发表《基于点阵技术与几何画板结合的三角函数图像变》电子稿

1、通信地址：江苏省无锡市惠山新城政和大道1号 邮编：214174 联系电话子信箱： HYPERLINK mailto: QQ:1652832778作者简介：吴宝莹，男，1970.6.7出生，江苏省特级教师，中国奥数优秀教练员，中国管理科学研究院学术委员会特约研究员，发现杂志社副理事长、高级编审，中学数学特约编委，江苏省高考命题专家成员，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象，江苏省新课程改革实验先进个人，江苏省校本教研指导教师，无锡市领军人才，享受政府专项津贴，无锡市首批数学名师工作室领衔人、导师，在数学教育学报、数学通报等RCCSE中国核心学术期刊(A)、全国科技

2、核心、全国中文核心、国家级、省级刊物发表论文160余篇，其中十余篇被中国人民大学书报资料中心高中数学教与学全文转载，主持国家级、省级教育科学规划课题三项，入选江苏教育新闻网首批18位驻站名师.基于点阵数码笔技术与几何画板结合的三角函数的图像变换陈敏 吴宝莹 （江苏省锡山高级中学，江苏无锡 214174）点阵数码笔是依托于数字光学点阵技术的一种新型书写工具. 主要组成部件有压力传感器、高速摄像头、处理器、电池、数据存储器、蓝牙或USB通讯模块等（如图1所示）. 所用的点阵笔与普通纸张不同，但成本几乎一样，只是在普通纸张上印刷一层不可见的点阵图案.图1其工作原理是笔尖被压下的同时，压力传感器被触发

3、，启动内置的高速摄像头，以每秒100张的速度对笔尖所经过的点阵进行随时捕捉拍照，将点阵坐标、笔迹顺序、运动轨迹、压力数据、运动速度等信息传递给内置的数据处理器，最终通过蓝牙或USB通讯单元向外输出。三角函数的图像变换教学是高中较全面、较集中的一次函数图象变换研究，涉及到平移变换、周期变换（伸压变换）、振幅变换，学生理解起来较为抽象，黑板加粉笔的传统教学达不到理想的效果，学生大都是死记变换规律以应付作业与考试.由于本节教学内容的特殊性，学生只有在自主探究、合作交流的基础上，感受动态的图像变换，才能真正理解图象变换规律，从而进一步掌握应用图象变换规律解决相关问题. 点阵数码笔和几何画板能很好的解决

4、学生自主探究、合作交流以及动态的图像变换这两个问题.一、实时总览全局，前台“指点江山”学生用点阵数码笔在纸上书写的同时，他们的书写结果会同步抓拍传输到到电脑中，老师在讲台前对每一个学生的探究过程尽收眼底、一览无余，可以从全局上掌握每个人在纸上的书写内容.必要时在前台适时适度点拨.本节课的重点和难点在于第一步平移变换，这一种变换理解清楚了，其他的几种图象变换完全可以类比，就容易多了. 教材用“”作为平移变换的例子，在用五点法列表时，明显地可以看出函数的图象上点的横坐标减去1后对应于函数的图象上的点（纵坐标不变），学生描点后，不难发现函数的图象可以看作是由函数的图象上的所有的点向左平移1个单位而得

5、到的.这只是通过画出这两个具体的函数图象感觉是这样的，一般情况下怎样由的图象得到的图象，又是为什么？对于这个问题，教师在讲台前很清楚地看到学生的点阵纸上的探究情况遇到障碍，这时教师就可以适时点拨引导.教师引导学生观察与两个函数解析式的结构特征，用自己的点阵笔（笔迹设成红色），把前者的“”和后者的“”用红笔圈起来加以对照，用“相当于”的方法引导学生发现和理解平移变换的规律：不难发现，从结构上看，中的作为一个整体相当于中的，而纵坐标不变，即点的高度不变，这说明是左右平移，而且平移后的点的横坐标要小，怎么小法？应当是平移前的横坐标减去1（因为它加上1后才相当于平移前中的），所以，函数的图象可以看作是

6、由函数的图象上的所有的点向左平移1个单位而得到的.事实上就是换元法，令，函数的图象上的点对应于函数图象上的点，但这种换元的方法远不如“相当于”的方法更接近于知识理解的教育形态.图2周期变换、振幅变换也是这样.如周期变换：由的图象如何变换得到的图象，观察二者的结构，中的作为一个整体相当于中的，而纵坐标不变，即平移后点的横坐标要小，小到什么程度？小到是平移前横坐标的二分之一（因为平移后点的横坐标的两倍才相当于平移前的相应点的横坐标），所以，将的图象所有点的横坐标变为原来的二分之一（纵坐标不变）就可以得到的图象.几何画板的突出特点是可以实现动态演示（如图2所示），这正是三角函数图象变换所需要的，传统

7、的粉笔加黑板就显得很苍白无力、呆板单调.学生在教师的引导下，用“相当于”的方法理解了平移变换之理，再用几何画板动态演示，知其然而知其所以然，教学效果很好.二、深入学生中间，现场特写 “解剖”由于笔迹的记录过程与书写过程同步，点阵数码笔可以通过投影同步显示学生的探究过程.教师深入学生中间，“蹲下来”与学生平起平坐，在学生探究的过程中，发现有价值的问题，然后大屏幕切换到这个学生（组）的点阵纸，局部特写放大，全体学生围观，现场会诊，进行针对性 “解剖”. 图3由的图象怎样得到的图象是本节课的难点和易错点，要给学生较为充分的时间探究讨论，可能刚开始学生会认为把的图象向右平移个单位就可以得到的图象，因为

8、平移变换是针对于变量本身，学生经过一番探究讨论后，把变成了，再观察与两个解释式的结构特征，发现后者的就相当于前者的，这时笔者就把大屏幕切换到该同学的点阵纸，走到这个学生面前，用红色的点阵笔画出关键的步骤，并且对两式中的与标注对比，（如图3所示，标注内容在大屏幕上同步实时局部特写放大），并给该同学一个大大的“红对勾”，难点、易错点顷刻间在笑声中灰飞烟灭！三、练习反馈顺畅，形成对比激励学生理解掌握教学内容的重难点以后，接下来是数学运用与数学评价反馈环节，点阵数码笔技术在此环节也有较强的优势，教师可以很清楚地看到每一个学生知识的掌握情况，反映在做题的思维品质、解题方法、准确性、速度等方面，尤其是点阵

9、数码笔技术可以很方便地把学生数学运用的不同情况进行比较研究，比较中见真知，实现“1+12”的教学效果为了全面地对学生的思维进行训练，笔者比教材上多增加了一些结论逆用和变用的练习.如逆用题组：.为了得到y=sinx的图象，只需把y=sin(x+)的图象上所有的点向_平移_个单位；.为了得到y=sinx的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点_；.为了得到y=sinx的图象，只需把y=2sinx的图象上所有的点_.再如变用题组：把函数的图象向右平移个单位，所到得的图象的函数解析式为 ，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），则所到得的图象的函数解析式为 . . 为了得到y=cosx

10、的图象，只需把y=sinx的图象上的所有的点 .四、文档脱机缓存，批注录音回放由于点阵数码笔将纸张上书写的文字或者图片以位图的形式存储在电脑中，形成文档，同步保存到电脑、平板和智能手机上，所以，可以实现数字化脱机缓存，批注录音，笔记回放. 这样课堂上不懂得问题，学生回家后可以“课堂再现”，甚至对某一个环节反复回放，便于学生课后的回顾和复习.当然，学生在“课堂再现”或在完成课后作业的过程中有什么疑问、想法都可以随时用点阵笔写下来，保存起来与老师互动反馈.本节课笔者布置了两个课后挑战性的探讨问题：1、除了常规的三角函数的图像变换题目外，推广为一般意义上的函数,（其中）；2、由函数的图象变换到函数（其中）的图象，先作周期变换后作平移变换与先作平移变换后作周期变换，两种不同的方法中平移的幅度不一样,为什么？能不能从生活中举例说明？关于第二个问题可以这样理解：周期变换实际上是伸压变换，要比平移变换高一个“等级”，周期变换变换得更“厉害”一些，所以，先作周期变换后作平移变换比先作平移变换后作周期变换，平移的幅度要来得小一些.正如一件纯棉布料，先缩水再裁剪与先裁剪再缩水，两种不同的方法中，因为缩水较为厉害，所以