2020年级-量子力学试卷及答案B

1、2020级学年第1学期考试试题及答案（B）卷课程名称 量子力学任课教师签名 出题教师签名 审题教师签名 考试方式 （闭）卷适用专业 考试时间（120 ）分钟7、（3分）设一个二能级体系的两个能量本征值分别为 Ei和E2,相应的 本征矢量为|ni）和n。则在能量表象中，体系哈密顿量的矩阵表示题号一二三四五六七总分得分评卷人二、简答题（10分）1 、（5分）简述力学量和算符之间关系的一般假定2 、（5分）简述波函数的物理意义。定值。已知F12.22sin一、填空题（20分）1、（2分）微观粒子的波粒二象性是指。2、（2分）电子被200V的电压加速，则电子的德布罗意波长为 。（电子的质量为9.1 1

2、0 31kg ,电子的电量为1.602 10 19库仑）p0 x3、（4分）自由粒子平面波函数为x ce的动量不确定度p ,坐标的不确定度 x 。4、（4分）设在球坐标中，粒子波函数为nim r,，则在球壳（r,r+dr）中找到粒子的概率为 ;在 ， 方向的立体角d 中找到粒子的概率为。5、（2 分）设算符 A ieix ,算符 B eix,则 A,B =。dx6、（3分）波函数的标准条件为：、;三、证明题（15分）1、（7分）证明：若算符F和算符Gt一组共同的本征函数小，且小，组 成完全系，则算符F和G寸易。2、（8分）证明：r, , f r sin3 ei3为I?和2的共同的本征函数，并求

3、出相应的征信，说明当体系处于此状态时，和？y没有确1sin sin四、计算（55分）a ,1、（10分）一粒子在一维万势阱U x Uo,0 x 中运动，如图所2a0, x a2示。把U（x）=-U0当作对无限深势阱中运动粒子的微扰，计算在一级近似下粒子的基态能量。*U（x）,|iIa x-U02、（15分）一维无限深方势阱中的粒子，设初始时刻（t=0）处于x,01 x 2 x /2 , 1 x和2 x分别为基态和第一激发态，求（a） x,t , x,t x x ； （b）能量平均值E ; （c）能量平方平均值E2。3、（15分）设已知在I?和仁的共同表象中，算符？x的矩阵为4、（15分）粒子在

4、半壁无限深势阱U x 0 0 x a 中运动，求U 00 x a粒子束缚态能量（0EU0）所满足的方程。求它的本征值和归一化的本征函数量子力学试卷B答案及评分标准函数为空间坐标和时间的函数，即 x,y,z,t ,波函数模的平方表示了在某一、填空（共20分）1、粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运动的性质就是微观粒子的波粒二象性。（2分）02、0.87 A （2 分）3、0,（4 分）2924、Rni r r dr ; %, d （4 分）5、e2ix （2 分）一时亥ij t粒子在空间某一点（x,y,z）处出现的概率。三、证明题（15分）1、（ 7分）证明：设入n和仙n分别为F?c?F

5、n nn,Gn n n将算符G和算符F分别作用在上述两式上,熊郎n 0算符F和G的本征值，则并相减:6、有限性、连续性、单值性（3分）设为任意波函数，则7、Ei 00 E2（3分）F?（?郎an FG nannGF n为任意波函数，故FG? G?F?F和算符G对易。二、简答题（共10分）1、（5分）答：力学量F由算符F表示，当微观体系处于算符F的本征函数un（x）所描述的 状态时，力学量F有唯一确定值，该值为算符F的第n个本征值入n；当体系处 于一般任意态也时，对力学量F进行测量，只能得到一系列的可能值，这些 值位于算符F的本征值值谱中，力学量F的值为第n个本征值的概率恰好是展 开式anUn

6、x中第n个展开系数an模的平方。n2、L2（8分）证明:L22、 （5 分）答：量子力学中用一个复数函数即波函数来描述微观粒子的运动状态，波2 ,12f rsin 3sinsin12 2i3 cos e13i3sin 9 e sin12 2Lz 3223g,Ly,?Z三者之间相互不对易，因此三者没有共同的本征函数，当？有确定值时，？x,i2y没有确定值。x,t四、计算题（55分）x,t x,t-E1t1eE2t2e-E1t1eE2t2e（5分）1、（10 分）12 cos-E1E2解：在无限深方势阱中运动粒子的波函数和能量本征值分别为U（x）（b）EC12.2E1|C2 E2（5分）2 22n

7、2 . nEn -, n x ,，-Sinx, n 1,22maa a（2分）2（c）EG|2E；C22E2 : E11（5分）在微扰-Uo下，基态能量的一级修正值为E11 H11. 2 x ,sin dxaU02（4分）因此，在一级近似下,粒子的基态能量为E122maU02（4分）3、（15 分）解：设？x的本征值为,本征波函数为Lx于是，本征方程为2、（15 分）/ j 1解：（a）x，t2i一 Etx ei一E2t3分）久期方程行列式为零（3分）a（1,0,1）2a对应的本征值0,有:.2 b.212 b 1121a ,2对应的本征值（3分）1.2-212112有:（3分）b、2对应的本征值为4、（15 分）解：x 0b（1, 2, 1）2bb2b21.2（3分）d2dx2令kiAsin k1xB coskiXCe k2xCek2X舍去d2dx22 V。E0令