选择性必修第一册第三章 微专题4 圆锥曲线的离心率 学案

1、微专题4圆锥曲线的离心率椭圆和双曲线的离心率是最重要的几何性质之一，离心率的考查是高考的一个热点，下面就离心率的求法做一个简单的总结一、定义法例1(1)设F1，F2分别是椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点，M为直线y2b上的一点，F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为()A.eq f(r(7),14) B.eq f(r(7),7) C.eq f(2r(7),7) D.eq f(3r(7),14)答案C解析因为F1MF2是等边三角形，故M(0,2b)，|MF1|F1F2|，即eq r(4b2c2)2c，即4b2c24c2，4a27c2，e2eq f(

2、c2,a2)eq f(4,7)，故eeq f(2r(7),7).(2)设F1，F2分别为双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|eq f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为_答案eq f(5,3)解析不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故r1eq f(3b2a,2)，r2eq f(3b2a,2).又r1r2eq f(9,4)ab，所以eq f(3b2a,2)eq f(3b2a,2)eq f(9,4)ab，解得eq f(

3、b,a)eq f(4,3)(负值舍去)，故eeq f(c,a)eq r(f(a2b2,a2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)21)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)21)eq f(5,3).反思感悟根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程二、几何法例2(1)设F1，F2分别是椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1F230，则椭圆的离心率为()A.eq f(r(3),3) B.eq f(r(3),6) C.eq f(1,3)

4、 D.eq f(1,6)答案A解析如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为PF1F2的中位线所以OMPF2，所以PF2F1MOF190.因为PF1F230，所以|PF1|2|PF2|，|F1F2|eq r(3)|PF2|.由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3|PF2|，即aeq f(3|PF2|,2)，2c|F1F2|eq r(3)|PF2|，即ceq f(r(3)|PF2|,2)，则eeq f(c,a)eq f(r(3)|PF2|,2)eq f(2,3|PF2|)eq f(r(3),3).(2)设F1，F2是双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2

5、)1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_答案eq r(3)解析根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，则eq blcrc (avs4alco1(|PF1|PF2|6a，,|PF1|PF2|2a，)解得eq blcrc (avs4alco1(|PF1|4a，,|PF2|2a.)又|F1F2|2c，|PF2|最小在PF1F2中，由余弦定理，得eq f(4a24c24a2,24a2c)cos 30，2eq r(3)ac3a2c2.等式两边同除以a2，得e22eq r(3)e30，解得eeq r(3).反思感悟涉及到焦点三角形

6、的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得eq f(c,a)的值三、寻求齐次方程求离心率例3(1)已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且ABBF，则椭圆的离心率为_答案eq f(r(5)1,2)解析在ABF中，|AB|eq r(a2b2)，|BF|a，|AF|ac.由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2，将b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得eeq f(1r(5),2).因为0e0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2

7、|AB|3|BC|，则E的离心率是_答案2解析如图，由题意知|AB|eq f(2b2,a)，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，2eq f(2b2,a)32c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)反思感悟利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2a2b2(或a2c2b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解四、求离心率的取值范围例4(1)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右顶点到其渐近线的距离不大于eq f(2r(5),5)a，其离心率e的取值范围为()Aeq r(3)

8、，) Beq r(5)，)C(1，eq r(3) D(1，eq r(5)答案D解析依题意，点(a，0)到渐近线bxay0的距离不大于eq f(2r(5),5)a，eq f(|ba0|,r(b2a2)eq f(2r(5),5)a，解得eeq r(5).又e1，1b0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()c2，则此椭圆离心率的取值范围是_答案eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),3)，f(r(2),2)解析设P(x，y)，则eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2eq f(b2,a2)x2代入上式，解得x2eq f(2c2b2a2,c2)eq f(3c2a2a2,c2).又x20，a2，2c2a23c