274谐波分析三角函数系的正交性课件

1、一、谐波分析 三角函数系的正交性 二、傅里叶级数三、奇函数与偶函数的傅里叶级数四、函数 f(x) 在 0 , 上展开为正 弦级数与余弦级数第六节 傅里叶(Fourier)级数第十二章 无穷级数第1页，共36页。一、谐波分析 三角函数系的正交性 由组成的函数序列叫做三角函数系， 三角函数系的正交性是指 : 如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘，在区间 , 上的定积分， 其值都为零 .这实际上只需证明以下五个等式成立 :第2页，共36页。以上结果，这里就不证明了 .第3页，共36页。二、傅里叶级数如下形式的函数项级数称为三角级数 .假定且可逐项积分 ，第4页，共36页。 注意到三角函数系的正交

2、性，即有于是有第5页，共36页。所以为了求出系数 an ， 我们用 cos kx 乘级数 ，然后在逐项积分第6页，共36页。由三角函数的正交性可知，等式右端各项中，当 k = n 时，有其余各项均为零 .因此第7页，共36页。用类似的方法，可得到 注意到在求系数 an 的公式中，令 n = 0 就得到 a0 的表达式， 因此求系数 an , bn 的公式可以归并为 第8页，共36页。 由傅里叶系数 组成的三角级数称为傅里叶级数. an , bn 称为傅里叶系数. 第9页，共36页。收敛定理 (狄利克雷 (Dirichlet) 定理 )设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ， 如果它满足条

3、件 : 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， 并且至多只有有限个极值点， 则 f(x) 的傅里叶级数收敛， 并且第10页，共36页。级数收敛于 (2) 当 x 是 f(x) 的间断点时，级数收敛于 f(x) ;(1) 当 x 是 f(x) 的连续点时， 其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x 处的左极限，f(x+0) 表示 f(x) 在 x 处的右极限 .第11页，共36页。它在 , ) 上的表达式为试将函数 f(x) 展开成傅里叶级数 .设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函例 2数 ，解 函数 f(x) 的图形如图所示 ， f(x)xO2第12页，共36页。这是一个矩形波，它显然

4、满足收敛定理的条件 ，由式 (12.6.4)第13页，共36页。因为在计算 又第14页，共36页。根据收敛定理可知，当 x k (k = 0 , 1 , 2 ，) 时，傅里叶级数收敛于 f(x) ，即第15页，共36页。 所求傅里叶级数和函数的图形如图所示 .图形在 x = k (k=0 , 1 , 2 ，) 各点处与例 2 不同.当 x = k ( k = 0 , 1 , 2 ，) 时，级数收敛于2 f(x)xO2第16页，共36页。例 3设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ，它在 , ) 上的表达式为试将其展开成傅里叶级数. f(x)xO2 第17页，共36页。解计算傅里叶系数第1

5、8页，共36页。第19页，共36页。所求的傅里叶级数在连续点处收敛于 f(x) ，即第20页，共36页。 级数收敛于 当 x = 2k (k = 0 , 1 , 2 , ) 时，当 x = (2k + 1) (k = 0 , 1 , 2 ，) 时，级数收敛于 0 .图中给出了它的和函数的图形. f(x)xO2 第21页，共36页。展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数， 称为正弦函数， 只含有余弦函数包括常数项的称为余弦级数.假设以 2 为周期的周期函数 f(x) 在 , 内是奇函数， 那么傅里叶级数一定是正弦级数.即此时傅氏系数三、奇函数与偶函数的傅里叶级数第22页，共36页。于是在区间 ( )

6、 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，而奇函数在对称区间上的积分为零 ，所以又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，第23页，共36页。故有 同理可以推出，当函数 f(x) 是偶函数时， 其展开式为余弦级数，即此时傅里叶系数为第24页，共36页。 设周期函数 f (x) 在其一个周期上的表达式例 4 试将其展开成傅里叶级数 .解 函数 f (x) 的图形如图所示 ，f(x)Ox第25页，共36页。 因此我们应根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数.由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，第26页，共36页。即 故所求的傅里叶级数收敛于 f(x)，又因为 f(x) 处处连续 ，第2

7、7页，共36页。 (x) 称为f(x) 的周期延拓函数. 且以 2 为周期的函数， 如果 (x) 满足收敛定理的条件， 我们设想有一个函数 (x)，设函数 f(x) 定义在 0 , 上，它是定义在 ( ) 上而在 0 , 上， (x) = f(x). 那么 (x) 在 ( ) 上就可展开为傅里叶级数，取其 0 , 上一段，即为 f(x) 在 0 , 上的傅里叶级数，四、函数 f(x) 在 0 , 上展开 为正弦级数与余弦级数第28页，共36页。在理论上或实际工作中， 下面的周期延拓是最为常用:将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ， 使延拓后的函数成为奇函数 ， 然后再延拓为以 2 为周期的函数 .这种延拓称为周期奇延拓;yx322O周期奇延拓第29页，共36页。 这种延拓称为周期偶延拓.将 f(x) 先延拓到( , 0)，使延拓后的函数为偶函数，然后再延拓为以 2 为周期的函数，周期偶延拓yx322O第30页，共36页。显然，周期奇延拓的结果为正弦级数， 其傅里叶系数按公式 (12.6.5) 计算.即( 因在 0 , 上， (x) = f(x) ).周期偶延拓的结果为余弦级数， 其傅里叶系数公式为第31页，共36页。例 5试将解按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，第32页，共36页。