3.2独立性检验的基本思想及其初步应用教学课件

1、3.2独立性检验的基本思想及其初步应用高二数学 选修2-3 第三章 统计案例第1页，共38页。独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。第2页，共38页。 吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965探究:为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）列联表分类变量第3页，共38页。 1下面是一个22列联表：y1y2总计x1a2173x222527总计b461

2、00则表中a、b的值分别为()A94、96 B52、50C52、54 D54、52C第4页，共38页。 吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965探究:为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是 在吸烟者中患肺癌的比重是 吸烟者和不吸烟者都可能患肺癌，吸烟者患肺癌的可能性较大0.54%2.28%分类变量 42/7817第5页，共38页。通过图形直观判断两个分类变量是否相关：等高条形图在不吸烟者中患肺癌的比重是 在吸烟者中患肺癌的比重是 0.54%2.

3、28%第6页，共38页。 上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题。 现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设 H0：吸烟与患肺癌没有关系.不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表 用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B).第7页，共38页。因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说

4、明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有第8页，共38页。不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+dn=a+b+c+d独立性检验在不吸烟者中不患肺癌的比重是 在吸烟者中不患肺癌的比重是 H0：假设吸烟和患肺癌没有关系第9页，共38页。独立性检验H0：假设吸烟和患肺癌没有关系构造随机变量(卡方统计量) 作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准 。 若H0(吸烟和患肺癌没

5、有关系)成立，则K2应该很小.第10页，共38页。独立性检验H0：假设吸烟和患肺癌没有关系 吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965第11页，共38页。随机变量-卡方统计量0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828临界值表0.1%把握认为A与B无关1%把握认为A与B无关99.9%把握认A与B有关99%把握认为A与B有关90%把握认为A与B有关10%把握认为A与B无关第12页，共38

6、页。即在 成立的情况下，K2 大于6.635概率非常小，近似为0.01 现在的K256.632的观测值远大于6.635，小概率事件的发生说明假设H0不成立！0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828临界值表独立性检验H0：假设吸烟和患肺癌没有关系所以吸烟和患肺癌有关！第13页，共38页。1对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，说法正确的是()Ak越大，“ X与Y有关系”可信程度越小Bk越小，“ X与Y有关系”可信程度越小Ck越接近于0，“X与Y

7、无关”程度越小Dk越大，“X与Y无关”程度越大B第14页，共38页。独立性检验基本的思想类似反证法(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下随机变量 K2 应该很能小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理.(3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设合理的程度为99.9%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99.9%.第15页，共38页。反证法原理与假设检验原理反证法原理： 在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假

8、设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。第16页，共38页。在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概率事件；2.如果样本使得这个小概率事件发生，则H0不成立，就能以一定把握断言H1成立；否则，断言没有发现样本数据与H0相矛盾的证据。求解思路假设检验问题：第17页，共38页。例1.在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断是否有关?你所得的结论在什么范围内有效?患心脏病不患心脏病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437在秃顶中患心脏病的

9、比重是 在不秃顶中患心脏病的比重是 55.01%43.03%第18页，共38页。例1.在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断是否有关?你所得的结论在什么范围内有效?患心脏病不患心脏病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437 根据联表的数据，得到所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”。第19页，共38页。注意： 因为这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体2、本例中的边框中的注解：1、在解决实际问题时，可以直接计算

10、K2的观测值k进行独立检验，而不必写出K2的推导过程； 主要是使得我们注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）第20页，共38页。A第21页，共38页。第22页，共38页。所以根据列联表的数据，可以有 %的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系。97.5 由独立性检验随机变量值的计算公式得： 第23页，共38页。跟踪训练1(2011广东执信中学)某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查，得到的统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650完成课本97页练

11、习第24页，共38页。(1)如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的积极性与对待班级工作的态度有关系？所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系第25页，共38页。1（2013深圳二模）2013年3月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象.为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：混凝土耐久性达标

12、混凝土耐久性不达标总计使用淡化海砂25530使用未经淡化海砂151530总计402060第26页，共38页。（1）根据表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（2）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：P（k2k）0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828第27页，共38页。解析：（1）提出假设H0：使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关.根据表中数据，求得K2

13、的观测值能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关.（2）用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为 6=5，“混凝土耐久性不达标”的为6-5=1，“混凝土耐久性达标记”为A1,A2,A3,A4,A5”;“混凝土耐久性不达标”的记为B.第28页，共38页。在这6个样本中任取2个，有以下几种可能：（A1,A2）,（A1,A3）,（A1,A4）,（A1,A5）,（A1,B）,（A2,A3）,（A2,A4）,（A2,A5）,（A2,B）,（A3,A4）,（A3,A5）,（A3,B）,（A4,A5）,（A4,B）（A5,B）,

14、共15种.设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A，它的对立事件A为“取出的2个样本至少有1个混凝土耐久性不达标”，包含（A1,B）,（A2,B）,（A3,B）,（A4,B）,（A5,B），共5种可能.第29页，共38页。第30页，共38页。2(2011揭阳一模)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量值落在(495,510的产品为合格品，否则为不合格品表1是甲流水线样本频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图产品重量/克频数(490,4956(495,5008(500,50514(505,510

15、8(510,5154第31页，共38页。表1甲流水线样本频数分布表(1)根据上表数据作出甲流水线样本的频率分布直方图；(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；(3)由以上统计数据完成下面22列联表，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线乙流水线合计合格品ab不合格品cd合计n第32页，共38页。附：下面的临界值表供参考：p(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828第33页，共38页。解析：(1)甲流水线样本的频率分布直方图如下：(2)由表1知甲样本中合格品数为814830，由图1知乙样本中合格品数为(0.060.090.03)5403