D对弧长曲线积分课件

1、第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 第1页，共30页。一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得为计算此构件的质量,1.引例: 曲线形构件的质量采用第2页，共30页。设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, 都存在, 上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量和对第3页，共30页。如果 L 是 x

2、Oy 面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线 , 则记为则定义对弧长的曲线积分为第4页，共30页。3. 性质（, 为常数)( 由 组成) ( l 为曲线弧 的长度)第5页，共30页。二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转 化1)且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分第6页，共30页。2)如果曲线 L 的方程为则有3)如果方程为极坐标形式:则4) 设空间曲线弧的参数方程为则第7页，共30页。例1. 计算其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解:上点 O (0,0)第8页，共30页。例2. 计算其中L为双纽线解: 在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性

3、, 得第9页，共30页。例3. 计算曲线积分 其中 为螺旋的一段弧.解: 线第10页，共30页。11.1.1、曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系：B第11页，共30页。11.1.2、设C为从A(0，0)到B(4，3)的直线段，则 D解：直线方程为第12页，共30页。11.1.15、有一铁丝弯成半圆形 x=acost, y=asint, 0t，其上每一点的密度等于该点的纵坐标的平方，则铁丝的质量为D第13页，共30页。11.2.1、设L为xoy面上有质量的曲线，在曲线L上的点(x,y)处的质量线密度为(x,y)。则这条曲线L的质量的计算表达式为_.第14页，共30页。11.2.4、设是母线平

4、行于oz轴的柱面的部分，它的底是位于xoy平面上的光滑曲线L，它的高z是x, y的非负函数z=f(x,y), 用曲线积 分表示柱面的面积A=_.第15页，共30页。11.2.7、 解： 根据对称性第16页，共30页。11.3.2、第17页，共30页。11.3.9、计算 其中L是直线 上从点(0，-2)到点(4，0)之间的一段。 第18页，共30页。 11.3.10、计算其中r是螺线：x=tcost, y=tsint, z=t. (0tt0)第19页，共30页。11.3.13、计算曲线积分，其中L为连接点A(3,0)及B(0,2)的直线段。即 故 解：AB直线方程为：第20页，共30页。11.3.18、计算 其中L为圆周x2+y2=ax. (a0) 第21页，共30页。11.3.19、计算 ，其中L是圆螺旋线： 第22页，共30页。11.3.38、段。第23页，共30页。11.3.39、计算曲线积分 ，其中C是从点(1，0，1)到点(0，3，6)的线段。，0t1, 解：因为C：故