高等数学教学课件极限

1、第一章 微积分1.2 极限2.2 极限主要教学内容：数列极限函数极限极限的性质函数的连续性两个重要极限无穷小量与无穷大量极限应用举例数列的极限 例1 庄子中记载着庄子朋友惠施名言：“ 一尺之捶，日取其半，万世不竭”通项1/2n无限接近0，但又永远不会等于0正如庄子所说：“万世不竭”哲学辩证的思想：有限和无限的统一 数学的思想：数列极限日子序号 n12345n截取量 f(n)1/21/41/81/161/321/2n2.2 极限例2刘徽运用割圆术算出圆周率 东汉科学家张衡：=3.16;东汉天文学家王蕃：=3.156 三国时代数学家刘徽：割圆术，用圆的内接正n边形周长逼近圆周n无限增大时，其周长无

2、限接近圆周d，算出=3.1416。南北朝数学家祖冲之：用刘徽割圆术计算11次，分割圆为12288边形，=3.14159265 ，成为此后千年世界上最准确的圆周率。 2.2 极限看几个实例：观察在一定条件下，数列的变化趋势数列：按一定次序排列的一列数。2.2 极限数列与函数的关系用Mathematica在平面上画出数列的散点图 Table fn，n，min，max，step 利用ListPlot 和Table 语句作图，如画出n/(n+1)ListPlotTable n/(n+1),n,1,1002.2 极限,它的定义域是全体正整数数列极限的定义 给定数列xn，当项数n无限增大时（记作n），通项

3、xn无限地接近常数A，则称常数A为数列xn的极限，记作 ,同时说数列xn收敛到A否则称数列xn发散 注:“ ”读作“n趋于无穷大时xn的极限是A”，也简化读作“limit xn等于A” 思考：如何理解“无限接近”？2.2 极限例3 求 解因 其中 随n无限增大时无限地逼近0，故 无限地逼近1因此 =12.2 极限(-1)n/n的图像例4 等比数列的极限解数列：a0，a0q，a0q2，a0qn， 称为等比数列，q是其公比例如，例1中每日截取量形成的数列，从惠施名言得出它是a0=1/2，q=1/2 的等比数列若a00，则有2.2 极限例如：考察a0qn 2.2极限极限不存在例5 等比级数的求和 解

4、. 等比级数： a0+a0q+a0q2+a0qn+ =部分和sn: a0+a0q+a0qn-1 = 部分和数列sn: s1=a0，s2=a0+a0q，sn=a0+a0q+a0qn-1， 2.2极限现在研究数列sn的收敛问题因 （1）q1，极限 记作 = （q1） （2）对q1，极限 不存在，等比级数 发散 例1中， 即整个杆的长度1尺 2.2极限例6 把循环小数 =0.313131化成分数 解 =0.31+0.0031+0.000031+ =31(102+104+10-6+) =31102/(1102) =31/99 这里，a0=10-2,q=10-22.2极限函数极限例7 当 |x | 无限

5、地逼近于0时,看函数f(x)=xsinx是如何变化的?解. 看出2.2极限例8 x无限增大时,看函数f(x)=sinx/x是如何变化的? 解（图错）.看出2.2极限函数极限的朴素定义.设y=f(x)是给定函数,如果自变量x在定义域内按照某种趋势(记作x)变化时,函数值f(x)相应地变化而无限地逼近常数A,则称A为函数y=f(x) 在该变化过程中的极限,或说y收敛到A(简称y有极限或y收敛),记作: 读作：x 趋于时函数y的极限是A. 理解“朴素定义”：描述性的而非严格的定义2.2极限x 有六种不同情况:1) xa :从a的左右两侧无限地逼近a.如例7中x0 .2) xa+: x大于a而无限地逼

6、近a, 称 为f (x)在a点的右极限3) xa-: x小于a而无限地逼近a, 称 为f (x)在a点的左极限注理解“无限逼近”：x能否等于a不必计较. 4) x+: x的值无限地增大. 如例8的x+ .5) x- : x的值无限地减小.6) x : |x|无限地增大. 2.2极限例9 考察x-的情形 2.2极限例10 考察x的情形（两侧） 2.2极限例11 ，考察xa+的情形 考察xa-的情形 注 请仔细观察上面两例中左、右极限的差别.2.2极限例12 设f(x)=2x, x(0,2).则 例13 设g(x)=2x, x(0,1)(1,2).则例14 设 则(1)f(x),g(x),h(x)

7、不同, 但 x1时的极限都是2.(2)三个函数的定义域不同,或在x=1处函数值不同.可见，x-a时函数极限的存在性和极限值，与函数在x=a处是否有定义以及函数在该点值的大小无关！2.2极限f(x)g(x)h(x)2.2极限实验题:作出函数 ， 的图象，研究极限 ，并与例8作比较.使用Mathematica作图：a1=Plotx Sin1/x,x,-1,-0.0001,PlotStyle- RGBColor0,0,1a2=Plotx Sin1/x,x,0.0001,1,PlotStyle - RGBColor0,0,1Showa1, a2比较下面几个函数的图像2.2极限Mathematica作图

8、的另一种方法 fx_:=x Sin1/x/;-1x0 gx_:=x Sin1/x/;0 x -1, 1 2.2极限极限的性质 设 ， 均存在，c为常数，则有 性质1性质2 性质3性质4 性质5 性质6 ，此处 0 性质72.2极限由以上性质可以推出：2.2极限例15 求解:原式 =例16 求解原式=例17 求解按前面方法，分子与分母极限均为0，得 0/0 ，可约去分子分母的公因子x-1后再计算： 原式= 0/0型2.2极限思考题：约去分子分母中的公因子，改变了函数的定义域，是否影响极限的计算？考察：f(x)g(x)结论：x“无限接近”a，不考虑在该点是否有定义，恒等变形虽改变了函数定义域，并不

9、影响极限值。2.2极限思考题：考察结论：求函数极限不能只看函数，还要看x。 注意“极限过程”！2.2极限例18 求解原式= = = 例19 求解 原式= =- 型0/0型2.2极限思考题.分子分母同乘以因子 在计算极限中起了怎样的作用？结论：当分母极限 时，往往可直接将x=a代入式子，即得极限值当 时，化为分母极限 0 ，再进行计算。解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！2.2极限函数的连续性定义如果在函数y=f(x)的定义域内，(1) ，则称y=f(x)在点a连续;(2) ，则称y=f(x)在点a右连续;(3) ，则称y=f(x)在点a左连续 若f(x)在(a,b）内每一点连续，则称

10、f(x)为（a, b）内的连续函数 若f(x)在开区间(a,b)内每一点连续, 且在a点右连续，在b点左连续，则称f(x)为闭区间a,b内的连续函数2.2极限2.2极限2.2极限2.2极限2.2极限2.2极限理解f(x)在点a处连续：1.f(x)在点a处有定义2.极限 存在3.f(x)在a点的极限等于该点的函数值,理解f(x)在点a处间断：1.f(x)在点a处无定义2.或极限 不存在3.或f(x)在a点的极限不等于该点的函数值2.2极限考察函数在x=1处是否间断？在x=1点无极限在x=1点函数无定义在x=1点有极限也有定义，但两者不等在x=1点无极限也无定义2.2极限定理初等函数是其定义域内的

11、连续函数a是初等函数f(x)的定义域内一点，则 连续性应用：计算极限，lim与f 可交换，即例20 求 解x=2是初等函数 定义域内一点，故原式= =lg1=0 2.2极限例 在x0=0处的连续性解：因故，f(x)在x=0点连续. 例 函数 的连续性解：因该函数为初等函数，故在其定义域内连续，即在-1,0)及(0,1内连续。2.2极限两个重要极限重要极限1 0/0型2.2极限例21 求解 原式= 练习：(1)(4)(2)(5)(3)(6) 2.2极限例22 求解令t=arcsinx，则x=sin t，于是 原式=注此处令t=arcsinx称为变量代换 同理可得练习：2.2极限重要极限2 =e1

12、型2.2极限以人口问题为例：(该城市人口年增长率为r ) 某城市人口数：A0 1年后人口数:：A1=A0+A0r=A0(1+r) 2年后人口数：A2=A0(1+r)(1+r)=A0(1+r)2k年后的人口数：Ak=A0(1+r)k 若以月为计算周期，则月增长率为r/12 若1年分为n期，则每期人口增长率为r /n n年后人口总数： 2.2极限令x=r/n ，n=r/x,则转化为计算： 或 的问题！例23 求 解原式= =A0er 2.2极限例24 求解原式= =注此题的演算切忌下列错误： 原式= 因为此处指数n+5是变量，而不是常数 e315=e3 2.2极限例25 求解原式= =ln e=1

13、 例26 求解令t=ex- 1，则x=ln(1+t) 于是 原式= 2.2极限例27： 令u=(x-3)/5，则 x=5u+3 上式=练习：(1)(4)(2)(5)(3)(6)2.2极限无穷小量与无穷大量定义若变量y在某个变化过程中的极限是0，则称y为该变化过程中的无穷小量，其倒数1/y(y0)称为该变化过程中的无穷大量显然，无穷小量与无穷大量互为倒数 无穷小量的两个条件： 1.有极限 2.极限为02.2极限例28 因 1/x是x时的无穷小量 x是x时的无穷大量例29 0a1，ax是x+时的(正)无穷大量例30 0a1，ax是x-时的无穷小量a1a1f(x)=ax2.2极限例31 0a1，则

14、是x+时的(正)无穷大量 例32 0a1，则 是x0+时的(负)无穷大量 例33 注 , 是x0时的有界变量. f(x)=logaxa1a12.2极限有界变量：如果存在正数M，变量u在变化过程的某个时刻之后，恒有|u|M ，则称u是有界变量 定理 （在某个变化过程中）无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量例： ， ， 定理 在某个变化过程中的无穷小量必为有界变量思考题.说“多项式a0 xn+a1xn-1+.+an-1x+an必是无穷大量”这句话对不对，为什么？那么说它是无穷小量呢，又怎样？2.2极限等价无穷小若 ，称 为 0/0型不定式进一步，若 =1，则称f(x)与g(x)为x时的等价无穷小，记

15、作，x时，f(x)g(x) 由前例可知，当 x0时，有： sinxxtanxxarcsinxxarctanxxln(1+x)x ex1x可作为结论使用2.2极限 2.2极限例34 事实上， 上面的计算可以改成： 2.2极限定理2.2.4 设 ,且x 时 则 证 同理有 2.2极限例35 例36 求解 2.2极限命题2.2.5 若0ab,则 时， 特别是 时 即 时，无常数项的多项式等价于次数最低的那一项。 与无穷小等价相仿，也可以引进无穷大量等价的概念。 若 则否则 无法确定，称极限 为 型不定式。 2.2极限定义 设 如果 则称f(x)与g(x)为 时的等价无穷大,记作 时f(x) g(x)

16、.命题2.2.6 若0ab,则 时， ，特别是 时， ，即时，多项式等价于次数最高的那一项。定理2.2.7 设 且 时f(x) h(x)，则 2.2极限由上述定理及命题有，求 时多项式相除的极限，可使用下列公式例37例38 2.2极限2.2.5极限应用举例例39 计算连续复利 设有一笔款（本金）A0，年初存入银行，年利率为r,则1年后的本利和为A1=A0(1+r),2年后的本利和为A2=A0(1+r)2,k年后的本利和为Ak=A0(1+r)k.如果客户要求银行改为1年分n期计算利息，年利率仍为r，则每期利率为r/n.于是1年后的本利和为A1=A0(1+r/n)n,k年后的本利和为Ak=A0(1+r)kn, 2.2极限若令 ，即连续不断地计息，则k年后的本利和为例40 贴现问题若想通过分期付款方式买一套住房，每年交一次款20000元，分10年付清。 第一笔付x1=20000元。为支付第二笔款，你在银行存入x2元，银行年利率为r,一年后得本利和x2(1+r),用它支付第二款20000元，即第二笔付20000= x2(1+r)，x2=20000/1+r. 2.2极限依次类推（假定年利率r固定，不