2019年级-量子力学试卷及答案A

1、2019学年第1学期考试试题及答案（A）卷课程名称 量子力学任课教师签名 出题教师签名 审题教师签名 考试方式 （闭）卷适用专业 考试时间（120 ）分钟题号一二三四五六七总分得分评卷人二填空题（25分）1、（3分）电子被100V的电压加速，则电子的德布罗意波长为 （电子的质量为9.ixi0-31kg,电子的电量为1.602X 10-19库仑，普朗 克常数 h = 6.62559X 10 34J s）;2、（4分）力学量A的本征态为n,相应的本征值为an, n=1.2.3 。如果体系处于状态C1 1 C2 2,则测量A所得的2果为a1或a2,其出现 的概率分另U为 和。3、（2分）若对应于力学

2、量A的本征值An有两个本征函数，则称 A的本征值A n是o4、（2分）所有可观测量对应的算符均为 算符。5、（3分）算符L2和Lz的共同的本征函数是 6、（4分）xn, Px ;7、（4分）泡利算符与自旋算符之间的关系满足;泡禾I 算符？x?y?z= ；8、（3分）在一三维函数空间，在某一正交归一的基矢下，体系的哈密2 1 0顿算符用矩阵H 1 2 0表示。则当测量系统的能量时，能量0 0 3的可能结果是。二、简答题（13分）1、（7分）什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波 的主要区别是什么？2、（6分）写出量子力学中的测不准关系。如果两个算符不对易，则这 两个算符所代表的力学

3、量能否同时取确定值。三、证明题（12分）1、（5分）证明自由粒子平面波函数是动量算符 PX的本征函数并求本征 值。2、（7分）证明：在？Z的本征态下，（LX） 0o四、计算（50分）1、（15 分）设矩阵 A、B、C 满足 A2=B2=C2=1, BC CB=iA。（a）证明 AB+BA=AC+CA=0 ;（b）在A表象中（设无简并），求出B和C的矩阵表示。2、（15分）在时间t=0时，一线性谐振子处于用下列归一化的波函数描写的状态：x,0J1U0 x1-U2 x C3U3 x 式中1.5. 2Un x n 0,2,3是振子第n个与时间无关的H?的本征函数。（1）求C3的值；（2）写出t时刻的

4、波函数；（3）求t=0时刻振子能量的平均值， t=1时刻平均值又为多大？3、（20分）当为小的参数时，求在 H 0表象中的矩阵1 20H 223 的本征值到的二次项，本征函数到的一0 33 2次项量子力学试卷A答案及评分标准一、填空（共25分）01、1.22 A （3 分）2、|cj2, C2（4分，每空2分）3、二度简并的（2分）4、厄密算符（2分）5、球谐函数） , （3分）n6、xng 眠 i -x- （4 分） x7、？ w ?i （4分，每空2分）8、1 和 3（3 分）二、简答题（共13分）1、（7分）答：量子力学中用波函数 x,y,z,t描述微观粒子的运动状态，波函数的统2计解释

5、是波函数是一种概率波，| x,y,z,t|代表粒子在t时刻在空间一 点（x,y,z）处出现的几率。波函数与声波和光波的主要区别在于波函数乘 以一个常数，波函数描述的概率波不变，即其描写的粒子的状态并不改 变；而声波和光波乘以一个常数后体系的状态完全改变。2、（ 6 分）答：量子力学中的测不准关系是：x px - o其表明坐标和它所对应的2动量的不确定度两者相互制约，其中一个量测量的越准确，另一个量就 越测不准。如果两个算符不对易，那么这两个算符没有共同的本征函数， 因此这两个算符代表的力学量不能同时有确定值。三、证明题（12分）PxX Et1、（5分）证明：自由粒子平面波函数为px Aecd

6、PxX EtPx p i AePX P ,符合本征方程。 TOC o 1-5 h z x p xx Pxdx2、（7分）证明：设|m）为Lz的本征态，与其相对应的本征值为 m ,则LZ mJ m mJ（1）（1）式的共腕式为mg m（m（2）Lz L?z（2）式改写为:;m?z m （m利用基本对易关系：LyLZ gLy i Lx在 m 态下求 Lx ） : （ Lx ） （m L?X mJi （Lx） （mi L?x mJ四、计算题（50分）1、（15 分）iLxm 区？Z m： m L?z L?y mLx；0解：（a）对 BC-CB=iA分别右乘B和左乘B,利用B2=1,得BCB-CB2

7、= BCB-C = iABB2C-BCB =C -BCB = iBA十得：AB+BA = 0类似有AC+CA = 0分）（b）由于A2= 1,可知其本征值为 1。又按假定, 所以在A表象中A的对角矩阵表示为分）设B的矩阵为B由 AB+BA=0 ,得2d所以a=0,d=0,即B又由B2=1,有0 c所以bc=1,因此B的矩阵表示为2、（15 分）解:(Dc0根据(5分)A本征态无简并,分）(2)(3)x,t、5。:2dEdt而H?cn可得cn2 d222 dxc3bc 0 10 cb(7分):；012u25ix e 2t 3U3107i t2(5(3312105分）d EdE 0E不随时间t变化

8、dt故t=1s时刻能量的平均值仍为125(73、（20 分）分）故与H 0的本征值E10相应的本征函数为:同理可求得其他两本征函数分别为：20再由E； Hnnn0求能量的一级修正:1解：将H分为H H 0 H 0003并采用微扰法2E111,0,0分）可求得H 0的本征值分别为:同理:E21,E；E101,E20 2后0 3(2分)分）根据En20的本征值E10相应的本征函数为:E12H 12E10E20nmE 0 m求能量的二级修正:H 13E10E30a ,0,0分）E22EiH 21Ej ECH 23Ej E30H 31E-EC1 4 2,E2H 32E； E2025 2,E3 3 29 2(5(3(3分）运用n10Hm。;求波函