2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：第7章第5节简单几何体的面积与体积

1、第五节简单几何体的面积与体积考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的外表积和体积的计算公式.抓基础自主学习I知识植理 ， 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图r、3；1.二夕M j；a侧面积公式S圆柱侧=2出S圆锥侧=出S圆台侧=7 后 + r2）i2.柱、锥、台和球的外表积和体积外表积体积柱体（棱柱和圆柱）S外表积=S侧+ 2S底7= Sh锥体（棱锥和圆锥）S外表积S侧+ S底1 V=XSh 3台体（棱台和圆台）S外表积=S侧+ S上+ S下V=3（S上+S 下+ds上Sr）h球S= 4jR24 3V=#学情自测 TOC o 1-5 h z 1.（思考辨析）判断以下结论的

2、正误.（正确的打“，错误的打“x）（1）锥体的体积等于底面面积与高之积.（）球的体积之比等于半径比的平方.（）（3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（）3球。的半径为R,其内接正万体的边长为a,那么R=+a.（）答案（1）X （2）X ，2.（教材改编）圆锥的外表积等于12冗c由其侧面展开图是一个半圆，那么底面圆的半径为（）A. 1 cmB . 2 cm3C. 3 cmD . 2 cmB S表=7f2+m=7f2+2= 3疔2=12兀，.r2=4, .= 2（cm）.（2021全国卷I）?九章算术？是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中 有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.

3、问：积及为米几何？ 其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图7-5-1,米堆为一个圆锥的四分之一），米 堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ 1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）图 7-5-1A. 14 斛B. 22 斛C. 36斛D. 66 斛B 设米堆的底面半径为r尺, 那么2r = 8,所以二*所以米堆的体积为V=x3d25= 12x92X5=390（立方尺）.故堆放的米约有噌=22（斛）.应选4 312 兀99B.（2021全国卷H ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的 外表积为（）.32A. 12 几B.3九C

4、- 8 兀 D. 4 九A 设正方体棱长为a,那么a3=8,所以a = 2.所以正方体的体对角线长为2m，所以正方体外接球的半径为 V3,所以球的外表积为4兀43）2= 12兀.（2021郑州质检）某几何体的三视图如图7-5-2所示（单位：cm）,那么该几何体的体积是cm3.【导学号：57962340】图 7-5-232可由二视图可知该几何体是由梭长为 2 cm的正方体与底面为边长为 23 cm的正方形、高为2 cm的四棱锥组成，V=V正方体+ V四棱锥=8 cm3+ cm3=233cm3.明考向题型突破I空间几何体的外表积例（1）某三棱锥的三视图如图7-5-3所示，那么该三棱锥的外表积是A.

5、 2+也 B. 4+V5C. 2 + 2&D. 5（2021全国卷I ）如图7-5-4,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.假设该几何体的体积是28T那么它的外表积是3图 7-5-4A. 17 兀 B. 18 兀 C. 20 兀 D. 28 九(1) C (2) D (1)由三视图作出三棱锥如下图，在三棱锥 A-BCD 中，AD，平面 BCD. BCD为等腰三角形，E为BC的中点，连接AE, DE , 又 AD=BE=EC=1, DE = 2,所以 bd = cd =，5, ae=a BCD= 2.见B么 SACD = SzABD = 2X 1X 由:, SABC=

6、2X 2X5 = y5故 S 表=S ACD + Sa ABD + Sa BCD+ S ABC = 2+2/5. ， 、一 .一一 1 一(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的4,得到的几 4c 14c 287 c 3c何体如图.设球的半径为 R,那么不近3 1*43：解得R7X47TR2 + 7R238 3384=17兀.规律方法1.(1)多面体与旋转体的外表积等于侧面面积与底面面积之和.(2)简单组合体：应搞清各构成局部，并注意重合局部的处理.2 .假设以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进展分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观

7、图，然后根据条件求解.变式训练1 (2021全国卷田)如图7-5-5,网格纸上小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的外表积为()A. 18+36mB. 54+18/5C. 90 D. 81B 由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，那么外表积为(3X3+3X6+3X375)X2 = 54+ 18季.应选B.I一向2 1空间几何体的体积例以(1)在梯形 ABCD 中，/ ABC = j, AD/BC, BC = 2AD = 2ABABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()B.2兀 A.V

8、 3D. 2九(2)(2021天津高考)一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7-5-6所示(单位：m),那么该四棱锥的体积为 m3.主觇图 左视图期福图图 7-5-6C (2)2 (1)过点C作CE垂直AD所在直线于点E,梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB的长为底面圆半径， 线段BC为母线的圆柱挖去以线段 CE的长为底面圆半径，ED为高的 圆锥，如下图.由于 V 圆柱=ttAB2 BC= ttX 12X2=2tt,V圆锥=；ttCE2 DE = t 兀 2X（21）=最 333 斤 5 5r所以该几何体的体积V=V 圆柱 V圆锥=2九 可二-3.（2

9、）由三视图知，四棱锥的高为3,底面平行四边形的一边长为2,对应高为1,所以其体积 V=gsh= 31X 2X 1X3 = 2.规律方法1.假设所给定的几何体是柱体、锥体或台体，那么可直接利用 公式进展求解.假设所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，那么常用转换法（转换的原那么是使底面面积和高易求卜分割法、补形法等方法进展求解.假设以三视图的形式给出几何体，那么应先根据三视图得到几何体的直 观图，然后根据条件求解.变式训练2 （2021陕西质检（二）某几何体的三视图如图7-5-7所示，那么 此几何体的体积是（）【导学号:57962341】B. 32 几D. 40 几A. 28 几C. 36

10、几C 由三视图得该几何体为一个底面半径为2,高为2的圆柱体和一个上底1C半径为2,下底半径为4,图为3的圆台，那么具体积为2X TtX 22 + -TtX 3（22+342 + 2 X 4） = 36?应选 C.|考向31娶可像相豺的切、接问题例 （2021全国卷田）在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.假设ABXBC, AB=6, BC=8, AA1 = 3,那么V的最大值是（）A. 4九C. 6九B.D.32 7tB 由ABBC, AB = 6, BC=8,得AC=10,要使球的体积 V最大，那么球与直三棱柱的局部面相切，假设球与三个侧面相切，设底面4ABC的内切圆11

11、的半径为r.那么2X6X8 = 2X（6+8+10）r,那么r = 2.此时2r = 43,不合题意.因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.一 3由 2R=3,即 R：. .一4 c 9故球的取大体积V=a TR3=5兀. 32迁移探究1假设本例中的条件变为“直三棱柱 ABC-AiBiCi的6个顶点都 在球O的球面上，假设 AB=3, AC = 4, ABXAC, AAi=12,求球O的外表 积.解将直三棱柱补形为长方体 ABEC-ABEC, 那么球。是长方体ABEC-ABEC的外接球，体对角线BC的长为球。的直径.因此 2R= 132 + 42+ 12 = 13,故 S 球=4

12、TR2= 1697t.迁移探究2假设本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上，假设该棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的体积.解如图，设球心为O,半径为r,那么在 RtAOF 中，(4-r)2+(V2)2=r2,一 9解彳# r=4,4 c 49 3 243 ”那么球O的体积V球=3底=3兀X 4 = 16 .规律方法1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题， 球与多面体的组合，通过多面体的一条 侧棱和球心，或“切点、”接点作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.假设球面上四点P, A, B, C中PA, PB, PC两两垂直或三棱锥

13、的三条 侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.变式训练3 （2021全国卷H）A, B是球。的球面上两点，/ AOB=90, C为该球面上的动点.假设三棱锥 O-ABC体积的最大值为36,那么球O的外表 积为（）A. 36 兀B. 64 九C. 144 7tD. 256 7t1 2C 如图，设球的半径为 R, ./AOB= 90 , - SaAOB = 2R2cVo-abc = Vc-aob,而 AOB 面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VdABC最大，星三述R当C为与球的大圆面 AOB垂直的直径的端点时，体积一 .11 o _Vo-abc 最大为ax 5R2X R= 36, 3 2；R=6, .球O的外表积为4市2=4兀乂62= 144兀应选C.名师微博0思想与方法.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进展， 即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧 面展开图的形状及平面图