高中数学选修第一册：空间向量与空间角

1、PAGE 空间向量与空间角（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.在空间中,已知二面角-l-的大小为23,n1,n2分别是平面,的法向量,则的大小为()A.23B.3C.23或3D.62.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为()A.150B.45C.60D.1203.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,点O为底面ABCD的中点,P为棱A1B1上任一点,则异面直线OP与AM所成的角的大小为()A.4B.3C.2D.与点P的位置有关

2、4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AC=1,CB=2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,则平面B1BD与平面CBD所成角的余弦值等于()A.-63B.63C.33D.-335.在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,PA平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成角是()A.30B.45C.60D.90二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013东莞高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.7.(2013金华高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则异面直线A1

3、M与DN所成的角的大小是.8.如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则二面角C-BF-D的正切值为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013厦门高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点.(1)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值.(2)求二面角A1-EC-A的余弦值.10.(2013秦皇岛高二检测)如图,ABC是以C为直角的等腰直角三角形,直角边长为8,DEBC,AEEC=53,沿DE将ADE折起使得点A在平面BCED上的射影是点C,MC=23AC.(1)在BD上确定点N的位置,使得MN平面

4、ADE.(2)在(1)的条件下,求CN与平面ABD所成角的正弦值.11. (能力挑战题)(2013北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1平面ABC.(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值.(3)证明:在线段BC1存在点D,使得ADA1B,并求BDBC1的值.答案解析1.【解析】选C.当为锐角时,=-23=3;当为钝角时,=23.故选C.2.【解析】选C.由条件知CAAB=0,ABBD=0,CD=CA+AB+BD,|CD|2=(CA+AB+BD)2=62+42+82+268cos,得co

5、s=-12,所求二面角的大小为60.【变式备选】如图,在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,则平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为()A.33B.63C.64D.22【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(12,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),平面SAB的一个法向量是AD=(12,0,0),并求得平面SCD的一个法向量n=(1,-12,12),cos= QUOTE ADn|AD|n| =63,结合图形知所求二面角的余弦值为63.3.【解题指南】本题可通过解立体几何的方法求解,或者

6、建立空间直角坐标系用向量法来解.【解析】选C.方法一:取AD的中点E,连接A1E,则A1AEADM,AA1E=DAM,AA1E+A1AM=2,AMA1E.又PO在平面ADD1A1内的射影为A1E,异面直线OP与AM所成的角的大小为2.方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(0,0,0),M(0,1,12),O(12,12,0),设P(m,0,1).AM=(0,1,12),OP=(m-12,-12,1),cos=AMOP|AM|OP|=1(-12)+121|AM|OP|=0,AMOP,异面直线OP与AM所成的角的大小为2.4.【解析】选D.建立如图所示的坐标系,由题意可知,

7、B(2,0,0),A(0,1,0),B1(2,0,1),C(0,0,0),D(22,12,12),CD=(22,12,12),CB=(2,0,0),BA=(-2,1,0),BB1=(0,0,1),设平面CBD和平面B1BD的一个法向量分别为n1,n2,求得n1=(0,1,-1),n2=(1,2,0),所以cos= QUOTE n1n2|n1|n2| =33,结合图形判断得平面B1BD与平面CBD所成角的余弦值为-33.5.【解析】选A.建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,2,0),PC=(1,2,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos= QUOT

8、E PCn|PC|n| =-12,所以=120,所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60,所以斜线PC与平面ABCD所成角为30.6.【解析】如图,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0),BC1=(-1,0,1),设n=(x,y,z)为平面A1BD的法向量,则 QUOTE nDA1=0,nDB=0, x+z=0,x+y=0,取n=(1,-1,-1),设直线BC1与平面A1BD所成角为,则sin=|cos|= QUOTE |nBC1|n|BC1| =223=63

9、,cos=33.答案:337.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1,则A1(1,0,1),M(0,12,0),N(0,1,12),A1M=(-1,12,-1),DN=(0,1,12),cos=A1MDN|A1M|DN|=03252=0,即A1MDN,则A1M与DN所成角的大小是90.答案:908.【解析】如图所示,令ACBD=O,连接OF.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PA=AD=AC=1,则BD=3.所以B(32,0,0),F(0,0,12),C(0,12,0).结合图形可知,OC=(0,12,0)且OC为平面BOF的一个法向

10、量,由BC=(-32,12,0),FB=(32,0,-12),可求得平面BCF的一个法向量n=(1,3,3).所以cos=217,sin=277,所以tan=233.答案:233【误区警示】在本题中,由于空间几何体形状不是非常规则,故合理建系是关键,否则会加大运算量,并易导致失误.9.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),C(0,1,0),E(1,12,0),(1)BD1=(-1,-1,1),CE=(1,-12,0),故cos=BD1CE|BD1|CE|=-12352=-1515,所以异面直线BD1与CE所成角的余弦值是1515.(2

11、)DD1平面AEC,所以DD1为平面AEC的一个法向量,DD1=(0,0,1),设平面A1EC的法向量为n=(x,y,z),又A1E=(0,12,-1),A1C=(-1,1,-1), QUOTE nA1E=0,nA1C=0, 即12y-z=0,-x+y-z=0,取n=(1,2,1),所以cos=66.结合图形知二面角A1-EC-A的余弦值为66.10.【解析】(1)由已知,点A在平面BCED上的射影是点C,则可知AC平面BCED,而BCCE,如图建立空间直角坐标系,则可知各点的坐标为C(0,0,0),A(0,0,4),B(0,8,0),D(3,5,0),E(3,0,0),由MC=23AC,可知

12、点M的坐标为(0,0,83),设点N的坐标为(a,b,0),则可知b=8-a,即点N的坐标为(a,8-a,0),则MN=(a,8-a,-83).设平面ADE的法向量为n1=(x,y,z),由题意可知 QUOTE n1DE=0,n1AE=0, 而DE=(0,-5,0),AE=(3,0,-4),可得y=0,3x-4z=0,取x=4,则z=3,可得n1=(4,0,3).要使MN平面ADE等价于n1MN=0,即4a+0(8-a)-383=0,解之可得a=2,即可知点N的坐标为(2,6,0),点N为BD的靠近D点的三等分点.(2)由(1)可知CN=(2,6,0),设平面ADB的法向量为n2=(x,y,z

13、),由题意可知 QUOTE n2DB=0,n2AB=0, 而DB=(-3,3,0),AB=(0,8,-4)可得-3x+3y=0,8y-4z=0,取x=1,则y=1,z=2,可得n2=(1,1,2).设CN与平面ABD所成角为,则sin= QUOTE |n2CN|n2|CN| =21515.【拓展提升】线面角的求解策略(1)利用直线与平面夹角的定义,找到线面角,转化为求解三角形问题.(2)利用最小角定理,即直线与平面内任一条直线所成的角中线面角最小,代入公式cos=cos1cos2求解,(3)建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量求解.11.【解析】(1)因为四边形AA1C1C是正

14、方形,所以AA1AC.又因为平面ABC平面AA1C1C,交线为AC,所以AA1平面ABC.(2)因为AC=4,BC=5,AB=3,所以ACAB.分别以AC,AB,AA1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A1(0,0,4),B(0,3,0),C1(4,0,4),B1(0,3,4), A1C1=(4,0,0),A1B=(0,3,-4),B1C1=(4,-3,0),BB1=(0,0,4).设平面A1BC1的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面B1BC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),由 QUOTE A1C1n1=0,A1Bn1=0, 可得4x1=0,3y1-4z1=0,可取n1=(0,4,3).由 QUOTE B1C1n2=0,BB1n2=0, 可得4x2-3y2=0,4z2=0,可取n2=(3,4,0).所以co