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1、微专题4圆锥曲线的离心率椭圆和双曲线的离心率是最重要的几何性质之一,离心率的考查是高考的一个热点,下面就离心率的求法做一个简单的总结一、定义法例1(1)设F1,F2分别是椭圆C:eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点,M为直线y2b上的一点,F1MF2是等边三角形,则椭圆C的离心率为()A.eq f(r(7),14) B.eq f(r(7),7) C.eq f(2r(7),7) D.eq f(3r(7),14)答案C解析因为F1MF2是等边三角形,故M(0,2b),|MF1|F1F2|,即eq r(4b2c2)2c,即4b2c24c2,4a27c2,e2eq f(
2、c2,a2)eq f(4,7),故eeq f(2r(7),7).(2)设F1,F2分别为双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b,|PF1|PF2|eq f(9,4)ab,则该双曲线的离心率为_答案eq f(5,3)解析不妨设P为双曲线右支上一点,|PF1|r1,|PF2|r2.根据双曲线的定义,得r1r22a,又r1r23b,故r1eq f(3b2a,2),r2eq f(3b2a,2).又r1r2eq f(9,4)ab,所以eq f(3b2a,2)eq f(3b2a,2)eq f(9,4)ab,解得eq f(
3、b,a)eq f(4,3)(负值舍去),故eeq f(c,a)eq r(f(a2b2,a2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)21)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)21)eq f(5,3).反思感悟根据椭圆或双曲线的定义,求出a,c或列出关于a,c的等式,得到关于e的方程二、几何法例2(1)设F1,F2分别是椭圆C:eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,PF1F230,则椭圆的离心率为()A.eq f(r(3),3) B.eq f(r(3),6) C.eq f(1,3)
4、 D.eq f(1,6)答案A解析如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为PF1F2的中位线所以OMPF2,所以PF2F1MOF190.因为PF1F230,所以|PF1|2|PF2|,|F1F2|eq r(3)|PF2|.由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3|PF2|,即aeq f(3|PF2|,2),2c|F1F2|eq r(3)|PF2|,即ceq f(r(3)|PF2|,2),则eeq f(c,a)eq f(r(3)|PF2|,2)eq f(2,3|PF2|)eq f(r(3),3).(2)设F1,F2是双曲线C:eq f(x2,a2)eq f(y2,b2
5、)1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点若|PF1|PF2|6a,且PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为_答案eq r(3)解析根据双曲线的对称性,不妨设点P在第一象限,则eq blcrc (avs4alco1(|PF1|PF2|6a,,|PF1|PF2|2a,)解得eq blcrc (avs4alco1(|PF1|4a,,|PF2|2a.)又|F1F2|2c,|PF2|最小在PF1F2中,由余弦定理,得eq f(4a24c24a2,24a2c)cos 30,2eq r(3)ac3a2c2.等式两边同除以a2,得e22eq r(3)e30,解得eeq r(3).反思感悟涉及到焦点三角形
6、的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得eq f(c,a)的值三、寻求齐次方程求离心率例3(1)已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0),A,B分别为椭圆的左顶点和上顶点,F为右焦点,且ABBF,则椭圆的离心率为_答案eq f(r(5)1,2)解析在ABF中,|AB|eq r(a2b2),|BF|a,|AF|ac.由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2,将b2a2c2代入,得a2acc20,即e2e10,解得eeq f(1r(5),2).因为0e0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2
7、|AB|3|BC|,则E的离心率是_答案2解析如图,由题意知|AB|eq f(2b2,a),|BC|2c.又2|AB|3|BC|,2eq f(2b2,a)32c,即2b23ac,2(c2a2)3ac,两边同除以a2并整理得2e23e20,解得e2(负值舍去)反思感悟利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a,b,c的关系式,结合c2a2b2(或a2c2b2),化简为参数a,c的关系式进行求解四、求离心率的取值范围例4(1)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0,b0)的右顶点到其渐近线的距离不大于eq f(2r(5),5)a,其离心率e的取值范围为()Aeq r(3)
8、,) Beq r(5),)C(1,eq r(3) D(1,eq r(5)答案D解析依题意,点(a,0)到渐近线bxay0的距离不大于eq f(2r(5),5)a,eq f(|ba0|,r(b2a2)eq f(2r(5),5)a,解得eeq r(5).又e1,1b0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()c2,则此椭圆离心率的取值范围是_答案eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),3),f(r(2),2)解析设P(x,y),则eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()(cx,y)(cx,y)x2c2y2c2,将y2b2eq f(b2,a2)x2代入上式,解得x2eq f(2c2b2a2,c2)eq f(3c2a2a2,c2).又x20,a2,2c2a23c
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