2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：第2章第4节二次函数的再研究与幂函数

1、第四节二次函数的再研究与号函数考纲1.(1)了解幕函数的概念；(2)结合函数y= x, y= x2, y=x3, y= 1,x1y= x2的图像，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.抓基础自主学习|知识植理(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x) = ax2+bx + Caw 0)；顶点式：f(x) = a(x h)2 + k(a*0),顶点坐标为(h, k);零点式：f(x) = a(x x1)(x x2)(aw0), x1, x2 为 f(x)的零点.(2)二次函数的图像与性质2.幕函数(1)定义：如果一个函数，底数是自

2、变量 x,指数是常量 %即y,这样 的函数称为幕函数.五种常见幕函数的图像与性质函数特征性质y二xy=x2y=x32 y=x匕一1y二 x图像%I*常卜定义域RRRx|x 0 x|xw 0值域Ry|y 0Ry|y 0y* 0奇偶性奇偶奇非奇非偶单调性埴(-0, 0)减，(0、+0 增期( 8、0)和(0, +8)减公共点(1,1)学情自需1.（思考辨析）判断以下结论的正误.（正确的打“，错误的打“X）二次函数y=ax2+bx+ c, xCR,不可能是偶函数.（）二次函数 y=ax2+bx+ c, xCa,b的最值一定是4ac b2 4a .(幕函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0).()

3、当n0时，幕函数y= xn在（0, +8）上是增函数.（）答案（1）x （2）x （3）x ，2.（教材改编）幕函数f（x） = x的图像过点（4,2）,假设f（m） = 3,那么实数m 的值为（）a.V3b. 73C. 79D. 9iD 由题意可知4 = 22= 2,所以a= 2.所以f(x) = x2=或，故 f(m) = /m=3? m=9.3,函数f(x) = ax2 + x+5的图像在x轴上方，那么a的取值范围是()【导学号：57962042A 0 -B oo A. 0, 20B.,201C.20，+D.120,4.a 0由题意知* oa0,1-20a20.(2021贵阳适应性考试(

4、二)二次函数f(x) = 2x2 +bx- 3(b R)零点的个数是()【导学号：57962043】A. 0 B. 1 C. 2D. 4C 因为判别式A= b2 + 24 0,所以原二次函数有2个零点，应选C.5.假设二次函数y=ax2+bx+ c的图像与x轴交于A( 2,0), B(4,0)且函数的最大值为9,那么这个二次函数的表达式是 .【导学号：57962044】y= -x2+2x+8 设 y=a(x+2)(x 4),对称轴为 x= 1,当 x= 1 时，ymax= - 9a = 9, . a= -1, .y= (x+ 2)(x 4)= x2 + 2x+ 8.明考向题型突破|析射!一艮1

5、一求二次函数的解析式例二次函数f(x)满足f(2) = 1, f(1)=1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解法一(利用一般式)：设 f(x) = ax2+ bx+ c(a * 0).4a+ 2b+c= 1,由题意得ab+c= 1,4ac b24a8,a= - 4, 解彳3b=4,c= 7.12分所求二次函数为 f(x) = 4x2 + 4x+ 7.法二(利用顶点式)：设 f(x)= a(x m)2+ n. f(2)=f(1), TOC o 1-5 h z 2H11抛物线的图像的对称轴为x=2 2 1 =2.3分1m= 2.又根据题息函数有最大值 8,n= 8.一1 O八7=

6、 f(x) = a x-2 2 + 8.8 分O- f(2) = -1, - a 2-2 +8= 1,斛彳寸 a = - 4,.f(x)= 4 x-2 2+8= 4x2 + 4x+ 7.12分法三(利用零点式)：由 f(x)+1 = 0 的两根为 x1 = 2, x2= 1, 2 分故可设 f(x)+1=a(x2)(x+ 1),即 f(x)= ax2ax 2a 1.6分又函数的最大值是8,即4a f 二1 5 =8,4a解彳# a= - 4,所求函数的解析式为f(x)= 4x2+4x+7.12分规律方法用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数 解析式的形式，选法如下变式训练1二次

7、函数f(x)的图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意xR,都有f(2 x)=f(2+x),求f(x)的解析式.解:fQ x)=f(2+x)对 xC R 包成立，；f(x)的对称轴为x=2.2分又.Kx)的图像被x轴截得的线段长为2, TOC o 1-5 h z .f(x) = 0的两根为1和3.6分设 f(x)的解析式为 f(x) = a(x 1)(x 3)(a w 0).又.f(x)的图像过点(4,3), .3a = 3, a=1.10分,所求f(x)的解析式为f(x) = (x 1)(x- 3),即 f(x) = x2 4x+ 3.12 分考向21/，考点餐探盥二次函

8、数的图像与性质?角度1二次函数图像的识别及应用设abc0,那么二次函数f(x) = ax2+bx+ c的图像可能是(2)函数f(x) = x2+mx 1,假设对于任意x m, m+1,都有f(x)0成立, 那么实数m的取值范围是.(1)D (2)孝，0(1)由 A, C, D 知，f(0)=c0, .-.ab0,知A, C错误，D符合要求.由2aB 知 f(0) = c 0.ab0,.=-鼻0, B 错误.(2)作出二次函数f(x)的图像，对于任意x m, m+1,都有f(x)0,那么f m 0f m+ 1 0,解得m0.m2+ m2 10,m+12+mm+1 1 -1,那么函数 f(x) =

9、 4x 2x+1-3的最小值为()【导学号:57962045】A. -4 B. 3 C. 1 D. 0(2)(2021安徽皖北第一次联考)函数f(x)= x2 + 2ax+ 1a在区间0,1上的最大值为2,那么a的值为()A. 2B. 1 或3C. 2 或3D. 1 或2(1)A (2)D (1)xlog52-1? log52xlog55 1? 2x5.1令 t=2xt三，那么有 y=t2 2t3= (t- 1)2-4, 5当t=1l，即x= 0时，f(x)取得最小值4.应选A.5(2)函数f(x)= (x a)2 + a2a+1图像的对称轴为x= a,且开口向下，分三种情况讨论如下：当a0时

10、，函数f(x)= x2 + 2ax+ 1a在区间0,1上是减函数， f(x)max = f(0) 1 a,由 1 a=2,得 a = - 1.当0a01时，函数f(x)= x2 + 2ax+ 1a在区间0, a上是增函数，在a,1上是减函数，f(x)max = f(a) = a2+ 2a2+1-a=a2-a+1,由a2 a+1 =2,解得a=142泌或a=125/ ,0 a1时，函数f(x)= x2 + 2ax+ 1a在区间0,1上是增函数，f(x)max = f(1) = - 1 + 2a + 1a = 2, .a = 2.综上可知，a= 1或a = 2.?角度3二次函数中的包成立问题卜例E

11、S a是实数，函数f(x)=2ax2 + 2x- 3在x C -1,1上恒小于零,求实数a的取值范围.解由题意知2ax2+2x 30在1,1上恒成立.当x= 0时，-30,适合；当 xw0 时，a3 11-1 2-6.4 分 TOC o 1-5 h z 1 . . .因为e(8 1 u 1 + 0) x1当x= 1时，右边取最小值1，所以af(x)? af(x)max, a&f(x)? af(x)min.幕函数的图像与性质例冢(1)幕函数v= f(x)的图像过点(4,2),那么幕函数y=f(x)的图像是(ABCD(2)幕函数f(x) = xm2 2m3(mC N*)的图像关于y轴对称，且在(0

12、, +) 是减函数，那么m的值为.1(1)C (2)1 (1)令 f(x) = x,那么 4= 2,:31 .f(x) = x2.(2);”)在(0, +8)上是减函数，m2 2m30,解得1m0,假设在(0, +8)上递减，那么aab【导学号:57962046】C. abcA. acbD. bac(2)假设(a+1)2a0,而c = log50.3 a c.(2)易知函数y = x2的定义域为0, 十 ),在定义域内为增函数，所以a+10,3-2a0,解得1a|.3a+13-2a,名师微博思想与方法1,二次函数的三种形式的选法(1)三个点的坐标时，宜用一般式.(2)二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用 顶点式.(3)二次函数与x轴有两个交点，且横坐标时，选用零点式求f(x)更方便.研究二次函数的性质要注意(1)结合图像分析；(2)含参数的二次函数，要进展分类讨论.利用幕函数的单调性比拟幕值大小的方法在比拟幕值的大小时，必须结合幕值的特点，转化为同指数幕，再选择适当 的函数，借助其单调性进展比拟.幕函数y=x”(aC R)图像的特征介0时，图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升；a0时，