正周期. 所以最小正周期为. (). . 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为. 17在中,内角的对边分别是,且.(1)求; (2)设,求的值. 由题意得 18已知函数. () 求f(x)的最小正周期; () 求f(x)在区间上的最大值和最小值. 19设向量( = 1 * ROMAN I)若 ( = 2 * ROMAN II)设函数 AUTONUM

24、* Arabic * MERGEFORMAT 0.已知函数,其中常数;(1)若在上单调递增,求的取值范围;(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.(1)因为,根据题意有 (2) , 或, 即的零点相离间隔依次为和, 故若在上至少含有30个零点,则的最小值为. 21设的内角的对边分别为,.( = 1 * ROMAN I)求 ( = 2 * ROMAN II)若,求. 22.在中,角的对边分别为,且.()求的值;()若,求向量在方向上的投影.解:由,得 , 即, 则,即 由,得, 由正弦定

25、理,有,所以,. 由题知,则,故. 根据余弦定理,有, 解得或(舍去). 故向量在方向上的投影为 2 AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 设的内角所对的边分别为,且,.()求的值; ()求的值.解:()由余弦定理,得, 又,所以,解得,. ()在中, 由正弦定理得 , 因为,所以为锐角,所以 因此 . 2 AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 已知函数的最小正周期为.()求的值; ()讨论在区间上的单调性.解:() .所以 () 所以 2 AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 已知,.(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.解: