留数定理及其在积分中的运用

1、江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文数定理及其在积分中的运用(Residue theorem and the use in the Calculus )姓 名：刘 燕学号：0507010122学 院：数学与信息、科学学院专 业：一指导老师：易才凤（教授）完成时间：2009年*月*日数定理及其在积分中的应用【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算 方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容一留数定理，并得到留 数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技 巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问 题.【

2、关键词】解析孤立奇点留数留数定理AbstractResidue theorem and the use in the CalculusThis paper, we first introduce the prior knowledge of complexfunction Calculus, and introduce the method of calculating the residue, etc. On this basis, We described and proved the main contents of this article-the Residue theorem,an

3、d the promotion of the Residue theorem .This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems.Residue theorem【Key words】

4、Analysis Isolated singular point Residue目录1引言2预备知识2.1复积分2.2解析函数极点及留数2.3留数的计算方法3留数定理3.1留数定理3.2留数定理的证明3.3留数定理的推广4应用留数定理计算积分4.1复积分的计算4.2实积分的计算5参考文献6致谢1引言众所周知，在数学分析以及实际应用中，往往要计算一些定积分或反常积分. 而这些积分中被积函数的原函数，有时不能用初等函数表示出来，或者即使可以 求出原函数，如果用数学分析中的计算积分的方法往往十分局限而且繁琐.因此 需要寻求新的计算方法.例如，可以考虑把实积分转化为复积分，以便利用复积 分的理论，而留

5、数定理正是这方面的重要工具.在此我们将重点介绍复变函数中运用留数定理计算积分的方法.其基本思 想是：为了求实函数f(x)在实数轴上的某一段r上的积分，我们在r上适当附加 某一曲线使其构成一简单闭曲线。，从而将积分转化为复变函数的围线积分，然 后再运用留数定理即可解决.留数是复变函数论中重要的基本概念之一，它与解析函数在孤立奇点出的洛 朗展开式，柯西复合闭路定理等都有密切的联系.留数定理是复变函数论中的重 要定理，它是复积分和复级数想结合的产物，在实际中有重要的应用，特别是它 可以为积分的计算提供新的方法，对复变函数论的发展起到一定的推动作用.那么留数定理能不能计算出所有的积分呢？答案是否定的.

6、留数定理在积分 中的应用也具有一定的局限性.通过研究留数定理及其在积分中的应用，我们可 以更好的理解这一重要定理一节它在积分中的应用.此外，应用留数定理，我们还可以证明重要的辐角原理和儒歇定理等重要定 理，利用这些定理可以考察区域内函数的零点分布情况等.2预备知识2.1复积分复变函数积分的定义定义2.1设有向曲线C :z = z(t),(以 t P)a = z 0, z1, , z 1, z = b把曲线C分成若干个孤段(如图1)。从到zk(k = 1,2, n)的每一孤段上任取一点.做和数 kSn=W f (Q七,k=1其中&k=七-zki .当分点无限增多，而这些孤段长度的最大值趋于零时，

7、如果 和数Sn的极限存在且等于J，则称f (z)沿C (从。到b)可积，而称J为f (z)沿 C (从。到b)的积分，并以记号J f(Z)dz表示：CJ = J f (z)dz .cC称为积分路径.J f (z)dz表示沿C的正方向的积分，J f (Z)dz表示沿C负方向cc的积分.如果J存在，我们一般不能把J写成J bf (z)dz的形式，因为J的值不仅和a,b a有关，而且与积分路径C有关.显然，f (z)沿曲线C可积的必要条件为f (z)沿C有界.此外，我们还有下 面可积的充分条件和计算复积分的一种表达式.定理211若函数f (x) = u(x, y) + iv(x, y)沿曲线C连续，

8、则f (z)沿C可积，vdx+udy.J f (z )dz = J udx - vdy + i Jcc c这个定理说明，复变函数积分的计算问题，可以化为其实，虚部两个二元实 函数曲线积分的计算问题.除此之外，复积分的计算方法还有很多，比如莱布尼 兹公式，柯西定理，柯西公式，以及我们后面要重点介绍的运用留数定理计算复 积分等.2.2函数极点及留数2.2.1解析函数的极点定义2.2若函数f (z)在点z0不解析，但在z0的任一邻域内总有f (z)的解析，点，则称z0为函数f (z)的奇点.定义23如果函数f (z)在点a的某一去心邻域K-a:0 |z-a|R (即除 去圆心a的某圆)内解析，点a是

9、f (z)的奇点，则称a为f (z)的一个孤立奇点.孤立奇点是解析函数的奇点中最重要的一种类型.以解析函数的洛朗展式为 工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质.我们知道，如a为函数f (z)的孤立奇点，则f (z)在a点的某去心领域K-a内可以展成洛朗级数f (z)=工 C (z - a) n.nn=-s实际上，非负幕部分切Cn(z-a)n表示在点a的邻域K： |z-a| R内的解析 n=0函数，故函数f (z)在点a的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幕部分工c (z - a)-n，其负幕部分又称为f (z)在点a的主要部分.根据其主要部分的性 -nn=1质，孤立奇点可分

10、为可去奇点，极点及本质奇点。在此我们重点介绍极点.定义2.4如果f (z)在点a的主要部分为有限多项，设为m+(m-1) +1 (C。0)， (z - a) m (z - a) m-1z - a-m则称a为f (z)的m阶极点。一阶极点也称为单极点.定理2.21如果函数f (z)以点a为孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是m阶极点的特征.(1)f (z)在点a的主要部分为m+-(m-1)+ 1 (C。0) (z - a) m(z - a) m-1z - a-m(2)f (z)在点a的某去心邻域内能表成f (z) = z，(z - a )m其中人(z)在点a邻域内解析，且人(

11、a)莉；1(3)g(z)= 二以点a为m阶零点(可去奇点要当做解析点看，只要令 f ( z )定理2.31函数f (z)的孤立奇点a为极点的充要条件是lim f (z) = 8.za定理2.4函数f (z)的孤立奇点a为可去奇点的充要条件是lim f (z) = b(b 为有限数).za定理2.3函数f (z)的孤立奇点a为本质极点的充要条件是lim f (z)不存在.za2留数如果函数f (z)在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a， 则根据柯西积分定理J f (z )dz = 0.c但是，如果a是f (z)的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心邻域内，并包围点a，则积分J

12、f (z) dzc的值，一般说来，不再为零.并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。概 括起来，我们有定义2.5设函数f (z)以有限点a为孤立奇点，即f (z)在点a的某去心邻域0 |z - a R内解析，则称积分z 一 a=p ,0 p r )1,J f (z)dz(r：| 2冗i为f (z)在点a的留数(residue)，记为Res f (z).z=a由柯西积分定理知道，当0 p|中(z)|， 则函数f (z)与f (z)+中(z)在C的内部有同样多(几阶算作几个)的零点，即N (f +9, C) = N (f, C).4应用留数定理计算积分4.1复积分的计算运用留数定理计算实积分的方

13、法我们将通过例题来进行说明:例4.1计算积分j 5z - 2 dz .f ( ) = 5 z - 2 解显然，被积函数z 1=2 z(z - 1)2z(z -1)2在圆周|z| = 2的内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1.由推论2.5及推论2.6,5 z - 2Re sf (z )= 一 z=0(z - 1)2z=0=-2 ; Resf (z) = (52)|z=1zz=1 = 2 ；故由留数定理得-57 2j |(1)d7 = 2兀i(2 + 2) = 0.例 4.2 计算积分 f (7) = jCQS 7 d7 .=1 7cos 7解f(7) = =T在圆周7 = 1的内部只有三阶极点

14、z=0.由定理2.4， TOC o 1-5 h z Resf(7) = ?cos7L 0 = 2 故由留数定理得=1f cos 7Lj-dz = 2冗i ( )=冗i.71=1 732I7 1= n例4.3计算积分f (7) = j tan兀7d7 (n为正整数).解 f (7) = tan 兀 7 只以7 = k + L (k = 0,1,.)为一阶极点.2由定理2.5Re sf (7)sin 冗7(cos 冗7)(k = 0,1,.).7=k +故由留数定理得j tan 丸 7 d7I7 1= n2丸i Zk 11k + b 0). a + b cos 0 0 dz .izI = j (z

15、 21)2 .1 dzIz =14 z2z2 +1a + b(一)2zizi j(z2 1)2/=J , dz2b 7 屋, 2az 1=1 z 2( z 2 + z +1)b(z2 1)2=j dz,2b z =1 z 2( z a )(z p )一 a + (a 2 b 2 a +、a 2 + b 2其中 a =；, p =为实系数二次方程z2 +四z + 1 = 0的两个相异实根。由根与系数的关系ap = 1， b且显然|。|国，故必|P| 1,|a| 1.于是，被积函数f (z)在|z| = 1上无奇点。在单位圆|z| 1内只有一个二阶极点z=0和一个一阶极点z =a .则(z 21)

16、2】2aRe s_0/2a 八 z=0z =0 z 2( z 2 + bz + 1)由留数定理得例4.7计算积分Res =(z2 一1)2z=az2(z p ) z=a* i2a2 a 2 b 2 =I =-2 兀 i+ 2兀b b2 兀 r ；=a ：a2 b2 .b 2i = fcos mL de,(5 + 4cos 0 )20m为正整数.解由于被积函数f (z)为偶函数，则I = jcos mede = 1 jcos med0,(5 + 4cos0 )22 (5 + 4cos 0 )20兀命 z = eiz，则 de,izj_e=j 巴.d(5 + 4cose)2zl=*5 + 2 .i

17、Zz=-1 j Sdz4i zz + 1)2(z + 2)2于是被积函数f (z)在|z| = 1内只有一个二阶奇点z =.2z m+1z m+1Re s ：=z=-2( z + 1)2( z + 2)2( z + 2)22由留数定理得cos me(5 + 4cos0)2兀(1) m 3 m+5 =.z=272m22.1 (1) m 3 m+5(1) m=2兀 i.=4i272m-2273 m+5-丸，2 m1I = j cos me de = 1 j cos mO de =(-1) m 3 m+5 丸T (5 + 4cose)2- 2 J (5 + 4cose)2 27 .亍 *0兀这种题型

18、主要利用被积函数是以2兀为周期的偶函数的特点进行区间转化， 进而进一步利用留数定理求积分.2计算j+8些dx型积分 为了计算这种反常积分，我们先证明一个引理。-8 Q( x)它主要用来估计辅助曲线r上的积分.(图 4.1)引理4.1 1设f (z)沿圆弧七:z = R (61 6 62, R充分大)上连续(如图 4.1)且lim zf (z) = XR -+8于SR上一致成立(即与6 6 2; (2)在实轴上Q(z)。0，于是有j+s f (x)dx = 2兀 i Re sf (z).-SIm a z=akk例4.8计算积分I = j+sx2X(a 0).-s (x2 + a2)2解 被积函数

19、f (z)只有一个二阶极点x = ai.且符合定理4.1的条件.而 TOC o 1-5 h z X 2,iRe sf (z) = T|=-.z=ai(x + ai)2 z=ai4a于是I = j+sdx = 2兀 i (-上)=.-s (x2 + a2)24a2a例4.9计算积分I = j +8 d (a 0).f x 4 + a 4一 .一一 一冗+2虹 .解被积函数f (z) 一共有四个一阶极点ak = ae 4 1 (k = 0,1,2,3),且符合定理4.1 的条件.而*Re s f (z) = = (k = 0,1,2,3)z=a4z3 z=ak4akkf (z)在上半平面只有两个极

20、点a 0及，于是. dx1 兀.3.I = j 心=兀i(ae 4 + ae 4 )8 x 4 + a 44a 4-1, % ,气、兀一兀=-兀i 4(e 4 + e 4 ) = sin 3计算j+8mxdx型积分-8 Q( x)引理4.2 (若尔当引理)1设函数g(z)沿半圆周七:z = Rei0( 000).rt+8 rr定理4.21设g(z)= 空，其中P(z)及Q(z)是互质多项式，且符合条件：Q(z)Q(z)的次数比P(z)的次数高，在实轴上Q(z)。0，m 0，则有j+8g(x)eimxdx = 2兀i Resg(z)emx(4.1)-8Im 气 0 z=a特别说来，将(4.1)分

21、开实虚部，就可以得到形如j+8些cos mxdx及-8 Q( x)J+8 P(x) sin mxdx 的积分. -w Q( x)由数学分析的结论可知上面两个反常积分都存在，其值就等于柯西主值。例4.10计算积分I=j+w cosmxdx(m 0).0 1 + x 2解被积函数f (Z)为偶函数，则I=j+w cosmx dx=1 j+w cosmxdx.0 1 + x22 -w 1 + x2根据定理4.2得f+ 0S dx = 2兀 i Re 曜二=2 心=ne -m.-w 1 + x2z=i 1 + z22i于是I = j+w csmdx(m0)工 e -m.0 1 + x 22例4.11计

22、算积分I = j+w x cos xdx-w x 2 2 x + 10解 易验证被积函数f (z) = z 2 - 2 z +10满足若尔当引理的条件，这里一 ，、 zm=1, g (z)=z 2 2 z +10函数f (z)有两个一阶极点z = 1 + 3i及z = 1 - 3i.I=j+w cosmx dx=1 j+w osrndx.0 1 + x22 -w 1 + x2zeizRe s f (z)= z=1+3/(z2 - 2z +10)z=1+3i(1 + 3i )e -3+i6i于是 TOC o 1-5 h z x cos xdx(1 + 3i)e -3+i兀(1 + 3i )(cos1 + i sin 1)I = j+w= 2兀 i = 一 e -3-w x 2 2 x +106i3兀兀=y e -3 (cos1 一 3sin 1) + i y e -3 (3cos1 + sin 1).