哈密顿系统的数学建模与动力学分析

1、百度文库-让每个人平等地捉升口我- -百度文库-让每个人平等地捉升口我- # -1引言Hamilton动力系统理论有着悠久而丰富的历史，它本身是Lagrange力学的升华与推 广，从数学角度看乂是一门内容精深的相空间儿何学，如辛儿何、辛拓扑等都源于此.近儿 十年来，随着纯数学理论的不断发展与计算机的普遍应用，Hamilton动力系统理论乂成为 当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域.山于这类系统广泛存在于数理科学、生 命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程 中的很多模型都以Hamilton系统的形式出现，因此该领域的研究多年来长盛不衰.本文利 用H

2、amilton原理推导出了 Hamilton系统的正则方程.最后利用Hamilton正则方程给出一个 具体物理实例的数学模型并对其进行动态模拟仿真.百度文库-让每个人平绞地提升口我- -百度文库-让每个人平绞地提升口我- -百度文库-让每个人平等地捉升口我- -2 预备知识2. 1状态空间的基本概念1）状态任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在*时刻的状态是厶时刻的一种 信息量，它与此后的输入一起惟一地确定系统在rng时的行为.2）状态变量状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组.3）状态向量设系统有兀个状态变量，用舛（/）,七（/）,兀,“）表示，而且把这些状态变量看

3、做向量 x（/）的分量，则向量M）称为状态向量，记为X 十*2（/）4）状态空间以状态变量西內,，兀为轴的“维实向量空间称为状态空间.5）状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为：W） = /x（/），匕其中，/是时间变量，“是输入变量.6）输出方程描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程输出方程的一般形式为:y(/) = gW)，(/)，/_状态空间表达式状态方程

4、与输出方程的组合称为状态空间表达式，也称动态方程，它表征一个系统完 整的动态过程，其一般形式为：.y(/) = gx(/)，(/)，/通常，对于线性定常系统，状态方程为x = Ax + Bii,),若存在一分段连续控制向量(/), 能在(),/内，将系统从任意的初态x(/o)转移至任意终态)，则系统完全能控.定理2.1系统完全能控的充要条件：rankSc = n其中，Sc = 3,AB,占切，称为能控矩阵.2- 3线性状态反馈控制律线性状态反馈控制律为W = V-心式中，V是参考输入，K w RZ称为状态反馈增益矩百度文库-让每个人平等地捉升口我- # -百度文库-让每个人平等地捉升口我- -

5、百度文库让每个人平等地捉升自我- -阵.系统动态方程变为：x = Ax + B（V-Kx） = （ABK）x + BV = Ak+BVy = Cx + D（V-心）=（C - DK）x + DV = CK + DV式中，Ak=A-BK , Ck=C-DK,当D = 0时，状态反馈系统闭环传递函数必（$）为WK （s） = C.M -（A _B式中，A-BV为闭环系统的系统矩阵.以上我们简要介绍了控制系统的有关问题，现在针对单输入定常线性系统，设计其某种形式的线性定常控制律，使得闭环系统具有指定的希望的一组极点，即极点配置.2-4极点配置考虑下述单输入线性定常系统x = Ax+bitz 、（2.

6、4. 1） b = Cv其中A为nxn常阵，方和C分别为“xl和lx”常阵.选取线性定常反馈控制律u=-kx,使 得（2.4.1）在该控制律下的闭环系统具有指定的极点集.问题SPA状态反馈极点配置问题给定矩阵AwRE, bwR祸 及一组共辘封闭复数 s, i 二 1, 2,，n （不必互异），求取矩阵 K e Rrxn 使得 血（A-bK）=s, / = l,2,-,n 对问题SPA先考虑其解的存在性有：定义2.2如果对于任何给定的一组共辄封闭复数i = l,2,前述问题SPA均有解， 则称线性定常系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点.下述定理给出了线性定常系统（2.4.1）利用状态反馈

7、任意配置极点的条件.定理2. 2定常线性系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统（2.4.1） 完全能控问题 对单输入系统，给定能控矩阵对A b和一组期望的闭环特征值兀心乂,要 确定lx”的反馈增益矩阵使成立（A BK）= &, 21,2,，“.对于上述问题，我们有下述算法：算法2单输入系统的极点配置设计 第一步：讣算A的特征多项式，即det(.y/ - A)= sn+- - + as + a()第二步：计算由祐,兄;,盂所决定的多项式，即/(巧=(一/1；)一兄：)=列 +a；_“ +； +0；第三步：计算R = k - 4 - a；第四步：计算变换阵1P = Alb Ab

8、 b1an- 1第五步：求Q = /*第六步：所求的增益阵K = KQ 2.5分析力学中相关的知识广义坐标能够完全确定质点系位形的独立参变量，用符号如,的，表示.广义坐标是彼此独立的.其选择有一定的随意性，只需根据质点系的特点，选择那些能 够惟一地确定该系统位形的参变量即可.广义速率在质点系中引入广义坐标之后，质点系的运动可以用广义坐标随时间的变化规律来描 述，即广义速率：qa=(a = 1,2, -)at广义坐标变分假设在给定的运动初始条件下，某质点系的运动微分方程组的解已经求得，它的广义 坐标运动方程为qa=qa(tY广义速率血=学于是广义坐标的全微分为百度文库-让每个人平绞地提升口我-

9、-百度文库-让每个人平绞地提升口我- #-同样，广义坐标也有它的可能运动方程0； =q：（J（a = 1,2,，灯比较统一瞬时广义坐标的真实运动和与其相邻的可能运动，并限定二者的差值为无限小 量，即&la =q； -Qa（a = 1,2,，灯冈&就称为广义坐标变分.4）质点系的自曲度该系统独立坐标变分的数U .对完整系统它的自由度等于它的广义坐标的数U 5）广义动量质点系的动能T对广义速率血的偏导数，即dT其中动能T是广义坐标么和广义速率的函数6）勒让德变换勒让德变换是把以心心为变量的函数/（册宀”）变换成以”宀，*”为新 变量的函数/（yry2, .yn）的一种特殊变换，f称为/的勒让德变换

10、.设有一个二次可微的函数/（，勺,）,且在雅可比行列式不为零，即的区域内存在以下变量变换(s = 1,2,71)定义/的勒让德变换为百度文库-让每个人平等地捉升口我- -百度文库-让每个人平等地捉升口我- -了（人？2,人）=兀儿一/于是有下面给出对部分变量进行变换的情况对保留变量有定理23哈密顿原理从动力学普遍方程出发可推导出哈密顿原理的一般形式，即（刃+昭 =0中，系统的主动力的虚功刃丫可写成如下形式：刃丫 = 一刃+ 0冈其中，-刃和0冈分别表示有势力和非有势力的虚功将上式代入式(3.2.1),得(刃一卯 + Q&/)dt =(风 + Q&dt将L = pq H代入上式，并进行变分运算，

11、得+ qSp _ 6f)_ & + Qf&)clt = 0 J/odp dq利用式(312)和式(3.1.3)有dHoq一 0)W = O采用与前面同样的作法，即可得到存在非有势力作用时的哈密顿正则方程dH/ = -cH6g(3.2.2)式中Qf为系统的非有势力对应于q的广义力.4利用哈密顿正则方程建立具体物理系统的数学模型水平弹簧质量振动系统Q图4.1弹簧质量振动系统4.1水平弹簧质量系统的问题描述假设系统满足条件：1）振动无阻尼.2）系统只能在水平方向即x方向运动.3）外力“（f）,以x的同方向为正.要求：1）建立弹簧质量系统的运动微分方程.2）求出反馈增益阵.3）弹簧质量系统仿真模拟.4

12、）作任何有意义的讨论.2水平弹簧质量问题的分析解：令“（J为输入量，y为输出量，取弹簧等于原长人时，质量位置。为x坐标轴的原 点，取为广义坐标.如势能零点取在弹簧原长位置，则系统的势能V=l,2,因此 系统的拉格朗日函数L T - V = Tn%/ -kx + uxx.2 2求得广义动量dL Px = =ox因此m计算哈密顿函数H,并把它写成广义动量和广义坐标的函数H = Pxx. -L=pxx. -(1/nr,2 -l2 +切)=金 + *如-UXl求得H后，按式(322)写出系统的正则方程dH .Px =- = -kx+uox由上二式消去几，得到系统运动微分方程+kxy =4.3建立弹簧质

13、量系统的数学模型令X2 = Px则有:+0u =0r+1-1000_1m0输出方程为则弹簧质量系统的状态空间表达式其中A =x = Ax+bu y = CxC = l 0.5系统闭环状态反馈控制器设计1系统状态反馈控制根据线性系统状态反馈控制律，设状态反馈下受控系统的输入为u = -K.x ( K e护为 反馈增益矩阵，K = k.心)，将上式代入弹簧质量振动系统的状态空间表达式，得到弹 簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式x = (A-hK)xy = Cx其中 A-bk= k k、 k百度文库-让每个人平绞地提升口我- -百度文库-让每个人平等地捉升口我- -6求解状态反馈增益阵由定理21

14、Sc=b A= 显然系统完全能控，故满足闭环极点可任意配置条|_1 0件.取m = 1 ； k = 1给定一组期望的闭环特征值久=-1 + 八兄2 =_/1）现讣算系统的特征多项式det（5/ -/!）= det= s1 +15再山指定闭环极点可得希望的闭环特征多项式为心）=讯讣（S + 1 加 + 1 + j） = s2 +25 + 2于是可求得F=q；-q）4；_叩=1 2再来讣算变换阵并求出其逆e=p_, = 10从而所要确定的反馈增益阵&即为k = kQ = W 2 ： ： =1 2.2）调用Matlab函数算出的反馈增益阵见附录17动态系统的simul ink仿真7. 1创建Simu

15、 I i nk系统模型首先根据弹簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式，选择合适的Simulink系统 模块，然后建立此系统的Simulink模型.系统的Simulink模型图见附录3.7. 2动态系统的Simulink仿真在MATLAB中，系统状态空间用（A,5C,D）矩阵组表示，当输入（A,B,C,L）矩阵组后, 用函数55（AB,C,D）直接可以得到状态空间模型。在MATLAB中，绘制二维图形最常用的函 数是Plot函数，对于不同形式的输入，该函数可以实现不同的功能。其调用格式如下：plot（X, Y）当X和Y为向量时，以第一个变量为横坐标，第二个变量为纵坐标绘制图 形。plot（X,Y

16、,s）想绘制不同的线型、颜色、标识等的图形时，可调用此形式，第3个输 入变量为图形显示属性的设置选项：线型、颜色、标识。如图7. 1,它反映了弹簧质量控制系统在极点配置（P二-j）后阶跃响应情况， 其Mat lab程序见附录2.图7.1极点配置后系统的阶跃响应曲线在完成弹簧质量振动系统的Simulink模型基础上，对系统模型中各模块进行正确而 合适的参数设置，便需要对系统仿真参数进行必要的设置以开始Simulink仿真，即可了 解系统中有关位置的信号的情况，经过多次调试，在状态反馈控制器u=-Kx的作用下， 系统不断地对位置误差进行控制修正，最终使系统达到稳定的状态.例1根据线性系统状态反馈控

17、制律，状态反馈下受控系统的输入为u=-Kx（ K e 为 反馈增益矩阵，K = kx k2）.令 x10 = 3 ;x20 = -1;m = 1; k = 1; = 1; k、= 2此情况下，弹簧质量控制系统Simulink模型的动态模拟仿真图如下图7. 2 Simulink仿真图山图知，弹簧质量控制系统是稳定的.8结束语弹簧质量系统控制问题，使用Simulink对其进行建模与仿真.结论表明：弹簧质量系 统作为动力学系统，往往表现出强非线性、模型不精确或模型未知等复杂特征，其控制也 因此而变得非常困难，当给定输入函数（控制函数）时，弹簧活塞系统稳定性变化随着物 体的质量、弹簧个数改变而改变.本

18、文中弹簧质量系统控制问题是一个简单的线性系统模 型，这避免不了与实际情况有一些差异.当然原问题的基础上，再加两个弹簧，我们也可 以建立相关的弹簧质量系统模型.要想得到更接近实际的结果，我们需要考虑多方面的因 素建立控制模型，当然求解和仿真也是比较复杂.这需要我今后更加努力学习、不断改进 模型，并能够进行动态模拟仿真.百度文库-让每个人平等地捉升口我- -百度文库-让每个人平等地捉升口我- -参考文献1段广仁编著，线性系统理论，哈尔滨工业大学出版社，1996.112叶敏、肖龙翔编著，分析力学，天津大学出版社，2001.4L3杨晓松编著,Hamilton系统的拓扑理论，中国科学技术大学出版社，2008. 84王正林、王胜开、陈国顺编著，MATLAB/Simulink与控制系统仿真，电子工业出版社,2005. 7附录附录1反馈增益阵的MATLAB的