不定积分的概念及运算法则解析课件

1、第二部分 单变量积分学第1页，共37页。8/4/20221第六章 不定积分1.不定积分的概念及运算法则2.不定积分的计算:换元积分法分部积分法其它类型的积分法第2页，共37页。8/4/20222第一节 不定积分的概念及其运算法则一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的线性运算法则四、直接积分法 第3页，共37页。8/4/20223可以说求不定积分的运算与微分运算是互逆的. 第一部分我们学习了一元函数的微分,即由已知函数求其导数.但在科学技术中常常知道某函数的导数,要求原来的函数.这就是求原函数或求不定积分的问题.第4页，共37页。8/4/20224例 设曲线通过点（1，2），且其

2、上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为第5页，共37页。8/4/20225定义：一、原函数与不定积分的概念1.原函数 设 f (x) 在区间 I 内有定义，若存在可导函数 F(x)使对每一个 xI 有F(x)= f(x)或 dF(x) = f (x)dx ，则称 F(x) 为 f(x) 在区间 I 内的一个原函数 .第6页，共37页。8/4/20226关于原函数有以下三个问题：1) f(x) 满足什么条件 , 其原函数一定存在？2) 若 f(x) 有原函数 , 其原函数有多少个？3) f (x) 的全体原函数如何表示

3、?原函数存在定理 若 f(x) 在区间 I 内连续 , 则在区间 I 内一定存在 f(x) 的原函数.简言之：连续函数一定有原函数.若 f (x)有原函数 ,则 f (x) 的原函数有无穷多个.若 F(x) 是f (x)的一个原函数 ,则 f (x)的全体原函数可表示为 F (x) +C. (C为任意常数)第7页，共37页。8/4/20227任意常数积分号被积函数2. 不定积分的定义：被积表达式积分变量若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 内的一个原函数 ,则 f (x) 在区间 I 内的全体原函数称为 f (x) 在区间 I 内的不定积分,第8页，共37页。8/4/20228 例1 例2

4、第9页，共37页。8/4/20229解例3 求第10页，共37页。8/4/2022103. 不定积分的几何意义不定积分称为积分曲线族 , 且在横坐标相同的点处每条曲线上的切线斜率相等都为f (x) , 即在横坐标相同的点处各切线相互平行.y=F(x) 为平面上的 一条曲线.y=F(x)+C 为平面上的 一族曲线.设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数 , 则函数 f (x) 的原函数的图形称为积分曲线.第11页，共37页。8/4/202211-1 O 1 x y y=x2 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。C1 y=x2+C1 C2 y=x2+C2 C3 y=x2+C3 函

5、数 f(x) 的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。第12页，共37页。8/4/202212结论：求不定积分的运算与微分运算是互逆的.4.不定积分与微分(导数)的关系由此根据微分公式可得积分公式.第13页，共37页。8/4/202213二、 基本积分表( k 是常数) ;第14页，共37页。8/4/202214第15页，共37页。8/4/202215三、 不定积分的运算法则第16页，共37页。8/4/202216证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）第17页，共37页。8/4/202217直接积分法 根据不定积分的运算性质和基本积分公式 , 直接求出

6、不定积分的方法.例1第18页，共37页。8/4/202218例2 求积分解根据积分公式（2）第19页，共37页。8/4/202219例3第20页，共37页。8/4/202220例4第21页，共37页。8/4/202221例5第22页，共37页。8/4/202222例6. 求积分解第23页，共37页。8/4/202223例7例8第24页，共37页。8/4/202224例9. 求积分解第25页，共37页。8/4/202225例10. 求积分解第26页，共37页。8/4/202226例11例12第27页，共37页。8/4/202227例13. 求积分解第28页，共37页。8/4/202228例14.

7、 求积分解第29页，共37页。8/4/202229在求 f (x) 的所有原函数中,有时需要确定一个满足条件 y (x0 ) = y0 的积分曲线 .即求通过点(x0 , y0)的积分曲线 .这个条件一般称为初始条件,它可以唯一确定积分常数 C 的值.第30页，共37页。8/4/202230解故所求曲线方程为第31页，共37页。8/4/202231例3解第32页，共37页。8/4/202232例4解第33页，共37页。8/4/202233注意:1) 导数是唯一的 , 但原函数不唯一.2) 任一初等函数都可求导数 , 且导数一般也为初等函数 , 但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示 .这些不定积分的原函数存在 , 但不能用初等函数来表示 .3) 不定积分与变量符号有关.第34页，共37页。8/4/202234基本积分表不定积分的性质 原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系四、 小结第35页，共37页。8/4/202235思